Suite tilaa ℓ s

On matematiikka , tila ℓ p on esimerkki vektorin tilan , joka koostuu sekvenssien kanssa todellinen tai monimutkaisia arvoja ja joka on, on 1 ≤ p ≤ ∞ , eli Banach tila rakenne .

Motivaatio

Tarkastellaan todellinen vektori tila ℝ n , joka on, tilaa n- monikkoja on todellinen määrä .

Euklidinen normi vektorin saadaan: x=(x1,x2,...,xei){\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ pisteitä, x_ {n})}

‖x‖=(x12+x22+⋯+xei2)1/2{\ displaystyle \ | x \ | = \ vasen (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ pistettä + x_ {n} ^ {2} \ oikea) ^ {1/2} }.

Mutta mille tahansa reaaliluvulle p ≥ 1, voimme määrittää toisen normin on n: lle , jota kutsutaan p- normiksi, asettamalla:

‖x‖s=(|x1|s+|x2|s+⋯+|xei|s)1/s{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ vasen (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ pistettä + | x_ {n} | ^ {p } \ oikea) ^ {1 / p}}

mille tahansa vektorille . x=(x1,x2,...,xei){\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ pisteitä, x_ {n})}

Kaikki p ≥ 1, ℝ n varustettuja p -norm on siis normalisoitu vektori tilaa . Koska se on rajallinen ulottuvuus , se on täydellinen tälle standardille.

Avaruus ℓ s

P -norm voidaan laajentaa vektoreita, joilla on laskettavissa ääretön komponentteja, mikä tekee mahdolliseksi määrittää tilan ℓ p (myös huomattava ( p ( ℕ ), koska voimme määritellä samalla tavalla ℓ p ( X ) minkä tahansa äärellinen tai ääretön joukko X , tapaus, jossa X: llä on n edellistä kappaletta vastaavaa elementtiä).

Tarkemmin sanottuna, ℓ p on todellisten tai kompleksisten numeroiden lukemattomien sarjojen avaruuden vektorialatila , jolla summa määritetään seuraavasti:

(x0,x1,...,xei,xei+1,...)+(y0,y1,...,yei,yei+1,...)=(x0+y0,x1+y1,...,xei+yei,xei+1+yei+1,...){\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ pisteitä) + (y_ {0}, y_ {1}, \ pisteitä, y_ {n }, y_ {n + 1}, \ pisteitä) = (x_ {0} + y_ {0}, x_ {1} + y_ {1}, \ pisteitä, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n +1} + y_ {n + 1}, \ pistettä)}

ja kerrotaan skalaarilla seuraavasti:

λ(x0,x1,...,xei,xei+1,...)=(λx0,λx1,...,λxei,λxei+1,...).{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}, x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ pistettä) = (\ lambda x_ {0}, \ lambda x_ {1}, \ dots, \ lambda x_ {n}, \ lambda x_ {n + 1}, \ dots).}

Määrittelemme p -norm jonosta  : x=(x0,x1,...,xei,xei+1,...){\ displaystyle x = (x_ {0}, x_ {1}, \ pistettä, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ pistettä)}

‖x‖s=(|x0|s+|x1|s+⋯+|xei|s+|xei+1|s+...)1/s∈[0,+∞].{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ vasen (| x_ {0} | ^ {p} + | x_ {1} | ^ {p} + \ pistettä + | x_ {n} | ^ {p } + | x_ {n + 1} | ^ {p} + \ pistettä \ oikea) ^ {1 / p} \ muodossa [0, + \ infty].}

Oikealla oleva sarja ei ole aina yhtenevä: esimerkiksi sekvenssillä (1, 1, 1,…) on ääretön p -normi mille tahansa p <∞: lle .

Avaruus ℓ p määritellään reaalisten tai kompleksilukujen äärettömien sekvenssien joukoksi, joiden p -normi on äärellinen.

Olemme myös määritellä ”normi ∞  ”, kuten:

‖x‖∞=sup(|x0|,|x1|,...,|xei|,|xei+1|,...){\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {0} |, | x_ {1} |, \ pisteitä, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, \ pistettä)}

ja vastaava vektoritila ℓ ∞ on rajoitettujen sekvenssien tila .

Ominaisuudet

• Tahansa asettaa X , tila l: ∞ ( X ) ja toimintoja, joita rajoittaa on X (reaali- tai kompleksisia arvoja) on Banach , eli mikä tahansa tasaisesti Cauchy- sekvenssin toimintoja, jota rajoittaa X suppenee tasaisesti (on rajoitettu toiminto). Samoin, kun 1 ≤ p ≤ ∞ , ℓ p (ℕ) on Banachin. (Nämä ovat kaksi erityistapausta Riesz-Fischer-lauseesta , joka koskee kaikkia L p -välilyöntejä .)
• In l: ∞ , merkittävä aliavaruus on tila, c on yhtenevät sekvenssejä . Se on suljettu ( siis täydellinen ), koska kaikki yhtenevät sekvenssit ovat yhteneviä; tai vielä: c on täydellinen ( siis suljettu sisään l: ∞ ), koska isometrisesti isomorfinen , että (täydellinen) tila jatkuvan karttoja ( siis ), joka rajoittuu kompakti [0, ω] = ℕ∪ {+ ∞} , compactified d 'Alexandrov alkaen huomaamaton ℕ .
• 1 < p < ∞ : lle sekvenssitila ℓ p on heijastava . Sen kaksois on väli ℓ q , jossa 1 ⁄ p + 1 ⁄ q = 1;
• In l: ∞ , aliavaruus c 0 sekvenssien nolla raja on ei refleksiivistä: sen dual on l: 1 ja kaksi on l: 1 on l: ∞ . Siksi ℓ 1 ja ℓ ∞ eivät myöskään heijasta.
• Ja r < ∞ ja kaikki x ∈ l: r , sovellus s ↦ ║ x ║ p on laskeva päälle [ r , + ∞ [ . Todellakin, jos p ≥ q ≥ r, meillä on | x k | / ║ x ║ q ≤ 1 indeksille k , joten|xk|s/‖x‖qs≤|xk|q/‖x‖qq ;{\ displaystyle | x_ {k} | ^ {p} / \ | x \ | _ {q} ^ {p} \ leq | x_ {k} | ^ {q} / \ | x \ | _ {q} ^ {q} ~;}yhteen tämä epäyhtälö k päätellään ║ x ║ s ≤ ║ x ║ q . Funktio p ↦ ║ x ║ p on myös jatkuva yli [ r , + ∞] . Erityisesti :‖x‖∞=lims→+∞‖x‖s.{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ to + \ infty} \ | x \ | _ {p}.}

Huomautuksia ja viitteitä

1. Georges Skandalis , yleinen topologia , Masson.
2. (in) "  l ∞ -norm on yhtä suuri kuin raja p -norms  " on math.stackexchange .

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Schauder-tukikohta
• Avaruus L s
• Summable perhe

Ulkoiset linkit

• Auktoriteettitiedot  :
  • Ranskan kansalliskirjasto ( tiedot )
  • Yliopiston dokumentointijärjestelmä
  • Kongressin kirjasto
  • Gemeinsame Normdatei