Poincarén puoli-tasossa on osajoukko on kompleksilukuja . Se antoi ranskalaisen matemaatikon Henri Poincarén valottaa venäläisen Nikolai Lobachevskyn työtä .
Poincarén puolitaso muodostuu tiukasti positiivisen kuvitteellisen osan kompleksiluvuista . Se tarjoaa esimerkin ei-euklidisesta geometriasta , tarkemmin hyperbolisesta geometriasta .
Katsomme ylemmän puolitason:
MetrinenVarustamme ylemmän puolitason metrillä :
Tällä mittarilla on vakiona negatiivinen skalaarinen kaarevuus :
Palataan yleensä yksikkökäyrän tapaukseen , toisin sanoen valitsemme: a = 1 yksinkertaistamaan yhtälöitä.
GeodesiaGeodesics ovat pystysuorassa puoli-linjat (euklidisessa merkityksessä): x = t t (punainen) ja puoliympyröistä (euklidisessa merkityksessä) kohtisuoraan vaaka-akselilla: y = 0 (sininen):
Ryhmä on matriisien GL 2 + ( R ) vaikuttaa tähän tilaan, jonka homographies . Olkoon g tarkemmin sanottuna osa GL 2 + ( R ):
Sen vaikutus puolitason pisteeseen z saadaan Möbiuksen muunnoksella :
Geodeettista virtaus on Riemannin moninaiset negatiivinen kaarevuus on kaikkein kaoottinen prototyypin jatkuva-aikaisen dynaamisen . Lisätietoja on artikkelissa "Kaoottinen dynamiikka" artikkelissa "Hyperbolinen geometria" .