Juoksu (matematiikka)
On vektori analyysi , kutsumme vuo on vektori kentän kaksi analogista skalaari määriä , riippuen siitä, onko se lasketaan läpi, pinnan tai käyrä .
Virtaa pinnan läpi
Kutsumme flux (tai pinta kiinteä ) vektorin alalla on läpi suunnattu pinnan skalaari määrä
F{\ displaystyle \ mathbf {F}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} Σ{\ displaystyle \ Sigma}
Φ≡∫ΣF⋅dS{\ displaystyle \ Phi \ equiv \ int _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}
jossa edustaa alkeis- normaali vektori ja pistetulo . Jos pinta saadaan parametroimalla (missä ja vaihtelevat avoimessa tilassa ), tämän vektorin antaa
dS{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S}}⋅{\ displaystyle \ cdot}σ(u,v){\ displaystyle \ sigma (u, v)}u{\ displaystyle u}v{\ displaystyle v}Ω{\ displaystyle \ Omega}
dS=[∂σ∂u×∂σ∂v]dudv{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ vasen [{\ frac {\ partituali \ sigma} {\ osio u}} \ kertaa {\ frac {\ osallinen \ sigma} {\ osaa v}} \ oikea] \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v}
ja virtaus on silloin
Φ=∬ΩF(σ(u,v))⋅[∂σ∂u×∂σ∂v]dudv=∬Ωdet(F,∂σ∂u,∂σ∂v)dudv{\ displaystyle \ Phi = \ iint _ {\ Omega} \ mathbf {F} {\ bigl (} \ sigma (u, v) {\ bigr)} \ cdot \ vasen [{\ frac {\ parts \ sigma} { \ osittainen}} kertaa {\ frac {\ osittainen \ sigma} {\ osaa v}} \ oikea] \ matrm {d} u \, \ matrm {d} v = \ iint _ {\ Omega} \ det \ vasen (\ mathbf {F}, {\ tfrac {\ partituali \ sigma} {\ osio u}}, {\ tfrac {\ osallinen \ sigma} {\ osaa v}} \ oikea) \ matrm {d} u \, \ mathrm {d} v}
Jos tilavuutta ympäröivä suljettu pinta (jota kutsutaan myös vapaaksi levyksi ), virtaus voidaan määrittää toisella tavalla käyttämällä virtauseron teoreemaa :
Σ{\ displaystyle \ Sigma}V{\ displaystyle V}
Φ=∮ΣF⋅dS=∭VdivFd3V{\ displaystyle \ Phi = \ anint _ {\ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} = \ iiint _ {\ mathcal {V}} \ operaattorin nimi {div} \, \ mathbf {F} \; {\ rm {d}} ^ {3} V}
Virtaa käyrän läpi
Samalla tavalla, määritellään vuo alalla on kautta käyrän määrän
F=(P,Q){\ displaystyle \ mathbf {F} = (P, Q)}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}Γ{\ displaystyle \ Gamma}
Ψ=∫ΓF⋅dei=∬Γ(Pdy-Qdx){\ displaystyle \ Psi = \ int _ {\ Gamma} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {n} = \ iint _ {\ Gamma} (P \, \ mathrm {d} yQ \, \ mathrm {d} x)}
missä edustaa normaalia normaalivektoria. Tämä tarkoittaa ortogonaalisen kentän virtauksen määrittelemistä kiertona (tai kaarevana integraalina ) :
dei=(dy,-dx){\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {n} = (\ mathrm {d} y, - \ mathrm {d} x)}F{\ displaystyle \ mathbf {F}}G=(-Q,P){\ displaystyle \ mathbf {G} = (- Q, P)}
Ψ=∫ΓG⋅dr{\ displaystyle \ Psi = \ int _ {\ Gamma} \ mathbf {G} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}
kanssa . Käyrän läpi kulkevan kentän virtaus, toisin kuin sen kiertokulku, riippuu vain sen käyrälle normaalista komponentista.
dr=(dx,dy){\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y)}
Katso myös
Huomautuksia
-
on niin reuna on ja merkitään .Σ{\ displaystyle \ Sigma}V{\ displaystyle V}∂V=Σ{\ displaystyle \ osittainen V = \ Sigma}