Apolloniuksen piirit
Apolloniuksen piirin nimeen on vastannut useita ehdokkaita .
Apolloniuksen ympyrä kahdesta pisteestä
Apollonius de Perga ehdottaa ympyrän määrittelemistä sen tason pistejoukoksi M , jolle etäisyyksien suhde MA / MB pysyy vakiona, kun pisteet A ja B annetaan.
Lause - Jos A ja B ovat kaksi erillistä pistettä ja k on todellinen muu kuin 0 ja 1, tripletin Apollonius-ympyrä ( A , B , k ) on joukko tason pisteitä M siten, että
MATMB=k.{\ displaystyle {\ frac {MA} {MB}} = k.}
Esittely -
-
Ratkaisu ( AB ): jos k = 1, MA = k MB: lla on ainutlaatuinen ratkaisu ( AB ): [ AB ] : n keskipiste . Muuten Apolloniuksen ongelmalla MA = k MB on kaksi ratkaisua ( AB ): ssä, sanotaan C ja sen harmoninen konjugaatti D suhteessa A: han ja B: hen ; D on olemassa heti, kun C ei ole [ AB ]: n keskipiste .
-
Ratkaisu ulkopuolella ( AB ): Jos MA / MB = k, niin MA / MB = CA / CB; (MC) on sitten kulman puolittaja M: ssä kolmiossa AMB. Mutta meillä on myös MA / MB = DA / DB ja (MD) on AMB: n M: n kulman toinen puolittaja. Erityisesti kolmio CMD on suorakulmio M: ssä ja M on siten halkaisijan ympyrässä [CD].
-
Yhteenveto: Kaikille M: n (AB) ulkopuolella oleville tasoille linjat (MA), (MB), (MC) ja (MD) muodostavat harmonisen kannan. Jos lisäksi M on ympyrän halkaisija [CD], niin me tiedämme, että (MC) ja (MD) ovat puolittajat on ∠AMB. Päätämme kanssa luonnehdinta bisector kannalta suhde
- Halkaisijan ympyrä [CD] on Apolloniuksen ympyrä tripletille ( A , B , k ).
Apollonian ympyrät nippu kolmion
Olkoon ABC kolmio. Ympyrä c keskellä O on rajattu kolmioon ABC.
Puolittajien A leikkaavat [BC] on I 1 ja J 1 , ympyrä c 1 , jonka keskipiste on O 1 on halkaisijan [I 1 J 1 ].
Puolittajien B leikkaavat [AC] on I 2 ja J 2 , ympyrä c 2 , jonka keskipiste on O 2 on halkaisijan [I 2 J 2 ].
C: n puolittimet leikkaavat [AB] kohdissa I 3 ja J 3 , ympyrän c 3 keskellä O 3 on halkaisijalle [I 3 J 3 ].
Säde piireissä Apollonioksen on muodostettu kolme ympyrää c 1 , c 2 ja c 3 Apollonioksen, joille on yhteistä kahden pisteen P ja Q. Nämä ovat perusta olevia palkin.
Niiden keskipisteiden O 1 , O 2 ja O 3 ovat linjassa kohtisuorassa bisector [PQ].
Ympärillä olevan ympyrän c keskipiste O ja kolmion ABC Lemoine-piste sijaitsevat linjalla (PQ).
Q (X15) ja P (X16) ovat Fermat-pisteiden isogonaalisia konjugaatteja (X14 ja X13)
Fraktaali
Katso: Apolloniuksen ympyrä
Bibliografia
- Jean-Denis Eiden, Klassinen analyyttinen geometria , Calvage & Mounet, 2009, ( ISBN 978-2-91-635208-4 )
-
Jean Fresnelin modernit menetelmät geometriassa
- Bruno Ingrao, Affine, euklidiset ja projektiiviset kartiot, C&M, ( ISBN 978-2-916352-12-1 )