Tapahtuma (todennäköisyydet)

In todennäköisyysteoriasta , tapahtuma liittyy satunnainen kokeilu on osajoukko mahdollisista tuloksista, että koe (eli tietty osajoukko maailmankaikkeuden liittyvät koe). Koska tapahtuma määritellään usein ehdotuksella, meidän on kyettävä sanomaan, tietäen satunnaisen kokeen tuloksen, onko tapahtuma toteutunut tämän kokeen aikana vai ei.

Harkitse esimerkiksi satunnaista kokeilua 6-puolisen muotin vierittämisestä. Sen tulos saadaan, kun muotti lepää, muotin yläpinnan kantamien pisteiden lukumäärällä. Muottitelan mahdollisten tulosten joukko on siis joukko {1,2,3,4,5,6}. Edellä esitetyssä mielessä joukko {2,4,6}, joka on osajoukko mahdollisista tuloksista, muodostaa tapahtuman. Se voidaan myös muotoilla tarkoituksella ehdotuksella: saada tasainen tulos .

Jos heitämme noppaa ja tuloksena on 5, sanotaan, että tapahtumaa tasaisen tuloksen saamiseksi ei suoriteta. Tarkoituksessa tämä on perusteltua sillä, että 5 ei ole tasainen. S ccording set-lähestymistapaa voidaan perustella sillä, että . Toisaalta, jos tuloksena saadaan 2, sanotaan, että tapahtuma, jolla saadaan tasainen tulos, toteutetaan, koska 2 on tasainen tai koska . Voimme väittää, että asetetun vision mukaan tapahtuma toteutuu kokeilulla vain ja vain, jos tämän kokeen tulos kuuluu tapahtumaan (kokonaisuutena). 5∉{2,4,6}{\ displaystyle 5 \ notin \ {2,4,6 \}}2∈{2,4,6}{\ displaystyle 2 \ sisään \ {2,4,6 \}}

Asetettu visio on merkityksellisempi kuin tarkoituksellinen visio, kun haluamme kuvata tapahtumien yhdistelmiä, niiden todennäköisyyksiä jne. Jos esimerkiksi A ja B ovat kaksi tapahtumaa, yhteinen tapahtuma, nimetty ehdotuksen A- ja B vastaa risteyksessä SET: . Edelleen esimerkiksi muotin telan, tietäen, että tapahtuma saadaan tulos on suurempi kuin 3 on joukon {4,5,6}, yhteinen tapahtuma saadaan vielä tulos on suurempi kuin 3 on asetettu: . Tapahtuman vastakohta on sen täydennys mahdollisuuksien joukossa. Die tela, saadaan tulos, joka ei ole edes on komplementti {2,4,6} ja {1,2,3,4,5,6} eli joukko {1,3,5} . Lopuksi, asetettu visio on myös kätevä määrittelemään tapahtuman todennäköisyys, koska se on yhtä suuri (erillisessä tapauksessa) tapahtuman kardinaalin (sarjana) suhde mahdollisten tulosten joukon kardinaaliin. Esimerkkimme stanssirullasta: AT∩B{\ displaystyle A \ korkki B}{2,4,6}∩{4,5,6}={4,6}{\ displaystyle \ {2,4,6 \} \ cap \ {4,5,6 \} = \ {4,6 \}}

P(saada tasainen tulos)=vs.klord({2,4,6})vs.klord({1,2,3,4,5,6})=36=0.5{\ displaystyle \ mathbb {P} ({\ text {saat tasaisen tuloksen}}) = {\ frac {kortti (\ {2,4,6 \})} {kortti (\ {1,2,3,4 , 5,6 \})}} = {\ frac {3} {6}} = 0,5}

Määritelmä

Anna olla maailmankaikkeus on satunnainen kokeilu , heimo on , ja probabilizable tila muodostaa näin ollen. Mitä tahansa heimoon kuuluvaa osaa kutsutaan tapahtumaksi . Ω{\ displaystyle \ Omega}AT{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}(Ω,AT){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}} \ oikea)}Ω{\ displaystyle \ Omega}AT{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

Jos tapahtuma koostuu yhdestä elementistä, puhumme alkeistapahtumasta .

Erikoistapaukset

Maailmankaikkeus on tapahtuma, joka kokoaa yhteen kaikki mahdolliset tulokset, kutsutaan tietty tapahtuma . Ω{\ displaystyle \ Omega}

Tyhjä joukko on tapahtuma, jota kutsutaan mahdoton tapahtuma . ∅{\ displaystyle \ emptyyset}

Kaikelle, mikä kuuluu , edustaa mahdollista tulosta, singleton on tapahtuma, jota kutsutaan alkeistapahtumaksi . ω{\ displaystyle \ omega}Ω{\ displaystyle \ Omega} {ω}{\ displaystyle \ {\ omega \}}

Esimerkkejä

Oletetaan, että harkittu satunnainen koe on kolikon heittäminen. Kokemuksen universumilla on sitten kaksi mahdollista lopputulosta, päät ja hännät , ja voimme määrittää tälle kokemukselle neljän tapahtuman heimon: Ω{\ displaystyle \ Omega}

1. alkeistapahtuma { pino };
2. alkeistapahtuma { face };
3. tietty tapahtuma = { päät , hännät }, toisin sanoen piirtämään joko päät tai hännät  ;Ω{\ displaystyle \ Omega}
4. mahdoton tapahtuma , toisin sanoen ei heittää päitä tai häntä .∅{\ displaystyle \ lakkaus}

Oletetaan, että pöydällä on 52 korttia ja kaksi jokeriä ja piirrämme yhden kortin. Tietyn kortin piirtäminen 54 kortin universumissa edustaa sitten alkeistapahtumaa . Alajoukkoja (mukaan lukien perustapahtumat) kutsutaan yksinkertaisesti "tapahtumiksi". Tämän maailmankaikkeuden tapahtumat voivat olla:

• "Hanki kuningas" -sarja, joka koostuu 4 kuninkaasta (neljän alkeistapahtuman sarja),
• "Hanki sydänkortti" (13 kortin sarja)
• "Hanki kuva" (12 kortin sarja).

Oletetaan, että autovakuuttaja tarkastelee otosta tiettyjä riskejä aiheuttavista autoilijoista. Tarkasteltavat tapahtumat voivat olla tai eivät saa ylittää omavastuuta suurempaa saatavien kokonaismäärää. Tapahtuman käsite todennäköisyydessä ei siis ole identtinen lopputuloksen kanssa. Tapahtumien määrittely voi riippua esimerkiksi käsityksestämme riskistä (tai päinvastoin onnesta).

Aseta tapahtumien toiminnot

Tapahtumat ovat sarjaa tulosten, voimme soveltaa niitä kaikkia tavanomaiset operaatiot .

Tarkastellaan kahta tapahtumaa. AT,B∈AT{\ displaystyle A, B \ {{mathcal {A}}}

• Vaadimme täydentäviä ja totesi tai , joukko sattuneiden eivät kuulu . AT{\ displaystyle A}ATVS{\ displaystyle A ^ {C}}AT¯{\ displaystyle {\ bar {A}}}AT{\ displaystyle A}
  • ATVS{\ displaystyle A ^ {C}}saavutetaan vain ja vain, jos sitä ei saavuteta.AT{\ displaystyle A}
  • Muodollisesti olemme: .ATVS={ω∈Ω∣ω∉AT}{\ displaystyle A ^ {C} = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid \ omega \ notin A \}}
• Kutsuilta liitto , tai jälleennäkeminen , tapahtumien, totesi (lue "A Union B"), yhdistymistä niiden varalta. AT∪B{\ displaystyle A \ kuppi B}
  • AT∪B{\ displaystyle A \ kuppi B} toteutuu, jos toinen kahdesta tapahtumasta toteutuu (tai molemmat).
  • Muodollisesti olemme: .AT∪B={ω∈Ω∣(ω∈AT)∨(ω∈B)}{\ displaystyle A \ cup B = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid (\ omega \ in A) \ lor (\ omega \ in B) \}}
• Kutsumme havaittujen tapahtumien leikkausta tai yhdistämistä (lue "A inter B"), heille yhteisten ehdollisuuksien joukkoa. AT∩B{\ displaystyle A \ korkki B}
  • AT∩B{\ displaystyle A \ korkki B} toteutuu, jos nämä kaksi tapahtumaa toteutetaan samanaikaisesti.
  • Muodollisesti olemme: .AT∩B={ω∈Ω∣(ω∈AT)∧(ω∈B)}{\ displaystyle A \ cap B = \ {\ omega \ in \ Omega \ mid (\ omega \ in A) \ land (\ omega \ in B) \}}
• Kutsumme joukon eroa tapahtumien, totesi (lue ”Miinus B”), joukko varalle, jotka kuuluvat mutta ei . AT∖B{\ displaystyle A \ setminus B}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
  • AT∖B{\ displaystyle A \ setminus B}saavutetaan, jos saavutetaan, kun ei.AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}
  • Muodollisesti olemme: .AT∖B={ω∈AT∣ω∉B}{\ displaystyle A \ setminus B = \ {\ omega \ in A \ mid \ omega \ notin B \}}

Aseta suhteet tapahtumien välillä

Tarkastellaan kahta tapahtumaa. Niin: AT,B∈AT{\ displaystyle A, B \ {{mathcal {A}}}

• Tapahtumien sanotaan olevan ristiriitaisia, jos niillä ei ole yhteistä mahdollisuutta, toisin sanoen jos .AT∩B=∅{\ displaystyle A \ korkki B = \ lakkaus}

• Sanomme, että on mukana sisään , ja toteamme , ovatko kaikki ennakoimattomat ja kuuluu . Tapahtuman toteutuminen merkitsee sitten automaattisesti tapahtuman toteutumista .AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}AT⊂B{\ displaystyle A \ osajoukko B}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

Aseta satunnaisia ​​tapahtumia

Olkoon A, B, C kolme tapahtumaa.

Crescendo, kuusi todennäköistä tapausta esiintyy kokeessa:

• Ei tapahtumia:

AT¯ ∩ B¯ ∩ VS¯ {\ displaystyle {\ bar {A}} \ \ cap \ {\ bar {B}} \ \ cap \ {\ bar {C}} \}

• Tapahtuu täsmälleen yksi tapahtuma:

(AT∖(B∪VS)) ∪ (B∖(VS∪AT)) ∪ (VS∖(AT∪B)) {\ displaystyle \ left (A \ backslash (B \ cup C) \ right) \ \ cup \ \ left (B \ backslash (C \ cup A) \ right) \ \ cup \ \ left (C \ backslash (A \ kuppi B) \ oikea) \}

• Ainakin yksi tapahtuma tapahtuu:

AT ∪ B ∪ VS {\ displaystyle A \ \ kuppi \ B \ \ kuppi \ C \}

• Kaksi tapahtumaa lisää :

AT¯ ∪ B¯ ∪ VS¯ {\ displaystyle {\ bar {A}} \ \ cup \ {\ bar {B}} \ \ cup \ {\ bar {C}} \}

• Ainakin kaksi tapahtumaa tapahtuu:

(B∩VS) ∪ (VS∩AT) ∪ (AT∩B) {\ displaystyle \ left (B \ cap C \ right) \ \ cup \ \ left (C \ cap A \ right) \ \ cup \ \ left (A \ cap B \ right) \}

• Kaikki kolme tapahtumaa tapahtuvat:

 AT ∩ B ∩ VS {\ displaystyle \ A \ \ cap \ B \ \ cap \ C \}

(Kaavat voidaan yleistää joukolle N tapahtumia.)