On matematiikka , joka on etäisyys on sovellus , joka virallistaa intuitiivinen ajatus etäisyys, eli pituus, joka erottaa kaksi pistettä. Tavanomaisen etäisyyden pääominaisuuksien analysoinnin avulla Fréchet esittelee metrisen avaruuden käsitteen , jonka sitten kehitti Hausdorff . Se tuo geometrisen kielen moniin analysointikysymyksiin ja lukuteoriaan .
Etäisyyden määritelmän perusteella, joka nähdään sovellukseksi, joka täyttää tietyt aksioomat , voidaan määritellä muita etäisyyden käsitteitä, kuten kahden osan välinen etäisyys tai etäisyys pisteestä osaan, ilman että nämä täyttävät ensisijaisen määritelmän etäisyys.
Kutsutaan etäisyys on asetettu E tahansa sovellus on määritellä tuotteen E 2 = E x E ja arvojen joukko ℝ + on todellinen positiivinen tai nolla ,
tarkistamalla seuraavat ominaisuudet:
Sukunimi | Omaisuus |
---|---|
symmetria | |
erottaminen | |
kolmiomainen epätasa-arvo |
Joukkoa, jolla on etäisyys, kutsutaan metriseksi avaruudeksi .
HuomautuksetEtäisyyden sanotaan olevan ultrametrinen, jos lisäksi:
Sukunimi | Omaisuus |
---|---|
Ultrametria |
Esimerkki tällaisesta etäisyydestä on ratkaiseva p- adic- arvostusten teoriassa . Kolmion muotoisen epätasa-arvon geometrinen tulkinta ultrametrisessä avaruudessa johtaa sanomaan, että kaikki kolmiot ovat tasakylkisiä; lisäksi kaikki tässä sarjassa määritellyn säteen pallot muodostavat osion tästä joukosta; lisäämällä tätä sädettä nollasta avaruuteen on annettu hierarkkinen läheisyysrakenne, jota voidaan käyttää automaattisessa luokittelussa , erityisesti hierarkkiseen klusterointiin .
On normeerataan vektori tila , etäisyys d ”indusoiman” tämän normi on määritelty:
.Erityisesti kohdassa ℝ n voimme määritellä useilla tavoilla kahden pisteen välisen etäisyyden, vaikka sen yleensä antaa euklidinen etäisyys (tai 2-etäisyys ). Kun otetaan huomioon kaksi pistettä E , ( x 1 , x 2 ,…, x n ) ja ( y 1 , y 2 ,…, y n ) , ilmaisemme eri etäisyydet seuraavasti:
Sukunimi | Asetus | Toiminto |
---|---|---|
Manhattanin etäisyys | 1-etäisyys | |
Euklidinen etäisyys | 2-etäisyys | |
Minkowskin etäisyys | p -etäisyys | |
etäisyys Chebyshevistä | ∞ -etäisyys |
Kahden etäisyyden avulla voidaan yleistää Pythagoraan lauseen soveltaminen ulottuvuuden avaruuteen n . Tämä on "intuitiivisin" etäisyys.
P -Etäisyys on harvoin käytetty paitsi silloin, p = 1, 2 tai ∞ . ∞ -Etäisyys on hauska ominaisuus mahdollistaa tiukkaa määritelmää kuutiometriä aloilla (ks ristiriitaiselta ). Yhden etäisyyden avulla voidaan määrittää oktaedriset pallot .
Missä tahansa joukossa erillinen etäisyys d määritetään seuraavasti: jos x = y, sitten d ( x , y ) = 0 ja muuten, d ( x , y ) = 1.
On myös mahdollista määrittää etäisyydet permutaatioiden välillä . Seuraavaa esimerkkiä käytetään laajalti genomien uudelleenjärjestelyssä . Olkoon S joukko permutaatioita, jotka mallintavat erilaisia operaatioita; sitten kahden permutaation π ja σ välinen etäisyys on minimaalisen sekvenssin pituus, joka muodostuu S : n elementtien tuotteesta siten, että tämä sekvenssi muuntaa π : n σ: ksi .
Näitä etäisyyksiä voidaan myös käyttää mittaamaan eri tavoin jaksossa esiintyvää häiriötä. Näitä mittauksia käytetään sitten erilaisten lajittelualgoritmien suorituskyvyn analysointiin tai uusien lajittelualgoritmien rakentamiseen, jotka suorittavat optimaalisen määrän vertailuja valitun häiriön mittarin suhteen.
Levenshteinin etäisyys on esimerkki määritelty matka on joukko merkkijonojen. Se on määritelty molemmille kanaville ja B kuten vähimmäismäärä summaustoimenpiteessä / poisto / vaihto merkkiä muuttaa ketjun merkkijono B .
Esimerkkejä:
Tämän tyyppistä etäisyyttä käytetään yleisesti suodatus- / virhekorjaussovelluksissa, esimerkiksi tekstinkäsittelyohjelmien automaattisessa korjauksessa (ohjelma etsii sanakirjasta sanoja, joilla on pienimmät etäisyydet sanaan huono. Kirjoitettu), optisen numeron pariksi muodostamiseen levyn lukemat ...
Tällä etäisyydellä on vaihteluita, kuten Damerau-Levenshtein-etäisyys .
Samaa yleistä periaatetta voidaan käyttää kuviotunnistussovelluksissa .
Termiä etäisyys käytetään joskus määrittelemään sovelluksia, jotka eivät täytä artikkelin alussa esitettyä metristen tilojen klassista määritelmää.
Olkoon E 1 ja E 2 kaksi metrisen avaruuden E ei-tyhjää osaa, jolla on etäisyys d , määritämme näiden kahden joukon välisen etäisyyden seuraavasti:
Se on positiivinen reaaliluku, kuten alaraja on ei-tyhjän joukon positiivisia reals.
HUOM Tämä "etäisyys" ei ole etäisyys E : n osien joukosta edellä määriteltyjen aksiomien mukaisesti. Erityisesti jos kahden sarjan välinen etäisyys on nolla, siitä ei voida päätellä, että nämä joukot ovat samat, eikä edes niiden kiinnittymistä .On kuitenkin mahdollista määrittää todellinen etäisyys metrisen avaruuden kompaktien osien välillä. Katso tästä: Hausdorffin etäisyys .
Voimme tarkentaa edellistä määritelmää ottamalla toisen kahdesta joukosta, joka on supistettu pisteeseen.
Jos on ei-tyhjä osa metrinen avaruus E , ja jos x on osa E , me määrittelemme etäisyys x on kuin alaraja :
Tämä on suurimman pallon avoimen keskipisteen x säde, joka ei täytä A: ta .
On huolehdittava siitä, että d ( x , A ) = 0 ei tarkoita yleisesti, että x on A: n elementti . Esimerkiksi absoluuttisen arvon ℝ: ssä etäisyys 0: sta avoimeen väliin] 0, 1 [on nolla tai etäisyys mistä tahansa todellisesta rationaaliryhmään on myös nolla.
Tarkemmin sanottuna etäisyys x on on nolla jos ja vain jos x on kohta kiinni ja (toisin sanoen: edellisen seuraus on tosi jos ja vain jos on suljettu ). Yleisemmin, etäisyys x on on yhtä suuri kuin etäisyys x kiinnittymisestä .
Kartta E on ℝ joka Jonkin elementti x on E osakkuusyritysten d ( x , ) on jatkuva , ja jopa 1- Lipschitzian : .
Olkoon affiniaalisen avaruuden kaksi pistettä A ja B , joiden läpi suuntautunut viiva kulkee (suora, jolla on nollasta poikkeava vektori ). Kutsumme algebrallista etäisyyttä kohteesta ja B todellinen yksi siten, että:
Voimme osoittaa, että algebrallinen etäisyys A: sta B: hen (huomattu ) kannattaa:
Huomaa, että algebrallinen etäisyys ei ole etäisyys, koska se ei ole symmetrinen :
Keventämällä etäisyyden määritelmän aksiomia, saavutamme jälkimmäisen erilaisia yleistyksiä:
Sukunimi | rajalliset arvot | symmetria | eriarvoisuus | ||
---|---|---|---|---|---|
etäisyys | Joo | Joo | Joo | Joo | Joo |
kvasimetrinen | Joo | ei | Joo | Joo | Joo |
metametrinen | Joo | Joo | ei | Joo | Joo |
pseudometrinen | Joo | Joo | Joo | ei | Joo |
semimetrinen | Joo | Joo | Joo | Joo | ei |
hemimetrinen | Joo | ei | Joo | ei | Joo |
prametrinen | Joo | ei | Joo | ei | ei |
ero | ei | Joo | Joo | ei | Joo |
Ehtoa, jonka mukaan etäisyys saa arvot [0, + ∞ [: ssa], voidaan myös lieventää tarkastelemalla "etäisyyksiä, joiden arvot ovat järjestetyssä suodatusjoukossa ". Aksioomien uudelleen muotoilu johtaa tässä tapauksessa yhtenäisten tilojen rakentamiseen : topologiset tilat, joissa on abstrakti rakenne, jonka avulla voidaan verrata eri pisteiden paikallisia topologioita.
Etäisyyden eri muunnelmia vastaavien luokkien joukossa pseudométriques-tilojen "laajennettu" ( eli arvon + to salliminen ), morfismin sovelluksena 1- Lipschitz , toimii parhaiten: se voi rakentaa siellä mielivaltaisia tuotteita ja sivutuotteet ja muodostavat osamääräobjekteja. Jos poistamme laajennetun , voimme ottaa vain valmiita tuotteita ja sivutuotteita. Jos poistamme lempinimen , emme voi enää ottaa osamääriä. alueet lähestymistapa on yleistys metristä tiloja, jotka ylläpitävät näitä hyviä ominaisuuksia luokkaan.
On myös, ja ero geometria , käsitteet Riemannin ja pseudo-Riemannin mittareita on ero jakoputken (ja ei enää yksinkertaisesti on asetettu ).
Mittareihin, jotka eivät kunnioita symmetriaa, viitataan yleensä "epäsymmetrisinä mittareina" kuin kvasimetrisinä. Termiä kvasi käytetään usein geometriassa ominaisuuden määrittelemiseksi vakioon asti.