Vallankumouksen kartio
Ympyräkartiolla tai pyörähdyskartion on pinta syntyy vallankumous , joka linja secant kiinteän akselin ympäri viimeksi mainitun. Tämä on kartion erityistapaus .
Kiinteää, jota rajaa puolikartio ja kaksi tasoa, jotka ovat kohtisuorassa sen kiertoakseliin, kutsutaan katkaistuksi kartiona.
Kapeneva muoto laajalti käytetty perheen tasomaisen käyrien algebrallisen johtuvat leikkauspiste tason kanssa pyörähdyskartion.
Yhtälöt ja parametrointi
Eräässä ortonormaalin koordinaatistossa tilaa, kartion syntyy pyörimisen kautta kulkevan linjan O -akselin ympäri ( Oz ) on pisteiden joukko kanssa sylinterimäisen koordinaatit :
(ρ,θ,z){\ displaystyle (\ rho, \ theta, z)}![{\ displaystyle (\ rho, \ theta, z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/873606b11140d574063568e35fc7d1fd707b2202)
ρ=zrusketusϕ{\ displaystyle \ rho = z \ tan \ phi}
missä on viivan ja akselin välinen kulma (puolikulma kartion yläosassa).
ϕ{\ displaystyle \ phi}![\ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4)
Johdetaan yhtälö suorakulmaisin koordinaatein :
(x,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}![(X Y Z)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a8c93372e8f8b6e24d523bd5545aed3430baf4)
x2+y2=z2rusketus2ϕ{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \ tan ^ {2} \ phi}![x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \ tan ^ {2} \ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2497e3f561ed812849d29535cb0ac8a2dbd59f80)
Ja parametrointi: .
{x=ucosvy=usyntivz=ukustannusϕ{\ displaystyle \ qquad {\ begin {cases} x = u \ cos v \\ y = u \ sin v \\ z = u \ cot \ phi \ end {cases}} \ quad}![{\ displaystyle \ qquad {\ begin {cases} x = u \ cos v \\ y = u \ sin v \\ z = u \ cot \ phi \ end {cases}} \ quad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadbf5ede8a7b1fe9fc0d489c3759372c8566012)
Liittyvät alueet ja volyymit
Katkaistun kartion sivupinta-ala ja tilavuus
Kiinteän kartion sivupinta-ala ja tilavuus (katkaistu kartio, jota rajaa puolikartio ja taso h: n etäisyydellä kärkipisteestä, joka leikkaa kartion säteen ympyrää pitkin ympyrän säteellä r )
AT=πrR=πrr2+h2,{\ displaystyle A = \ pi rR = \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}},}
V=π3r2h.{\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} r ^ {2} h.}
Yleisesti, jos kaksi h: n päässä olevaa tasoa leikkaavat kartion pitkin kahta ympyrää, joiden säde on r 1 ja r 2 , sivupinta-ala ja tilavuus ovat yhtä suuret:
AT=π(r1+r2)(r1-r2)2+h2=π(r1+r2)S{\ displaystyle A = \ pi (r_ {1} + r_ {2}) {\ sqrt {(r_ {1} -r_ {2}) ^ {2} + h ^ {2}}} = \ pi (r_ {1} + r_ {2}) S}![{\ displaystyle A = \ pi (r_ {1} + r_ {2}) {\ sqrt {(r_ {1} -r_ {2}) ^ {2} + h ^ {2}}} = \ pi (r_ {1} + r_ {2}) S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1d31bf0c1697d7243760f17ac642594e2a27dd)
Katkaistun kartion ja sen kuvion väliset suhteet
Katkaistussa kartiossa, jonka korkeus on h ja pohjasäde r, on tasokuviona säde R- levy, johon on leikattu kulmasektori .
θ{\ displaystyle \ theta}![\ theta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
Suhde R, r ja sitten: . Poistamalla r välinen suhde ja saamme: .
θ{\ displaystyle \ theta}
Rr=2π2π-θ{\ displaystyle {\ frac {R} {r}} = {\ frac {2 \ pi} {2 \ pi - \ theta}}}
R2=r2+h2{\ displaystyle R ^ {2} = r ^ {2} + h ^ {2}}
h=Rθ2π(2-θ2π){\ displaystyle h = R {\ sqrt {{\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ vasen (2 - {\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ oikea)}}}![{\ displaystyle h = R {\ sqrt {{\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ vasen (2 - {\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ oikea)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e345c51f1b4c7054ab27d0a056b35bab1441cf)
Suhdetta ja on: .
θ{\ displaystyle \ theta}
ϕ{\ displaystyle \ phi}
θ=2π(1-syntiϕ){\ displaystyle \ theta = 2 \ pi (1- \ sin \ phi)}
Suurin tilavuus katkaistu kartio tietylle kuvion säteelle
Kaavasta saadaan, että suurin tilavuus R: n kiinteällä kohdalla saadaan .
V=π3(R2-h2)h{\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} (R ^ {2} -h ^ {2}) h}
h=R/3{\ displaystyle h = R / {\ sqrt {3}}}![{\ displaystyle h = R / {\ sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1393b54849ace88129d45fbfccd76e7d5329034)
Suurin tilavuus on siten syytä , puoli-kulma yläosassa (ks jatkoa A195695 ja OEIS ) ja kulma keskellä levyä alalla .
2π273R2{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {27}} {\ sqrt {3}} R ^ {2}}
ϕ=arktaani(1/2)≈35∘16′{\ displaystyle \ phi = \ arctan {(1 / {\ sqrt {2}})} \ noin 35 ^ {\ circ} 16 '}
θ=2π(1-23)≈66∘4′{\ displaystyle \ theta = 2 \ pi \ vasen (1 - {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ oikea) \ noin 66 ^ {\ circ} 4 '}![{\ displaystyle \ theta = 2 \ pi \ vasen (1 - {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ oikea) \ noin 66 ^ {\ circ} 4 '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa5c1ae721ee370647f09f4a48c91542b2992915)
Huomautuksia ja viitteitä
-
Gieck, tekninen muoto , 10 th painos, 1997 C2
-
(in) John D. Barrow, " Outer space: Arkhimedeen jäätelötötteröt " päälle plus.math.org (näytetty 7 Aout 2017 )
Aiheeseen liittyvät artikkelit
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">