Pallon sähköstaattinen dipoli

Antaa olla pallo, säde R, tasainen polarisaatio, siis dipolimomentti . Tämän pallon muodostama sähkökenttä on sama kuin pallon, joka on pinnalle varattu kierrosta pintatiheydellä . ${\ displaystyle {\ vec {p}} = Vol \ cdot {\ vec {P}}}$ ${\ displaystyle \ sigma (\ theta) = Pcos \ theta}$

Kenttä ja potentiaali luotu

Koska jakelua tuetaan kompaktisti, niin kaukakenttä (r >> R) kuin dipolin p luoma.

On poikkeuksellista huomata, että tämä pätee kaikkiin r> R!

{\ displaystyle {\ vec {E}} (M) = {\ frac {p} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {3}}} \ cdot {\ bigl (} 2 \ cos \ theta { \ vec {u_ {r}}} + \ sin \ theta {\ vec {u _ {\ theta}}} {\ bigr)} = {\ frac {P} {3 \ epsilon _ {0}}} {\ frac {R ^ {3}} {r ^ {3}}} \ cdot {\ bigl (} 2 \ cos \ theta {\ vec {u_ {r}}} + \ sin \ theta {\ vec {u _ { \ theta}}} {\ bigr)}}

tai:

{\ displaystyle {\ vec {E}} (M) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0} \ cdot r ^ {3}}} \ cdot {\ bigl (} 3 {\ vec {u_ {r}}} ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {u_ {r}}}) - {\ vec {p}} {\ bigr)} = {\ frac {R ^ {3 }} {\ epsilon _ {0} \ cdot r ^ {3}}} \ cdot {\ bigl (} {\ vec {u_ {r}}} ({\ vec {P}} \ cdot {\ vec {u_ {r}}}) - {\ frac {1} {3}} {\ vec {P}} {\ bigr)}}

Kun r <R, kenttä on yhtenäinen:

{\ displaystyle {\ vec {E_ {0}}} = - {\ vec {P}} / 3 \ epsilon _ {o} = {\ frac {P} {3 \ epsilon _ {0}}} \ cdot { \ bigl (} -cos \ theta {\ vec {u_ {r}}} + \ sin \ theta {\ vec {u _ {\ theta}}} {\ bigr)}}

Siksi sähkökaavio on helppo piirtää.

Siksi saamme seuraavat mahdollisuudet:

(r> R): ${\ displaystyle V (M) = {\ frac {{\ vec {p}} \ cdot {\ vec {r}}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {3}}} = {\ frac {R ^ {3}} {r ^ {3}}} {\ frac {{\ vec {P}} \ cdot {\ vec {r}}} {3 \ varepsilon _ {0}}}}$

(r <R): ${\ displaystyle V (M) = {\ frac {{\ vec {P}} \ cdot {\ vec {r}}} {3 \ epsilon _ {o}}}}$

Esittely

Voimme tehdä matematiikan; mutta nopein esittely on "bluffaaminen": ratkaisu on olemassa ja ainutlaatuinen; riittää siis tarkistamaan, että div E = 0 ja rot E = 0 ja että rajaolosuhteet suoritetaan äärettömyydessä (täsmälleen) ja pallolla myös:

{\ displaystyle E_ {ext} -E_ {int} = {\ frac {Pcos (\ theta)} {\ epsilon _ {o}}}. {\ vec {u_ {r}}} = {\ frac {\ sigma (P)} {\ epsilon _ {o}}}. {\ Vec {n}} (P)}

(tämä on myös oikein).

Rajakotelo R on nolla

Tällä hetkellä meillä on pieni tilavuus V, jossa kentän integraali on yhtä suuri kuin Vol.Eo = - P / 3 x -4 . s . . ${\ displaystyle \ epsilon _ {o}}$ ${\ displaystyle \ pi / 3}$ ${\ displaystyle \ delta (r)}$

Yhteensä ] ${\ displaystyle {\ vec {E}} (M) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {o}}} [{\ frac {1} {r ^ {3}}} (3 ( {\ vec {p}} {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {p}}) - {\ frac {4 \ pi} {3}} {\ vec {p} } \ cdot \ delta (r)}$

Katso myös