Argyrisin elementit
Toiminnot Argyriksen (tai elementit Argyris ) on väline elementtimenetelmää . Niitä käytetään kuvaamaan silmän kolmion polynomia käyttäen vain kolmion reunalla tunnettuja tietoja. Numeerisessa mallinnuksessa nämä toiminnot otettiin käyttöön 1950-luvulla; mutta käytännössä käytetään myös muita toimintatyylejä ratkaistavien ongelmien mukaan.
Johdanto
Asiayhteys
John Hadji Argyris (1913-2004) on yksi uranuurtajista elementtimenetelmän käytetyillä menetelmillä aikana digitaalinen resoluutio differentiaaliyhtälöiden fysiikan, mekaniikka ... kuten levy teoria .
Hänen käsitteet ilmestyivät ensimmäisen kerran toisessa maailmansodassa, mikä teki hänen ensimmäisistä tuloksistaan erittäin salaisia.
Argyris-toimintojen periaate koostuu polynomin ilmaisemisesta, jossa on vain verkkotunnuksen verkkoon liittyviä tietoja . Muita toimintoja käytetään rajallisten elementtien menetelmissä (Lagrange, Raviart-Thomas, Nédélec, Gauss-Lobatto, Hermite, Morley, Bell ...), joista jokaisella on etujaan ja haittojaan (kaikki riippuu ongelmasta, jonka haluamme ratkaista) ).
Argyris-elementit tarkoittavat yleisesti 2D-ongelman rakennetta; analogisissa 1D- tai 3D-versioissa puhumme pikemminkin Argyris-tyyppisistä elementeistä.
Opintokehys
Sijoitamme itsemme suunnitelmaan. Muuttujia kutsutaan x: ksi ja y: ksi . Antaa olla mielivaltainen kolmio, ei litistetty.
T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}
Tähän liittyvät Argyris-funktiot ovat vektoriavaruuden perustoimintoja, joka edustaa polynomien joukkoa, jossa on enintään kaksi muuttujaa x ja y ( ).
T{\ displaystyle {\ mathcal {T}}}P5(T){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {5} ({\ mathcal {T}})}(x,y)∈T{\ displaystyle (x, y) \ paikassa {\ mathcal {T}}}
Muodollinen lähestymistapa
Elementti on siis kirjoitettu ainutlaatuisella tavalla muotoon
M∈P5(T){\ displaystyle M \ sisään \ mathbb {P} _ {5} ({\ mathcal {T}})}
M(x,y)=klo0+klo1x+b1y+klo2x2+b2xy+vs.2y2+klo3x3+b3x2y+vs.3xy2+d3y3+klo4x4+b4x3y+vs.4x2y2+d4xy3+e4y4+klo5x5+b5x4y+vs.5x3y2+d5x2y3+e5xy4+f5y5{\ displaystyle M (x, y) = a_ {0} + a_ {1} x + b_ {1} y + a_ {2} x ^ {2} + b_ {2} xy + c_ {2} y ^ { 2} + a_ {3} x ^ {3} + b_ {3} x ^ {2} y + c_ {3} xy ^ {2} + d_ {3} y ^ {3} + a_ {4} x ^ {4} + b_ {4} x ^ {3} y + c_ {4} x ^ {2} y ^ {2} + d_ {4} xy ^ {3} + e_ {4} y ^ {4} + a_ {5} x ^ {5} + b_ {5} x ^ {4} y + c_ {5} x ^ {3} y ^ {2} + d_ {5} x ^ {2} y ^ {3} + e_ {5} xy ^ {4} + f_ {5} y ^ {5}}.
Siten polynomin 21 kertoimen yksittäiset tiedot riittävät minkä tahansa elementin kirjoittamiseen .
P5(T){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {5} ({\ mathcal {T}})}
Sitten on välttämätöntä, että sinulla on 21 itsenäistä suhdetta (ehtoa), jotta nämä kertoimet voidaan määrittää yksilöllisesti.
Yksi mahdollinen perusta olisi työskennellä kanonisella pohjalla , mutta käytännössä on äärimmäisen vaikeaa löytää 21 kerrointa tältä pohjalta. Argyris tarjoaa siis toisen perustan, joka liittyy tiettyihin olosuhteisiin:
{1,x,y,x2,xy,y2,x3,x2,y2,y3,x4,x3y,x2y2,xy3,y4,x5,x4y,x3y2,x2y3,xy4,y5}{\ displaystyle \ {1, x, y, x ^ {2}, xy, y ^ {2}, x ^ {3}, x ^ {2}, y ^ {2}, y ^ {3}, x ^ {4}, x ^ {3} y, x ^ {2} y ^ {2}, xy ^ {3}, y ^ {4}, x ^ {5}, x ^ {4} y, x ^ {3} y ^ {2}, x ^ {2} y ^ {3}, xy ^ {4}, y ^ {5} \}}
- funktion M arvosta kussakin kärjessä (3 relaatiota);
- funktion M ensimmäisten johdannaisten arvosta kussakin pisteessä (6 relaatiota);
- funktion M toisen johdannaisen arvosta kussakin kärjessä (9 relaatiota);
- arvosta "normiin liittyvä" kullekin reunalle (3 relaatiota).
Näillä tiedoilla on mahdollista laskea kaikki Argyris-funktiot mille tahansa kolmiolle: riittää ratkaisemaan lineaarinen järjestelmä A u = b, jossa:
-
A on 21 × 21 -matriisi;
-
u on vektorikoko 21, joka koostuu 21 kertoimesta;
-
b on kokoa 21 oleva vektori, jonka komponentit ovat nollia lukuun ottamatta yhtä, joka vastaa riittävää tilaa.
Ratkaisujen säännöllisyys
Kolmionmuotoisten silmien reunoille asetettujen ehtojen mukaan Argyris-elementtien laskemat ratkaisut ovat säännöllisiä (vähintään C 2 ). Tarkemmin sanottuna, elementtimenetelmällä Argyris on alempi aste H 2 -merkintä. Siksi ne soveltuvat korkean tilauksen ongelmiin ( bilaplacian ), mutta ovat edelleen kalliita.
Ohjelmisto Argyris-elementtien hallitsemiseksi
Bibliografia
- V.Girault, P.-A.Raviart. Lopullisten elementtien menetelmät Navier-Stokes-yhtälöille. Teoria ja algoritmit. Springer-sarja laskennallisessa matematiikassa , 5. Springer-Verlag, Berliini, 1986.
- S. Nicaise, K. Witowski ja BI Wohlmuth . Lamé-yhtälön jälkivirheestimaattori, joka perustuu tasapainotettuihin vuon. IMA Journal of Numeerinen analyysi , 28, n o 2, s. 331-353 , 2008.
- Getfem ++ -kirjasto
- V. Domínguez, FJ Sayas. Algoritmi 884: Argyris-elementin yksinkertainen MATLAB-toteutus . ACM Trans. Matematiikka. Ohjelmisto 35, 16 artikla, 2008.
- Herra Okabe. Argyris-kolmion täydelliset interpolointikaavat . Laske. Menetelmät Appl. Mech. Engrg. 106, n ° 3, s. 381 - 394 , 1993.
Huomautuksia ja viitteitä
-
(in) Muistiinpanona professori John H.Argyrisille , kirjoittaneet Thomas JR Hughes (sisään) , J. Tinsley Oden ja Manolis Papadrakakis
-
(in) John H. Argyris
Katso myös