Homogeeniset koordinaatit

On matematiikka , ja erityisemmin projektiivinen geometria , homogeeninen koordinaatit (tai projektiiviset koordinaatit ), käyttöön August Ferdinand Möbius , tehdä laskelmia mahdollista projektiivista tilaan , kuten suorakulmaiset koordinaatit tehdä euklidinen avaruus .

Homogeenisia koordinaatteja käytetään laajalti tietokonegrafiikassa ja erityisesti kolmiulotteisten ( 3D ) kohtausten esittämisessä, koska ne on sovitettu projektiiviseen geometriaan ja ne mahdollistavat avaruuden muunnosten luonnehtimisen . Matriisimuodossa olevaa merkintää käytetään erityisesti 3D-grafiikan ohjelmointikirjastoissa, kuten OpenGL ja Direct3D .

Ensimmäiset merkinnät ja tulkinnat

Pinnan homogeeniset koordinaatit ulottuvuuden n projisoitavassa avaruudessa kirjoitetaan yleensä ( x  : y  : z  :…: w ), vektorina, jonka pituus on n +1, muu kuin (0: 0: 0:…: 0). Kaksi verrannollista koordinaattijoukkoa ilmaisee samaa projisointitilan pistettä: kaikilla nollasta poikkeavilla skalaareilla c, jotka on otettu peruskentästä K , ( cx  : cy  : cz  :…: cw ) vastaa ( x , y , z , w ). Siten tämä koordinaatistojärjestelmä ottaa käyttöön vastaavuusluokat, jotka koostuvat kollineaarisista vektoreista . Ottaen esimerkin kolmiulotteisesta projektivisesta avaruudesta, homogeeniset koordinaatit ovat ( x  : y  : z  : w ).

Rakennettu projisointitila antaa mahdollisuuden kuvata tasoa äärettömässä . Tämän määrittelee usein joukko pisteitä tai vektoreita, joiden viimeinen koordinaatti w = 0, joita kutsutaan pisteiksi äärettömissä . Tämän tason ulkopuolella voimme käyttää ( x / w , y / w , z / w ) kuten tavallista suorakulmaista järjestelmää; siksi ääretön tasoa täydentävä affiininen tila koordinoidaan tutussa muodossa siten, että pohja vastaa (1: 0: 0: 1), (0: ​​1: 0: 1), (0: ​​0: 1: 1).

Esimerkiksi, jos halutaan määrittää risteyksessä kahden tason määritellään yhtälöiden x = w ja x = 2 w (jonka affine osa vastaa kahta yhdensuuntaisia Oyz tasoon yhtälöryhmä x = 1 ja x = 2), vastaavuus voidaan helposti tarkistaa w = 0 ja x = 0. Tämä osoittaa, että leikkauspiste on tasossa äärettömässä ja muodostuu kaikista pisteistä, joilla on koordinaatit (0: y  : z  : 0). Se on suora viiva, joka yhdistää kaksi pistettä (0: 1: 0: 0) ja (0: 0: 1: 0) ja saadaan parametrisilla yhtälöillä, joissa µ on parametri (skalaari). Tätä parametria voidaan säätää normalisoimaan koordinaatit (0: y  : z  : 0) ja siten eliminoimaan toinen kahdesta vapausasteesta. Tuloksena on joukko pisteitä yhdellä vapausasteella, kuten linjalta odotetaan. Tällainen laskelma oikeuttaa kaikki paradoksaaliset lauseet, joissa vahvistetaan, että "rinnakkaisuudet leikkaavat loputtomasti". (0:y:z:0)=μ(1-λ)(0:1:0:0)+μλ(0:0:1:0){\ displaystyle (0: y: z: 0) = \ mu (1- \ lambda) (0: 1: 0: 0) + \ mu \ lambda (0: 0: 1: 0)}

Algebralliset käyrät ja pinnat

Tasasivuinen hyperbeli affiini yhtälö voidaan ulottaa projektiiviselle tasoon huomioon kohdat ( X  : Y  : Z ) täyttävät (joka sisältää edellä olevia, samoin kuin niiden kahden pisteen äärettömään (1: 1: 0) ja (1 : -1: 0); määritämme esimerkiksi hyperbolan asymptootit ja kirjoitamme käyrän tangenttien yhtälön näihin kahteen pisteeseen). Sanomme, että olemme homogenisoineet affiinikaavan . x2-y2=1{\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}X2-Y2=Z2{\ displaystyle X ^ {2} -Y ^ {2} = Z ^ {2}}

Yleisemmin, jos tunnistamme affiinisen avaruuden viimeisen nollasta poikkeavan koordinaatin projisointitilan pisteisiin (toisin sanoen asetamme ), implisiittisen yhtälön (algebrallinen) hyperpinta laajennetaan projektiiviseen avaruuteen l-implisiittisen yhtälön avulla , jossa Q on homogeeninen polynomi liittyy P , jolla on kaava , d on astetta (yhteensä) ja P . Rei{\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}(x1,x2,...,xei)=(x1:x2:⋯:xei:1){\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ pisteitä, x_ {n}) = (x_ {1}: x_ {2}: \ pisteitä: x_ {n}: 1)}P(x1,x2,...,xei)=0{\ displaystyle P (x_ {1}, x_ {2}, \ pistettä, x_ {n}) = 0}Q(X1,X2,...,Xei,Z)=0{\ displaystyle Q (X_ {1}, X_ {2}, \ pistettä, X_ {n}, Z) = 0}Q(X1,X2,...,Xei,Z)=ZdP(X1/Z,X2/Z,...,Xei/Z){\ displaystyle Q (X_ {1}, X_ {2}, \ pisteet, X_ {n}, Z) = Z ^ {d} P (X_ {1} / Z, X_ {2} / Z, \ pisteitä, X_ {n} / Z)}

Geometriset muunnokset homogeenisissa koordinaateissa

Affiinimuunnokset

Affiinimuunnokset ovat tilaa sovelluksia koostuu lineaarisesta ja käännöksen, kuten kierto , käännökset , dilataatiolla , ulokkeet sekä muutokset tappeja; niitä voidaan pitää projektiivisina muunnoksina, jotka jättävät tason globaalisti invariantiksi äärettömyyteen; homogeenisissa koordinaateissa ne voidaan siten esittää matriisina , jonka koko on 4 × 4 ja jonka viimeinen rivi on aina (0 0 0 1). Seuraavissa osissa kuvataan joitakin näistä esityksistä.

Käännökset

Matriisi, joka kääntää vektorin muodossa kirjoitetun avaruudessa olevan käännöksen, on seuraavanlainen: (tx:ty:tz){\ displaystyle (t_ {x}: t_ {y}: t_ {z})}

[100tx010ty001tz0001]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & t_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & t_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & t_ {z} \\ 0 & 0 ja 0 & 1 \ loppu {matriisi}} \ oikea]}

Itse asiassa, jos laskemme mainitun käännöksen avulla koordinaattien pisteen M ' koordinaatit, joka on M : n kuva , käytämme seuraavaa matriisikertomusta: (sX′:sY′:sZ′:s){\ displaystyle (sX ': sY': sZ ': s)}

[sX′sY′sZ′s]=[100tx010ty001tz0001][XYZ1]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} sX '\\ sY' \\ sZ '\\ s \ end {matrix}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & t_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & t_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & t_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matriisi}} \ oikea] \ vasen [{ \ begin {matriisi} X \\ Y \\ Z \\ 1 \ end {matrix}} \ right]}

Mikä antaa hyvin:

{sX′=tx+XsY′=ty+YsZ′=tz+Zs=1{\ displaystyle {\ begin {cases} sX '= t_ {x} + X \\ sY' = t_ {y} + Y \\ sZ '= t_ {z} + Z \\ s = 1 \ end {tapaukset} }}

Yleisemmin mikä tahansa affiinimuunnos koostuu lineaarisesta kartasta ja käännöksestä, joka tuo koordinaatistojärjestelmän alkuperän sen kuvaan; sen matriisi on siis muodoltaan

[klobvs.txklo′b′vs.′tyklo″b″vs.″tz0001]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} a & b & c & t_ {x} \\ a '& b' & c '& t_ {y} \\ a' '& b' '& c' ' & t_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ loppu {matriisi}} \ oikea]}

missä alamatriisi

[klobvs.klo′b′vs.′klo″b″vs.″]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} a & b & c \\ a '& b' & c '\\ a' '& b' '& c' '\ end {matrix}} \ right]}

edustaa kyseistä lineaarista sovellusta.

Kierrot

Pyöritys avaruudessa voidaan myös havaita matriisimuodossa. Operaattori on muodossa:

[R3×303×101×31]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} R_ {3 \ times 3} & 0_ {3 \ times 1} \\ 0_ {1 \ times 3} & 1 \ end {matrix}} \ right]}

Alamatriisi R 3 × 3 tarkoittaa tässä pyörimismatriisia, kuten avaruudessa yleensä määritellään. Jos otamme koordinaattijärjestelmän avaruudesta , saamme seuraavat kiertymät pääakselien ympäri: (O,i→,j→,k→){\ displaystyle (O, {\ vec {i}}, {\ vec {j}}, {\ vec {k}})}

• kulman α kierto ympäri  :i→{\ displaystyle {\ vec {i}}}

[10000cos⁡(a)-synti⁡(a)00synti⁡(a)cos⁡(a)00001]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos (\ alfa) & - \ sin (\ alfa) & 0 \\ 0 & \ sin (\ alfa) & \ cos (\ alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matriisi}} \ oikea]}

• kulman kierto β ympäri  :j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}

[cos⁡(β)0synti⁡(β)00100-synti⁡(β)0cos⁡(β)00001]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ cos (\ beta) & 0 & \ sin (\ beta) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \ sin (\ beta) & 0 & \ cos (\ beta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matriisi}} \ oikea]}

• kulman γ kierto ympäri  :k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

[cos⁡(y)-synti⁡(y)00synti⁡(y)cos⁡(y)0000100001]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ cos (\ gamma) & - \ sin (\ gamma) & 0 & 0 \\\ sin (\ gamma) & \ cos (\ gamma) & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matriisi}} \ oikea]}

Ennusteet

Projektiossa pisteet projisoidaan määritettyä suuntaa pitkin tasolle, joka sijaitsee f: n etäisyydellä origosta suuntaan nähden . Ortografinen projektio tulkitaan joskus perspektiiviprojektiona, jossa perspektiivipiste hylätään loputtomasti. Liittyvä muunnosmatriisi on tällöin seuraava: k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

[10000100000f0001]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matriisi }} \ oikea]} Soveltaminen isometrisen koordinaattijärjestelmän muutokseen

Homogeeniset koordinaatit kiinnostavat tätä tarkkaa tapausta. Tämän merkinnän avulla voidaan kääntää viitemerkin muutokset. Jos uusi koordinaatisto on peräisin käännetty verrattuna vanha vektorin ja näkee sen muuttuivat samalla, pohja muutos matriisi on huomattava, R 3 x 3 , niin pisteen koordinaatit M huomattava uudessa koordinoida järjestelmä linkitetään vanhan koordinaattijärjestelmän ilmaisemiin koordinaatteihin: t3×1=(tx:ty:tz){\ displaystyle t_ {3 \ kertaa 1} = (t_ {x}: t_ {y}: t_ {z})}(X′,Y′,Z′,1){\ displaystyle (X ', Y', Z ', 1)}(X,Y,Z,1){\ displaystyle (X, Y, Z, 1)}

[sXsYsZs]=[R3×3t3×10001][X′Y′Z′1]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} sX \\ sY \\ sZ \\ s \ end {matrix}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} &&& \\ & R_ {3 \ kertaa 3} && t_ {3 \ kertaa 1} \\ &&& \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matriisi}} \ oikea] \ vasen [{\ begin {matrix} X '\\ Y' \\ Z ' \\ 1 \ end {matriisi}} \ oikea]}

Uuden koordinaattijärjestelmän koordinaatit vanhan koordinaattien funktiona määritetään sitten kääntämällä edellinen matriisi. Joka antaa:

[sX′sY′sZ′s]=[R3×3T-R3×3Tt3×10001][XYZ1]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} sX '\\ sY' \\ sZ '\\ s \ end {matrix}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} &&&& \\ & R_ { 3 \ kertaa 3} ^ {T} && - R_ {3 \ kertaa 3} ^ {T} t_ {3 \ kertaa 1} \\ &&& \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {matriisi}} \ oikea] \ left [{\ begin {matrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \ end {matrix}} \ right]}

jossa R 3 x 3 T edustaa osaksi matriisin ja R 3 x 3 .

Projektiiviset muunnokset

Gnomoninen projektio

Yksi sijoittuu projektioon tasossa, joka sijaitsee suunnan mukaan etäisyydellä f lähtöpaikasta . Heijastetut pisteet ovat täällä linjalla, joka kulkee aloituskohdan ja heijastettavan pisteen läpi. Matriisi ilmaistaan ​​sitten seuraavassa muodossa: (i→,j→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {j}})}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

[100001000010001/f0]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / f & 0 \ end {matriisi}} \ oikea]}

Todellakin, jos laskemme koordinaattien projisoidun pisteen M ' koordinaatit, joka on kuva mainitulla projektiolla, saadaan: (sX′:sY′:sZ′:s1){\ displaystyle (sX ': sY': sZ ': s1)}M(X:Y:Z:1){\ displaystyle M (X: Y: Z: 1)}

{sX′=XsY′=YsZ′=Zs=Z/f⇔{X′=fX/ZY′=fY/ZZ′=f{\ displaystyle {\ begin {cases} sX '= X \\ sY' = Y \\ sZ '= Z \\ s = Z / f \ end {cases}} \ quad \ Leftightarrow \ quad {\ begin {cases} X '= fX / Z \\ Y' = fY / Z \\ Z '= f \\\ loppu {tapaukset}}}

Tämä on johdonmukaista, koska pisteen kolmas koordinaatti on todellakin f , kuten odotettiin.

Koska kolmas koordinaatti on aina tiedossa (yhtä suuri kuin f ), on mahdollista määrittää suoraan 2D-koordinaatit itse tasossa. Sitten meillä on siirtyminen homogeenisista 3D-koordinaateista homogeenisiin 2D-koordinaatteihin. Jos otamme M " on koordinaatit kuvan tasossa ja M koordinaattien sitten suhteessa yhdistää kaksi pistettä kirjoitetaan muotoon: (sx′,sy′,s){\ displaystyle (sx ', sy', s)}(X,Y,Z,1){\ displaystyle (X, Y, Z, 1)}

[sx′sy′s]=[f0000f000010][XYZ1]{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} sx '\\ sy' \\ s \\\ end {matrix}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} f & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & f & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ \\ end {matrix}} \ right] \ left [{\ begin {matrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \\\ end {matrix}} \ right]}

Mikä vastaa järjestelmää

{sx′=fXsy′=fYs=Z⇔{x′=fX/Zy′=fY/Zs=Z{\ displaystyle {\ begin {cases} sx '= fX \\ sy' = fY \\ s = Z \\\ end {cases}} \ quad \ Leftightarrow \ quad {\ begin {cases} x '= fX / Z \\ y '= fY / Z \\ s = Z \\\ loppu {tapaukset}}}

Sitten löydämme samat arvot kuin aiemmin ( x ' = X' ja y ' = Y' ). On siis olemassa formulaatio, joka antaa suoraan tarkasteltavalle tasolle projisoidun pisteen koordinaatit.

Suhde baryentrisiin koordinaatteihin

Voimme tulkita pisteen M , ( X  : Y  : Z  : T ) homogeeniset koordinaatit kehyksen pisteen ( A , B , C , O ) baryentrisiksi koordinaatteiksi , O on alkuperä ja A , B ja C viitekehyksen akselien äärettömät kohdat. Tässä esityksessä uusi taso äärettömässä vastaa nollasumman ( ) baryentrisiä koordinaatteja . Jos sijoitamme pisteet A , B ja C tetraedriyksikön kärkipisteisiin ( A = (1,0,0), B = (0,1,0) ja C = (0,0,1)), piste N, jolla on samat baryentriset koordinaatit kuin M: llä homogeenisten koordinaattien kohdalla ( X  : Y  : Z  : X + Y + Z + T ); Kartan lähettäminen M yli N on siis kolmiulotteisen, jonka matriisi on transvektio matriisi , joka vastaa (suorakulmaisessa koordinaatistossa) ja muutosta , ja . Suhteen muutoksen koordinaatit kaavojen, siksi käyttää käänteismatriisi , joka vastaa projektiiviselle kaavoja , , ja . X+Y+Z+T=0{\ displaystyle X + Y + Z + T = 0}P=[1000010000101111]{\ displaystyle P = \ left [{\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \ end {matriisi}} \ oikea]}x′=xx+y+z+1{\ displaystyle x '= {x \ yli x + y + z + 1}}y′=yx+y+z+1{\ displaystyle y '= {y \ yli x + y + z + 1}}z′=zx+y+z+1{\ displaystyle z '= {z \ yli x + y + z + 1}}P-1=[100001000010-1-1-11]{\ displaystyle P ^ {- 1} = \ vasen [{\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & -1 & 1 \ loppu {matriisi}} \ oikea]}X′=X{\ displaystyle X '= X}Y′=Y{\ displaystyle Y '= Y}Z′=Z{\ displaystyle Z '= Z}T′=-X-Y-Z+T{\ displaystyle T '= - XY-Z + T}

Huomautuksia ja viitteitä

Huomautuksia

1. Voimme päättää muista säännöistä kuin w = 0 ja jopa päättää, että äärettömyyden käsite ei koske meitä projektiivisessa tilassa ja että emme ole kiinnostuneita taustalla olevasta affiinisesta avaruudesta, mikä ei estä CAD: tä .

Viitteet

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">