Kupera sarja

Geometrisen kohteen sanotaan olevan kupera, kun joka kerta, kun siitä otetaan kaksi pistettä $A$ ja $B$ , niihin liitetty segmentti $[A, B]$ on kokonaan siinä. Joten kiinteä kuutio , kiekko tai pallo ovat kuperia, mutta ontto tai kuoppainen esine ei.

Määritelmä

Oletamme työhön tilanteessa, jossa segmentin $[ X , Y ]$ yhdistää minkään kahden pisteen $x$ ja $y$ on merkitystä (esimerkiksi käytettäessä Affiininen avaruudessa on ℝ - erityisesti affiinin tilaa ℂ - tai hyperbolinen tilaanhyperbolinen tila ) .

Määritelmä - Joukko $C$ sanotaan olevan kupera kun kaikille $x$ ja $y$ on $C$ , segmentin $[ X , Y ]$ on täysin sisältämä $C$ , eli:

{\ displaystyle \ forall x, y \ in C \ quad \ forall t \ in [0 \,; 1] \ qquad t \, x + (1-t) \, y \ in C}

Ellei nimenomaisesti toisin mainita, kaikki mitä seuraa huolenaiheet ainoa yhteydessä pullistumaa vuonna Affiininen (tai vektori) tiloja koskevasta tilattu kenttään .

Kutsumme ulottuvuus on ei-tyhjä kupera $C$ ulottuvuus affiini rungon , jonka $C$ .

Esimerkkejä

Avoin tai suljettu puoli-tilat rajaa hypertaso on ℝ- vektorin tila - tai yleisemmin: Affiininen - ovat kuperia.
Reaalilukujen avaruuden ℝ kuperat osajoukot ovat ℝ: n välejä .
Vuonna affine tilaan , jokainen affiinia aliavaruus on kupera; tämä koskee erityisesti vektoriavaruuden vektorialatiloja.
On todellinen normalisoitu vektori tilaa , mikä tahansa pallon (auki tai kiinni) on kupera.

Perusominaisuudet ja perustyökalut

Risteyksiä kupera

Kahden kuperan (ja jopa minkä tahansa kuperan perheen ) leikkauspiste on itsessään kupera (ja tämä hyvin yleisesti, koska voimme määrittää kuperuuden).

Vakaus barycentereillä positiivisilla kertoimilla

Kuparuuden määritelmä lepää minkä tahansa kahden pisteen $x$ ja $y$ valinnan jälkeen segmentin $[ x , y ]$ pisteiden , toisin sanoen barycentereiden, joilla on näiden kahden pisteen positiiviset kertoimet, huomioon ottamisen. Barycenter-assosiatiivisuuslausetta käyttämällä voimme laajentaa barycentereihin, joiden positiiviset kertoimet ovat minkä tahansa määrän pisteitä:

Ehdotus - affiinisen avaruuden $E$ osajoukko $C$ on kupera (jos ja) vain, jos mikä tahansa äärellisen pisteiden $C ryhmän$ kupera yhdistelmä on itse $C: ssä$ .

Kupera kirjekuori

Kun otetaan huomioon ympäröivän tilan $E$ mikä tahansa osa $A$ (affiinitila tai yleisempi konteksti), on olemassa ainakin yksi $E: n$ kupera osajoukko, joka sisältää $A: n$ , nimittäin $E$ itse; Tämän avulla voidaan ottaa huomioon kaikkien $A: n$ sisältävien $E: n$ kuperien osajoukkojen leikkauspiste . Me kutsumme sitä kupera kirjekuoreen sekä ja merkitään sen $co ($ $)$ tai $Conv ($ $)$ .

Varmistamme heti, että $co ( A )$ on siten pienin $A: n$ sisältävä $E: n$ kupera osajoukko $P: n$ $($ $E$ $)$ sisällyttämisen kannalta . Jos $x$ ja $y$ ovat $E: n$ kaksi pistettä , $co ({$ $x$ $,$ $y$ $})$ on segmentti $[$ $x$ $,$ $y$ $]$ .

Projektiolause

Edellyttäen työskentelystä euklidinen avaruus (tai yleisemmin on Hilbertin avaruus ), meillä on erinomainen tulos: annetaan suljetussa kupera epätyhjä, Jokaisella pisteellä $X$ avaruudessa, on olemassa yksi ja vain yksi piste $p ( x )$ on kupera vähintään $x$ etäisyydellä . Tähän tulokseen liittyy useita lisätietoja, erityisesti kuperan minkä tahansa pisteen $m$ kulman tylsä merkki tai kartan $p$ 1-Lipschitzin merkki . ${\ widehat {xp (x) m}}$

Kuparien ja rajarakenteen erottaminen

Yksi hyödyllinen tekniikka on kahden kuperan "erottaminen". Se koostuu kahdesta kuperasta, ilman saman avaruuden yhteistä pistettä, tämän tilan leikkaamisesta kahtia hypertasolla (siis tasolla, jos ulottuvuus on 3), joka jättää kuperat tämän erotuseinän kummallekin puolelle. On olemassa monia esimerkkejä tällaisen jaon mahdollisuudesta, mikä mahdollistaa enemmän tai vähemmän yleisten lausuntojen saamisen; jotkut käyttävät Hahn-Banach-teemaa , funktionaalisen analyysin työkalua, joka on erityisen tärkeä tutkittaessa ääretöntä ulottuvuutta.

Tämän menetelmän avulla voidaan erityisesti perustella "tukihypertason" kuperan olemassaolo kussakin reunan pisteessä: hypertaso, joka kulkee tämän pisteen läpi ja jättää koko kuperan toiseen puoliskoon. -Tilaan, jonka se rajoittaa. Tämä tulos on puolestaan olennainen, jotta voidaan tutkia yksityiskohtaisemmin kuperien rajan rakennetta (jako pintoihin, reunoiksi jne.) Ja erityisesti kuperia polyhedraa . Siksi meidät johdetaan erilaisten pisteiden luokkiin (ääripisteet, kärjet), joilla on keskeinen rooli kuperan optimointiongelmissa, esimerkiksi lineaarisessa optimoinnissa .

Kuperat ryhmään liittyvät kuperat toiminnot

Kuparien ryhmien tutkiminen voi hyötyä kuperien toimintojen analyysituloksista . Useat tällaiset piirteet voivat itse asiassa liittyä ei-tyhjään kuperaan $C: hen$ .

Yksinkertaisin on sen indikaattorifunktio , muunnos ominaisuuden funktiosta, joka on mukautettu kuperuuteen: se on funktio, joka ottaa arvon 0 $C$ : lle ja arvon $+ \infty$ ulkopuolelle;
Kun ympäröivä tila on rajallinen ulotteinen vektori tilaa, joka on varustettu euklidinen rakenne , voimme sitten harkita konjugaatin toiminta on edellisen, jota soita tuen toiminto on $C$ ;
Lopuksi suhteessa $C: n$ jokaiseen pisteeseen voimme määritellä kuperan ulottuman , joka on linkitetty hyvin merkityksellisellä tavalla sen geometriaan ja joka on hyödyllinen erityisesti tietyissä kuperien erotuslauseiden todisteissa .

Tässä osassa oletamme ympäröivän tilan, jolla on topologia, joka on yhteensopiva sen geometrisen rakenteen kanssa (näin on aina rajallisissa ulottuvuuksissa; jos olemme äärettömän kokoisessa vektoriavaruudessa, tämä edellyttää, että se on topologinen vektoritila ).

Kahva, sisustus, reunus

Tartunta- ja sisätilojen käyttäjät säilyttävät kuperuuden. Lisäksi kun tarkasteltava kupera ei ole tyhjä sisustus (ja voimme helposti palata tähän tapaukseen pitämällä sitä osana affiinista vaippaansa eikä globaaliin tilaan), niin kuperalla, sen sisäosalla ja tarttuvuudella kaikilla kolmella on sama raja.

Voimme hyvin helposti osoittaa, että kompakti kupera on sen reunan kupera kirjekuori (lukuun ottamatta mitan 0 rappeutunutta tapausta).

Yhteys

Todellisen (tai monimutkaisen) affiinisen tilan kupera osa on yhdistetty kaarilla , koska mikä tahansa segmentti, joka yhdistää kaksi pistettä, muodostaa polun näiden kahden pisteen välillä. Erityisesti se on siten yhteydessä .

Minkään tilan kupera osa ei kuitenkaan välttämättä ole yhteydessä toisiinsa. Vastaesimerkki saadaan suljetulta rationaalilukujen väliltä 0 ja 1: se on kupera joukko ℚ, joka on täysin epäjatkuva .

Kokoonpanon kupera suljettu kirjekuori

Jos on jokin osa tilan, me ilmi kupera suljetun vaipan , ja me ilmi $ko$ $($ $)$ , tarttuvuus $co ($ $)$ sen kuperan kirjekuoren. Helposti, että se tarkistetaan, $co$ $($ $A$ $)$ on suljetun kuperan, joka sisältää $A: n$ ("pienempi" suljettu kupera sarja, joka sisältää $A$ ), leikkauspiste ja $A: lla$ on sama kuperasti suljettu vaippa kuin $co ($ $A$ $): lla$ ja A: lla .

Geometrinen muoto Hahn-Banach lause avulla osoittaa, että on paikallisesti kupera tila , $co ( )$ on leikkauspiste suljetun puoli-tilat, joissa , mikä osoittaa, että mikä tahansa suljettu kupera on heikosti kiinni.

Vuonna Banach - tai yleisemmin Fréchet tila - kuperan suljetun kirjekuoren kompakti on kompakti.

Kuvaus homeomorfismiin asti äärellisessä ulottuvuudessa

Ja $r \geq 0$ , me ilmi $B r$ suljetun pallon , jonka keskipiste 0 ja nollasta säde on erillinen vektori tila rajallinen ulottuvuus $r$ (tahansa norm - kaikki ovat vastaavat ).

Kupera tiivistetään on yksinkertainen rakenne:

Lause - Kaikki ei-tyhjä kompakti kupera ja ulottuvuus $d$ on homeomorphic ja $B d$ .

Esittely

Asetamme itsellemme affiinia aliavaruudelle $F$ syntyy vuoteen $C$ , joka on varustettu sen kanoninen topologia . Tässä tilassa $C:$ n sisätila ei ole tyhjä . Kääntämällä voidaan siis olettaa, että $C$ sisältää pallon $B d$ , jonka säde $r > 0$ . Olkoon $S$ merkittävä $ympäröivä$ pallo. Tahansa vektori $u$ on $S$ , risteyksessä $C$ kanssa puoli-line ℝ + $u$ on kompakti kupera ja ℝ + $u$ , joka sisältää $0$ , eli segmentin muodossa $[0, g ( u )]$ . Lisäksi pää $g ( u )$ kuuluu raja $\partial C$ (siten $║ g ( u ) ║ \geq r$ ), kun taas kaikki muut segmentin pisteen, jossa on sisätila ja $C$ (koska se on sisätilasta kupera verhokäyrän $B d \cup { g ( u )}$ ).

Kartta $g$ , välillä $S$ - $\partial C$ , on homeomorfismi.
Todellakin, edellä esitetyistä, se on käänteinen bijektio sovelluksen $v \mapsto rv / ║ v ║$ , jatkuu kompakti $\partial C$ .
$C$ on homeomorfinen $B d: lle$ .
Pidennämme $g$ : n bijektioksi $G$ pisteestä $D d$ kohtaan $C$ asettamalla $G ( tu ) = tg ( u )$ kaikille $u$ : lle $S: ssä$ ja kaikille $t$ : llearvoon $[0, 1]$ . Tämä kartta on jatkuva missä tahansa vektorissa, joka ei ole nolla. Koska $g$ on rajattu (koska $C$ on kompakti), $G$ on myös jatkuva kohdassa 0. Se on, kuten $g$ , kahden kompaktin välinen homeomorfismi.

Yleisemmin tietyn äärellisen ulottuvuuden $d$ suljetut kuperat ovat homeomorfisia jommallekummalle rajoitetusta joukosta ( $d + 2$ ) yksinkertaisia malleja:

Lause - Olkoon $d \geq 1$ ja olkoon $C$ dimensioiden $d$ tyhjä kupera , suljettu ympäröivään tilaansa. Joten:

joko on olemassa $r,$ jossa $0 \leq r \leq d,$ niin että $C$ on homeomorfinen ryhmälle $B r$ × ℝ d - r ,
tai $C$ on homeomorfinen suljetulle puolitilalle half d: ssä .

Kaikissa tapauksissa homeomorfismi lähettää suhteellinen raja on $C$ suhteelliseen rajalle mallin.

Tämän lauseen lukemiseksi opettavasta esimerkistä, ulottuvuuden 3, ulottuvuuden 3 suljetut kuperat ovat homeomorfisia yhdelle seuraavista viidestä mallista: whole 3 kokonaisuutta, alue, jonka rajaavat kaksi yhdensuuntaista tasoa, sylinteri, pallo ℝ 3: ssa tai puolet tilaa.

Kaikkien edellisessä lauseessa lueteltujen mallien suhteelliset sisätilat ovat homeomorfisia toisilleen, eli homeomorfisia ℝ d: lle . Edellisen lauseen antama homeomorfismi, joka vaihtaa suhteellisia sisätiloja, voimme siis päätellä, että kaikki ulottuvuuden $d$ kuperat aukot ovat homeomorfisia toisilleen (mikä todellisuudessa oli todisteen vaihe). Voimme tosiasiallisesti parantua, nimittäin diffeomorfismi .

Lause - Olkoon $d \geq 0$ ja olkoon $C$ ei-tyhjä kupera ulottuvuus $d$ , avoin sen ympäröivässä tilassa. Sitten $C$ on diffeomorfinen ℝ d: n suhteen .

Meidän ei pitäisi toivoa niin yksinkertaista kuperan luokittelua ilman topologisia olosuhteita: katsotaanpa, että mikä tahansa osan 2 osasta, joka sisältää avoimen yksikön levyn ja sisältyy suljetun yksikön levyyn, on kupera.

Kupera joukko ja kombinatorinen geometria

Kuperilla sarjoilla on keskeinen rooli kombinatorisessa geometriassa , jo pelkästään siksi, että äärimmäisen määrän pisteitä kohdatessa affiinisessa tilassa ilmeisin geometrinen operaatio, jota niihin voidaan soveltaa, on tutkia niiden kupera verhokäyrä: ns. Polytooppi .

Kuparin kombinatorisen geometrian peruskohde on polytooppi , joka voidaan määritellä kuperana kirjekuorena, jossa on rajallinen määrä pisteitä.

Mainitakseni tässä vain epäilemättä kaikkein tunnetuin kombinatorisen geometrian tulos, mittasuhteessa 3 polytoopin huippujen, reunojen ja pintojen lukumäärä on yhdistetty Eulerin kaavalla (katso tämä aihe Eulerille ominainen artikkeli ): $S-A + F = 2.$

Radonin, Hellyn ja Carathéodoryn lauseet

Harkita joukko on $d$ $+ 2$ pistettä affiini tilaa ulottuvuus $d$ . $A = \ {a_ {1}, \ pistettä, a_ {d + 2} \}$

Radonin lause sanoo, että:

Lause ( Radon ) - myöntää kaksiosainen osio $1$ , $2$ jonka kupera kirjekuoret $Konversiot ($ $1$ $)$ ja $tulos ($ $2$ $)$ kohtaavat.

Hellyn ja Carathéodoryn lauseiden rinnalle ottamiseksi esitämme merkinnän: kirjoitetaan jokaiselle indeksille $i, jotka$ vaihtelevat välillä 1 ja $d + 2$ . $\ Delta _ {i} = \ mathrm {Conv} \ vasen (a_ {1}, \ pisteet, a_ {i-1}, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {d + 2} \ oikea)$ kupera verhokäyrä olevia kuin pisteen $i$ . Ulottuvuus 2, kukin $Δ$ $i$ olisi kolmio (ja olisi neljä); dimensiossa 3 käsittelemme viiden tetraedran kokoelmaa ja niin edelleen.

Seuraavat kaksi lausumaa ovat erikoistapauksia Hellyn ja Carathéodoryn lauseiden yleisimmistä lausunnoista, mutta sisältävät pääasiallisesti kaikki tiedot: yleiset lauseet voidaan helposti muodostaa uudelleen seuraavista versioista alkaen.

Lause ( Helly ) - $d + 2$ yksinkertaiselle $Δ i$ on yhteinen piste .

Lause ( Carathéodory ) - $d + 2$ simplices $åI i$ kattaa koko kupera polytooppi verhokäyrän .

Nämä lauseet liittyvät läheisesti toisiinsa: yleisin todiste Hellystä perustuu Radoniin, kun taas yksi todistaa helposti Carathéodoryn itsenäisesti, mutta on myös mahdollista esimerkiksi johtaa Helly Carathéodorysta tai päinvastoin.

Lukuisat variantit määrittelevät tai yleistävät ne.

Huomautuksia ja viitteitä

Jean Dieudonné , Lineaarinen algebra ja perusgeometria , Hermann ,1964, s. 50.
(in) HG Eggleston Konveksiteetti , Cambridge University Press , Coll. "Tracts matematiikan ja matemaattinen fysiikka" ( n o 47),1969( 1 st toim. 1958) ( lukea verkossa ), uusintapainos korjauksilla, Th. 1, s. 8 . (Tulos ilmoitetaan tässä lähteessä kohdassa ℝ n , mutta todiste sopii ilmeisesti yleisempään tilanteeseen.)
Eggleston 1969 , s. 4-5. (Tulos ilmoitetaan tässä lähteessä kohdassa ℝ n , mutta todisteet sopivat ilmeisesti yleisempään tilanteeseen.)
(sisään) Charalambos D.Aliprantis ja Kim C.Border Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007( lue verkossa ) , s. 185-186.
(in) Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , voi. 3, Springer ,2013, 950 Sivumäärä ( ISBN 978-1-4899-3793-3 , luettu verkossa ) , s. 679.
(in) Glen E. Bredon (in) , Topologia ja geometria [ julkaisemalla tiedot ], s. 56-57 , esikatsella vuonna Google Books .
Yleistystä varten katso (en) VL Klee , " Kuparien joukon joitain topologisia ominaisuuksia " , Trans. Katkera. Matematiikka. Soc. , voi. 78,1955, s. 30-45 ( lue verkossa ), Th. 5.8.
Koko tämä alaosa on otettu Marcel Bergeriltä , Géométrie [ yksityiskohdat painoksista ], jakso II-3, osa 3, s. 29-38 vuoden 1978 painoksessa.

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Ehdottomasti kupera sarja