Puolisuunnitelma

In todellinen taso affine geometria , joka on viiva jakaa tasossa kahteen puoli-tasossa . Tätä suoraa viivaa kutsutaan sitten puolitasojen rajaksi.

Kaksi pistettä M ja N, jotka eivät sijaitse viivalla (d), sijaitsevat samalla rajapuolitasolla (d) vain ja vain, jos segmentti [MN] ei ole suoraa (d).

Puolitaso on yksinkertainen esimerkki kuperasta joukosta .

Risteykset ja liitot

Kahden puolitason leikkaus, joiden reunat ovat O: n viistot viivat, antaa merkittävän kulmasektorin, jossa on kärkipiste O. Näiden samojen puolitasojen yhdistäminen antaa uudelleenkulkeutuvan kulmasektorin. Jos viivat ovat yhdensuuntaiset ja mikään puolitasoista ei sisälly toiseen, että leikkauspiste ei ole tyhjä, puolitasojen leikkauspiste antaa kaistan.

Kuperuus

Koska yksinkertainen kupera asettaa , puoli-kone mahdollistaa luonnehtia tasoon kupera sarjaa.

Monikulmio on kupera, jos ja vain jos, mitä puolella kannattaa valita, monikulmio sisältyy kokonaisuudessaan puolen tasossa, jonka raja kantaa tällä puolella. Sen rajaama taso saadaan sitten puolitasojen leikkauspisteinä, joiden rajat ovat sen sivuja tukevat suorat viivat.

Lopuksi erotuslause antaa mahdollisuuden vahvistaa, että kaksi kuperaa joukkoa, jotka irtoavat tasosta, voidaan erottaa suoralla viivalla, joka sijoittaa molemmat joukot eri puolitasoihin.

Avoin puolisuunnitelma ja suljettu puolisuunnitelma

Affiinitaso on kanonisesti varustettu topologialla (johdettu mistä tahansa siihen liittyvän vektoritason normista ). Puolitason raja on sen raja topologisessa mielessä. Voimme erottaa suljetun puolitason (joka sisältää sen reunan) avoimesta puolitasosta (irti sen rajasta).

Luonteenmukaisuus epätasa-arvolla

Kun tasossa on koordinaatistojärjestelmä , puolitasolle on tunnusomaista epätasa-arvo, joka liittyy suoran (d) yhtälöön. Laaja epätasa-arvo vastaa suljettua puolitasoa ja tiukkaa epätasa-arvoa avoimeen puolitasoon.

Suorakulmaiset koordinaatit

Jos suoralla (d) on yhtälö ax + by + c = 0, kahdella avoimella puolitasolla on epäyhtälöt ax + by + c <0 ja ax + by + c > 0 ja puolitasot, jotka on suljettu ax +: lla + c ≤ 0 ja ax + by + c ≥ 0. Tämän puolitason luonnehdinnan avulla on helppo osoittaa, että puolitaso on kupera, että kaksi pistettä eri puolitasoissa yhdistävä segmentti leikkaa rajan ja että '' puoliviiva, joka alkaa rajakohdasta ja kulkee puolitason pisteen läpi, sisältyy kokonaan tähän puolitasoon.

Jos suoralla on yhtälö y = mx + p , eriarvoisuuden puolitasoa y <mx + p kutsutaan puolitasoksi linjan (d) alle ja eriarvoisuuden puolitasoa y> mx + p kutsutaan puolitaso viivan (d) yläpuolella.

Baryentriset koordinaatit

Jos A, B, ja C ovat kolme kohdistamattomien pistettä ja jos G on massakeskipisteen painotetun järjestelmän {(A, a), (B, b), (c)}, asema G suhteessa linjan ( AB) määritetään c: n ja a + b + c: n vertailumerkkien avulla. Jos c: llä ja a + b + c: llä on sama merkki, G on C: n sisältävällä rajapuolitasolla (AB), jos c ja a + b + c ovat vastakkaisia merkkejä, piste G on toisella puoliskolla .

Tämä karakterisointi antaa mahdollisuuden määritellä kolmion sisätilat niiden pisteiden barycentereiden joukoksi, joille on annettu saman merkin painot.

Välittäjä

Jos nyt taso on varustettu euklidisella rakenteella , segmentin [AB] kohtisuora puolittaja, jossa A ja B ovat kaksi erillistä pistettä, on pistejoukko, joka on yhtä kaukana A: sta ja B: stä; siksi se on pistejoukko M siten, että MA = MB. Tämä kohtisuora puolittaja jakaa tason kahteen puolitasoon, joista toinen sisältää A: n ja kaikki pisteet, jotka ovat lähempänä A: ta kuin B: tä, joukko pisteitä M siten, että MA <MB ja toinen B: n, jotka vastaavat pisteitä M sellainen, että MA> MB.

Polaarikoordinaatit

Jos taso on lisäksi suunnattu ja jos viiva on suunnattu vektorin u kautta ja kulkee A: n läpi, voimme erottaa kaksi puolitasoa: toinen sijaintipisteen (d) oikealla puolella, pistejoukko P siten, että l ' joko negatiivisen sinin, negatiiviseksi puolitasoksi kutsutun, kulma ( u , AP ), toinen (d) "vasemmalla", kaikki pisteet P siten, että kulma ( u , AP ) tai positiivisen sinin puolipositiivinen suunnitelma.

Polaarikoordinaateissa, jos viiva ei kulje origon läpi ja jos sen napayhtälö on

{\ displaystyle r \ cos (\ theta - \ varphi _ {0}) = r_ {0}}

missä ovat M: n napakoordinaatit ja ovatko O: n (d) kohtisuoran projektion napakoordinaatit.

(r, \ theta)

{\ displaystyle (r_ {0}, \ varphi _ {0})}

sitten avoimelle puolitasolle, joka ei sisällä alkuperää, on ominaista epäyhtälö

{\ displaystyle r \ cos (\ theta - \ varphi _ {0})> r_ {0}.}

Jos viiva kulkee aloituskohdan läpi ja sillä on polaarikoordinaattien suuntausvektoria u , positiivinen puolitaso tyydyttää ${\ displaystyle (1; \ alpha _ {0})}$

{\ displaystyle \ sin (\ theta - \ alpha _ {0})> 0.}

Huomautuksia ja viitteitä

Katso esimerkiksi W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich ja H. Kästner ( saksankielinen käännös kollektiivilta, Jacques-Louis Lionsin johdolla ), matematiikan petite-tietosanakirja [“ Kleine Enzyklopädie der Mathematik ” ], Didier ,1980, luku. 41, s. 780, määritelmä 2.
Katso esimerkiksi Dany-Jack Mercier, Demi-plan, convexité et Polynomes , IUFM de Guadeloupe , luku 2.
Katso esimerkiksi Gellert et ai. 1980 , c. 13.2, s. 313.

Katso myös