On matematiikka , alue on määrä suhteessa tiettyihin lukuja , että kone tai pinnat on geometria avaruudessa .
Tämän matemaattisen käsitteen kehitys liittyy maatalousalueiden koon laskemisen järkeistämiseen kartoitustekniikoilla . Tätä arviointia yhdessä mittayksikön kanssa kutsutaan nykyään alueeksi .
Epävirallisesti alue antaa mahdollisuuden ilmaista kuvan suuruuden suhde yksikköön leikkausten ja liimojen, siirtymien ja peruutusten sekä rajaan siirtymisen avulla lähentämällä. Alueen mitta voi olla positiivinen reaaliluku tai olla ääretön joillekin pinnoille, kuten koko tasolle.
Erilaisia tekniikoita on kehitetty mittaamaan -alueen indivisibles menetelmä on integraalilaskentaa ja probabilistinen menetelmiä, kuten Monte-Carlo-menetelmällä .
Vuonna 2-ulotteinen euklidinen avaruus , verkkotunnuksen on alue, jos se on mitattavissa asetettu varten Jordanian toimenpiteestä ja sen pinta-ala on yhtä suuri kuin tämän toimenpiteen.
Tasomaisen pinnan alue S seuraa neljää ominaisuutta:
Additiivisuusominaisuus laajennetaan induktiolla mihin tahansa kahteen luontaisempaan luonnolliseen lukuun n : jos A 1 , A 2 ... A n ovat kaksi kahdesta vastaavien alueiden S ( A 1 ), S ( A 2 ) disjoint-pinnasta … S ( A n )
S ( A 1 ∪ A 2 ∪… ∪ A n ) = S ( A 1 ) + S ( A 2 ) +… + S ( A n )mikä havaitaan tarkemmin:
Tämä rajallinen additiivisuusominaisuus ei kuitenkaan riitä, jos vain todistaa kaava levyn pinta-alan laskemiseksi (katso alla). Se on siis laajennetaan laskettavissa ääretön perhe tasopinnat ( n ) n ∈ N * kaksi kaksi toisistaan erillään joiden pinta-alat oletetaan tunnetuksi, joten analoginen edellisen:
Sitten puhumme σ-additiivisuudesta (" sigma-additiivisuus ").
Aiemmin valittu pituuden yksikkö (merkitty 1u.l.) määrittelemme pinta-alayksikön (merkitty 1u.a.) arvolla 1u.a. = (1u.l.) 2 . Kaikki pinta-alat mitataan pinta-alayksiköinä. Pinta-alan laskennan perusluku on neliön yksikkö sivun 1u.l kanssa. ; sen avulla voit laskea suorakulmion pinta-alan . Suorakulmion pinta-alaa käyttämällä on mahdollista määrittää suorakulmion (puolisuuntaisena suorakulmiona pidetyn ) tai rinnan suuntaisen kolmion pinta-ala , minkä tahansa kolmion ja siten minkä tahansa monikulmion pinta-ala .
Kaavan alueelle, jossa levy on monimutkaisempi osoittaa: se vaatii kulkee jatkoa raja . Ajatus lähestyä monimutkaista pintaa peräkkäin yksinkertaisempien pintojen (yleensä suorakulmioiden tai monikulmioiden) avulla on perustavanlaatuinen. Pinnan, johon voidaan "oikein" lähestyä suorakulmioita, siihen pisteeseen asti, että siitä voidaan päätellä sen pinta-ala laskemalla raja-arvon, sanotaan olevan riidattava .
Tietyissä tapauksissa analyysi tulee geometrian avuksi, kun päättely leikkaamalla ja liimaamalla ei enää riitä. Jollakin alueella laskelmat edellyttävät käyttöä integraalien (käsite "pinta-ala käyrän alla"), joka voi joskus laskea primitiivit on funktio .
Muut tapaukset ovat patologisempia : matemaatikot ovat laatineet mittausteorian yleistääkseen tuloksia alueilla. Sillä fraktaalit , alueet eivät ole laskettavissa - tai epätyydyttävä. Hausdorffin käsite ulottuvuudesta yleistää pinta-alan, joka on tasainen fraktaali.
Alla on esitetty yleisimmät tavalliset pinta-alan laskentakaavat ja esittelyt, jotka havainnollistavat geometrista päättelyä, jota usein käytetään alueongelmien ratkaisemiseksi: "leikkaa ja liitä", toisinaan kuvittelemalla rajaton määrä leikkauksia raja-arvojen perusteella.
SuorakulmioAlue suorakulmio - alue suorakulmion on sama kuin tuotteen sen pituus kertaa sen leveys.
EsittelySuorakulmion, jonka pituus ja leveys ovat kokonaislukuja m ja n, voidaan nähdä koostuvan m viivasta, joista jokaisessa on n yksikköruutua. Sen pinta-ala on siis yhtä suuri kuin m × n .
Jos mitat suorakulmion ovat m / p ja n / q jakeet katsomme, että meillä on "leikata" suorakulmion mittojen m ja n osaksi p yhtä suureen osaan, sitten kukin näistä osista jälleen q yhtä suureen osaan. Mittojen m ja n suorakulmio sisältää siis p × q kertaa mitat m / p ja n / q . Tämän viimeisen suorakulmion pinta-ala on siis yhtä suuri kuinms × eiq.
Tämä tulos on yleistetty tapauksessa, jossa pituus ja leveys suorakulmion ovat reaalilukuja , mutta päättely on abstrakti: se edellyttää kanavan raja, ottamalla huomioon, että mitään todellista numero on raja, joka sarja rationaalilukujen .
Neliön erikoistapausNeliö on suorakulmio, jonka pituus ja leveys ovat samat kuin sama määrä kutsutaan puolella neliön. Neliön, jonka sivu on c, pinta-ala on yhtä suuri kuin c × c , jota merkitään c 2: lla . Käänteisesti mikä tahansa määrä muotoa C 2 (jossa c on positiivinen) voidaan pitää alueen neliön puoli C , mikä selittää c 2 lukee " c potenssiin" tai "neliön C ".
KolmioYleisin kaava kolmion pinta-alan laskemiseksi on:
Kolmion pinta-ala - Kolmion pinta-ala on puolet sen alustan ja korkeuden tulosta.
Kaikkia suorakulmaisia kolmioita, joiden katetrit (tai lyhyet sivut) mittaavat a ja b, voidaan pitää puolikkaana suorakulmiosta, jonka mitat ovat a ja b, jaettuna kahteen sen diagonaalilla. Tämän suorakulmion pinta-ala on siis yhtä suuri kuin .
Yleisemmin mikä tahansa kolmion h ja siihen liittyvän sivun b korkeuden kolmio (tässä tapauksessa sivua kutsutaan pohjaksi ) on puolet mitan h ja b suorakulmiosta , mikä antaa klassisen kaavan d '-alueen laskemiseksi. Kolmio:
Muut menetelmät sallivat kolmion pinnan ja siten minkä tahansa monikulmion pinta-alan laskemisen käyttämällä sitä tosiasiaa, että mikä tahansa monikulmio voidaan jakaa rajalliseen määrään kolmioita. Erityisesti jakamalla säännöllinen monikulmio kolmioiksi, joiden kärki on sen keskipiste, saadaan tavanomaiset kaavat säännöllisen monikulmion pinta-alan laskemiseksi .
Kiinnittämällä toinen isometrinen kolmio hypotenuusan jälkeen harmaaseen suorakulmioon saadaan suorakulmio.
Kolmio, joka nähdään puolisuorakulmiona.
Kolmioihin jaettu monikulmio.
Lause - Säteen R levyn pinta-ala on yhtä suuri kuin π × R 2 .
Vakuutamme itsemme tästä tuloksesta jakamalla levyn mielivaltaisesti suureen määrään kolmioita.
Tarkastelemalla n pistettä A 1 , A 2 ... A n, jotka ovat säännöllisesti etäisyydellä ympyrästä, jonka keskipiste on O ja säde R , saadaan säännöllinen monikulmio, jossa on n sivua, jotka koostuvat n tasakylkisestä kolmiosta, joiden pinta-ala on sama OA 1 A 2 , OA 2 A 3 jne. Säännöllisen polygonin pinta-ala on siten n kertaa yhden näistä kolmioista. Jos jokaisen sen kolmion korkeus on h n , jokaisen kolmion pinta-ala on12h n × A 1 A 2 . Kertomalla n: llä monikulmion pinta-ala on siis puolet korkeudesta h n kerrottunamonikulmion kehällä . Kunpisteidenlukumäärä n pyrkii kohti ääretöntä, korkeus h n suuntaan R ja monikulmion kehä kohti ympyrän, toisin sanoen 2π R , mikä antaa ilmoitetun tuloksen.
Ympyrän säteen tunteminen on toinen menetelmä, jota Archimedes käyttää levyn jakamiseen sektoreihin , kuten oikealla olevassa kuvassa on esitetty.
Jokainen sektori on muodoltaan suunnilleen kolmiomainen, ja sektorit voidaan järjestää uudelleen muodostamaan suunnaksi. Tämän suunnan korkeus on r , ja leveys on puolet ympyrän kehästä tai π r . Täten levyn kokonaispinta-ala on π r 2
Vaikka tämä sektoreihin jakamisen menetelmä on vain arvio, virheestä tulee yhä pienempi, kun ympyrä jaetaan useampaan sektoriin. Raja on pinta-alojen summa on suunnilleen suunnikkaiden on täsmälleen π r 2 , joka on koko levyn alue.
Euklidinen taso on varustettu ortonormaalit koordinaatistossa , varten positiivinen ja jatkuva numeerinen funktio f , Riemannin integraali on f yli välin [ ; b ] antaa sinun ilmaista helposti verkkotunnuksen alue, jonka rajaa:
Tämä pinta-ala on tällöin yhtä suuri kuin I (1u.a.), jossa luku I tarkoittaa integraalia
Huom. Kun suorakulmainen koordinaatistojärjestelmä ei ole enää ortonormaali, edellisen pinnan (alueen) mittaus on yhtä suuri kuin I (Mu.a.). Jos Mu.a osoittaa koordinaatistojärjestelmän "alkeissolun" alueen (c 'eli koordinaatistojärjestelmän kahdelle perusvektorille rakennetun suunnan suuntainen alue ): integraali vastaa siis mitatun pinnan sisältämien "alkeissolujen" määrää.
Tätä aluetta voidaan arvioida numeerisilla menetelmillä lähestymällä käyrän alla olevaa aluetta tavallisilla pinnoilla: erityisesti suorakulmioilla tai puolisuunnikkailla . Tietyissä tapauksissa raja-arvon laskeminen antaa mahdollisuuden määrittää integraalin tarkka arvo perustelemalla samalla tavalla kuin mitä levylle käytettiin edellä.
Alueiden ja differentiaalilaskelmien yhdistäminen antaa mahdollisuuden todistaa se
jossa F on Integraalifunktio on f yli [ ; b ] . Täten funktion primitiivien tuntemus antaa mahdollisuuden laajentaa laskettavien alueiden joukkoa aiemmin nähdyllä "jakamisella".
Siksi alueiden ja differentiaalilaskelmien päättely ruokkii ja rikastuttavat toisiaan. Aluelaskelmilla on siis vaikutusta moniin matematiikan alueisiin integraalien avulla, mukaan lukien todennäköisyydet tai tilastot laskemalla funktion keskiarvo .
Jos pinta-alojen laskeminen mahdollistaa todennäköisyyksien tuntemuksen integraalien avulla, päinvastoin. Olkoon pinta S , jonka pinta-ala on tiedossa, joka sisältää toisen, L tuntemattoman alueen. Menetelmä Monte Carlo kuuluu lähettämällä satunaiseen S . On sitten kokonaismäärä n S pisteitä, ja määrä n L , jotka on todettu, mukaan mahdollisuus , on L . On todennäköistä, että alueiden L ja S suhde on lähellä n L : n suhdetta n S: ään . Virhemarginaali on tilastollisesti pienempi, koska pisteiden lukumäärä n S on suuri.
Eräs ongelma-alue on säilynyt vuosisatojen, ainakin vuodesta Anaksagoras ( V th -luvulla eKr. ) Asti 1882, jolloin Ferdinand von Lindemannin osoittautunut, että π on transkendenttiluku : että mahdoton joka koostuu rakentamiseen, hallitsija ja kompassi , neliön pinta-ala on sama kuin tietyn levyn.
Laajuus on, jossa pinta-ala, toinen tärkeimmistä toimenpiteistä tasomaisten geometrisiä kuvioita. Huolimatta siitä, että niitä ei ilmaista samassa yksikössä, on yleistä sekoittaa nämä kaksi käsitystä tai uskoa, että suurempi on, sitä enemmän myös toinen on. Itse asiassa geometrisen kuvan suurennus (tai pienennys) kasvattaa (tai pienentää) samanaikaisesti sen pinta-alaa ja kehää. Esimerkiksi, jos maa-alue näytetään kartalla mittakaavassa 1: 10000, maan todellinen ympärysmitta voidaan laskea kertomalla esityksen kehys 10000: lla ja pinta-ala kertomalla esityksen pinta-ala 10: llä. 000 2 . Alueen ja minkään kuvan kehän välillä ei kuitenkaan ole suoraa yhteyttä. Esimerkiksi suorakulmion, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin neliömetri, mitat voivat olla metreinä: 0,5 ja 2 (siten kehä, joka on yhtä suuri kuin 5 m ), mutta myös 0,001 ja 1000 (siten, että ympärysmitta on yli 2000 m ). Proklos ( V th luvulla ) mukaan Kreikan viljelijät ovat jakaneet "tasapuolisesti" -kentät niiden ulkoreunaan, mutta eri alueilla. Pellon tuotanto on kuitenkin verrannollinen pinta-alaan, ei kehään: jotkut naiivit talonpojat ovat pystyneet hankkimaan peltoja, joiden ympärys on pitkä, mutta keskinkertainen (ja siten sato).
Isoperimetria käsittelee erityisesti suurimman mahdollisen pinnan löytämistä tietylle kehälle. Vastaus on intuitiivinen, se on levy . Tämä selittää, miksi erityisesti liemen pinnalla olevat silmät ovat pyöreitä.
Tämä näennäisesti vaaraton ongelma edellyttää hienostuneita teorioita tiukan esittelyn saamiseksi. Isoperimetristä ongelmaa yksinkertaistetaan joskus rajoittamalla sallittuja pintoja. Etsimme esimerkiksi nelikulmaista tai kolmiota, jolla on suurin mahdollinen pinta-ala, aina tietylle kehälle. Vastaavat ratkaisut ovat neliö ja tasasivuinen kolmio . Yleensä polygoni, jossa on n kärkeä, joiden pinta-ala on suurin, tietyllä kehällä on lähinnä ympyrää , se on säännöllinen monikulmio .
Isoperimetria ei rajoitu näihin kysymyksiin. Etsimme myös mahdollisimman suurta pinta-alaa tietylle kehälle, eri geometrialla. Esimerkiksi puolitason tapauksessa vastaus on puolilevy.
Tämä käsite synnyttää teoreemiperheen, joka tunnetaan isoperimetrisenä , isoperimetristen eriarvoisuuksien tunnetuksi nousemiseen , samoin kuin suhteeseen, jota kutsutaan isoperimetriseksi osamääräksi . Isoperimetrinen epätasa-arvo osoittaa, että pinta, jonka ympärysmitta on p ja pinta-ala a, tyydyttää seuraavan kasvun:
Vasemmalla olevaa termiä kutsutaan isoperimetriseksi osamääräksi, se on yhtä suuri kuin 1, ja vain, jos pinta on levy.
Jos tämän kysymyksen alkuperä on vähintään 2900 vuotta vanha, vasta Minkowskin lauseesta johdettujen menetelmien avulla kysymys ratkaistiin lopullisesti muinaisessa muodossaan vasta vuonna 1895 . Nämä menetelmät mahdollistavat isoperimetrisen lauseen todistamisen ja yleistämisen korkeammille ulottuvuuksille euklidisen geometrian tapauksessa .
Isoperimetrian ongelma kolmiulotteisessa tilassa koostuu suurimman tilavuuden löytämisestä tietyn alueen pinnalle. Vastaus on pallo , joka muun muassa johtaa muoto saippua kuplia .
Katso tämän kysymyksen perustekijät artikkelista isoperimetria . Joitakin vastauksia, joissa käytetään kehittyneempiä matemaattisia työkaluja, ehdotetaan artikkelissa Isoperimetrinen lause .
Minimaalinen pinta on pinta kolmiulotteinen tila, joka tietyissä rajoitteet, minimoi alueen läheisyydessä kunkin sen pistettä. Tämä tarkoittaa, että pieni vaihtelu tällä alueella tekee alueesta suuremman. Annetuille rajoituksille voi olla useita minimaalisia pintoja. Pienimmät pinnat otetaan spontaanisti kehykseen lepäävällä saippuakalvolla, koska tällaiset pinnat minimoivat myös kalvolle kohdistuvat voimat. Tällaisten pintojen etsimistä kutsutaan matematiikan tasangon tehtäväksi , se vaatii differentiaalilaskelman perustelut .
Päinvastoin, ongelma siitä, että tietyllä tilavuudella saadaan luku, jolla on suurin mahdollinen pinta-ala. Matemaattisesti yksinkertainen ratkaisu on olemassa: ilman paksuutta olevan pinnan tilavuus on nolla. Tällaisia muotoja esiintyy luonnossa: Vihreän kasvin lehti on yleensä hyvin ohut, mutta leveä, jotta fotosynteesi edistäisi mahdollisimman suuren pinnan altistumista auringolle . Mutta suuri lehtien lehtilehden alue edistää myös hikoilua , sillä kasvien on taisteltava kuivuusjaksoja vastaan ( mäntyjä , kaktuksia jne.) Lehdillä on siten usein paksummat lehdet pinta-alansa pienentämiseksi ja siten kuivumisen torjumiseksi.
Toinen mahdollinen strategia on ottaa kiinteä aine ja porata se suurella määrällä reikiä. Esimerkiksi Menger-sieni on rakennettu kuutiosta, joka on jaettu kolmeen yhtä suureen viipaleeseen kussakin kolmessa ulottuvuudessa. Tämä antaa kaksikymmentäseitsemän yhtä suurta kuutiota, sitten poistamme keskikuutiot. Sitten saadaan uusi kiinteä aine, pienempi tilavuus ja suurempi kuin edellinen, joka koostuu 20 kuutiosta. Sitten toistetaan sama prosessi kullekin näistä kahdeksasta kuutiosta, sitten taas näin saaduista kuutioista jne. Toistamalla prosessia loputtomiin saamme fraktaaliobjektin, jolla on ääretön pinta-ala ja tilavuus yhtä suuri kuin nolla, samalla kun sen mitat (pituus, leveys, syvyys) ovat yhtä suuret kuin alkukuution mitat. Hyvin sisennystetyt muodot, kuten Mengerin sieni, löytyvät luonnosta, kun on kyse kahden ympäristön välisen vaihdon edistämisestä: esimerkiksi nisäkkäiden keuhkot (kaasunvaihdon maksimoimiseksi pienemmässä määrin), kidukset , suolet ...
Materiaalin ominaispinta on sen pinta-ala massayksikköä kohden: mitä suurempi ominaispinta on, sitä enemmän esine voi vaihtaa ympäristönsä kanssa, sitä huokoisempi se on. Erityisesti pinta-ala on tärkeä maaperän fyysinen ominaisuus , joka määrittää sen kyvyn säilyttää ravinteita ja vaihtaa niitä kasvien kanssa.
Mukaan Herodotos , geometria muinaisessa Egyptissä alkunsa tarpeesta tasapuolisesti jakaa pinnat peltojen tulvien jälkeen on Niilin . Egyptiläiset tiesivät tavalliset kaavat polygonien pinta-alojen laskemiseksi, ja suurin osa tältä ajalta säilyneistä geometriaongelmista koskee alueiden ongelmia.
Babylonissa alue A laskettiin ympyrän kehältä P käyttäen kaavaa vastaavaa menettelytapaa:
Silloinkin kun he tiesivät ympyrän halkaisijan, kirjurit tutkivat aina sen kehän laskennan (kertomalla halkaisijan 3: lla) saadakseen sitten alueen. Menettely oli seuraava, kuten tässä esimerkissä, otettuna ongelman ratkaisemisesta, jossa pyydetään määrittämään sylinterimäisen tukin tilavuus, jonka halkaisija oli 1 +23 :
Babylonian menetelmä - kolminkertainen 1 +23, tukin yläosa ja 5, tukin ympärysmitta tulevat. Ota neliö 5 ja 25 tulee. Kerro 25 kerralla112, vakio ja 2 +112, alue tulee.
Egyptissä laskenta tehtiin halkaisijasta D :
Perustelun tarkoitus oli todennäköisesti merkitä kahdeksankulmio ja ympyrä neliöön . Vastakkaisessa kuvassa havainnollistetaan tätä päättelyä: jos neliön sivu on levyn halkaisija D , neliön sivun kolmannelle puolelle rakennetun kahdeksankulmion pinta-ala on
.Levyn alueen katsotaan olevan hieman suurempi kuin kahdeksankulmainen, ts.
.Al-Khwârizmî , Abrégé du Calcul par la Restauration et la Comparison , analysoi ja ratkaisee neliölliset yhtälöt neliöalueiden geometrisilla näkökohdilla jatkamalla antiikin aikaisia geometrisen algebran perinteitä .
Alue on pinta-ala, tai tasainen tai vasemmalle fyysinen pinta on sen fyysinen toimenpide ilmaistu mittayksikkö . Kansainvälisen järjestelmän vastaava yksikkö on neliömetri tai yksi sen kerrannaisista tai alaosista, kuten aaria tai hehtaaria .
Tähän mittaukseen viitataan joskus itse termillä "pinta", jolla on sama etymologia.
Maatalouden tuoton käsitteeseen ja verotukseen liittyvän pinta-alan laskelmat motivoivat pinta-alan käsitettä geometriassa . Maaston mallintaminen yksinkertaisella geometrisella pinnalla mahdollistaa alueen tehokkaan arvioinnin.
Hallinnollisten yksiköiden (esimerkiksi Ranskassa, kunnan , osaston jne.) Pinta-ala voi olla useita eri arvoja riippuen siitä, mitataanko se rajoittumalla maahan vai ottamalla huomioon vesi pinnoille.