Lineaarinen toiminto

Lineaarinen toiminto Käyrät, jotka edustavat toimintoja ja .

{\ displaystyle x \ mapsto 0,5x + 2}

{\ displaystyle x \ mapsto -x + 5}

Luokitus	${\ displaystyle ax + b}$
Vastavuoroinen	${\ displaystyle {\ frac {1} {a}} x - {\ frac {b} {a}}}$ jos $a \ neq 0$
Johdannainen	$klo$
Primitiivit	${\ displaystyle {\ frac {a} {2}} x ^ {2} + bx + C}$

Pääasialliset tunnusmerkit

Määritelmä asetettu	$\ mathbb {R}$
Kuva asetettu	$\ mathbb {R}$ jos $a \ neq 0$

Erityiset arvot

Nolla-arvo	$b$

Erityispiirteet

Nollat	${\ displaystyle - {\ frac {b} {a}}}$
Kiinteät pisteet	${\ displaystyle {\ frac {b} {1-a}}}$ jos ${\ displaystyle a \ neq 1}$

In analyysi , affiini funktio on funktio , joka on saatu lisäämällä ja kertomalla muuttujan mukaan vakioita. Siksi se voidaan kirjoittaa muodossa:

f (x) = ax + b

jossa parametrit $a$ ja $b$ eivät riipu $x: stä$ .

Kun toiminto on määriteltävä reaalilukujen joukko , se on edustettuna jonka suora viiva , jossa on kulmakerroin ja $b$ y-akselin .

Erityinen affiinifunktioiden tapaus on, kun y-leikkaus on nolla, saamme sitten lineaarisen funktion .

Vakio ja lineaariset toiminnot ovat esimerkkejä affine toimintoja. Affiinifunktiot ovat itse esimerkkejä polynomifunktioista , joiden aste on pienempi tai yhtä suuri kuin 1.

Käsite Affiininen toiminto on yleistetty geometrian mukaan kuin affine kartoitus .

Huomautus: joissakin matematiikan kuten tilastoja , sellainen toiminto on nimeltään, kuten Englanti termi lineaarinen funktio ja saksalainen termi Lineare Funktion , eli lineaarinen funktio viitaten siihen, että sen kuvaaja on suora viiva .

Tyypillinen ominaisuus

Affiinifunktiolle on tunnusomaista se, että sen kasvunopeus on vakio. Itse asiassa, jos $x 1$ ja $x 2$ ovat kaksi reals, lisäys $f ( x 2 ) - f ( x 1 )$ on verrannollinen ja $x 2 - x 1$ , kuten on annettu tasa:

f (x_ {2}) - f (x_ {1}) = a (x_ {2} -x_ {1}).

Esittely

${\ displaystyle f (x_ {2}) - f (x_ {1}) = ax_ {2} + b-ax_ {1} -b = ax_ {2} -ax_ {1} = a (x_ {2} - x_ {1}).}$

Tämä ominaisuus antaa sitten työkalun kertoimen $a$ määrittämiseksi :

a = {\ frac {f (x_ {2}) - f (x_ {1})} {x_ {2} -x_ {1}}}

jos

x 1 \neq x 2

Päätelmät: ( Affiinifunktion johdannainen on vakiofunktio, jonka arvo on affiinifunktion ohjauskerroin.) ${\ displaystyle f '(x) = a.}$

Sieppaus $b$ voidaan laskea seuraavasti:

b = {\ frac {x_ {2} f (x_ {1}) - x_ {1} f (x_ {2})} {x_ {2} -x_ {1}}}

jos

x 1 \neq x 2

. Esittely

${\ displaystyle x_ {2} f (x_ {1}) - x_ {1} f (x_ {2}) = x_ {2} (ax_ {1} + b) -x_ {1} (ax_ {2} + b) = ax_ {2} x_ {1} + bx_ {2} -ax_ {2} x_ {1} -bx_ {1} = b (x_ {2} -x_ {1}).}$

Yhtälöiden ja eriarvoisuuksien ratkaiseminen

Oletetaan $,$ $b ovat$ todellisia ja ei-nolla.

Yhtälön $ax + b = 0$ ainutlaatuinen ratkaisu on todellinen $- b / klo$ .
Joukko liuoksia epätasa $ax + b \geq 0$ on todellinen väli $[- b / klo, + \infty [$ jos $a > 0$ , $] -\infty, - b / klo]$ jos $a <0$ .

Esimerkkejä

Esimerkki puhelinliittymästä. Kuukausitilauksen hinta on A ja puhelun minuuttihinta 0,10 € / min . Puhelinlaskun on sitten affiini lukumäärän funktiona

x

minuuttia viestinnän kuukauden:

f \ kaksoispiste x \ mapsto A + 0 {,} 1 ~ x.

Jousen pituus. Jos levossa jousen pituus on L 0 ja jos sen jäykkyys on k , jousen pituus on kohdistetun voiman affiinifunktio ( Hooken laki ).

L \ kaksoispiste f \ mapsto L_ {0} + {\ frac fk}.

Tässä tapauksessa ohjauskerroin on 1 / k ja ordinaatti origolla L 0 .

Graafinen esitys

Reaalilukujoukossa määritetyn affiinifunktion graafinen esitys on viiva, jonka yhtälö on.

y = kirves + b.

Suora leikkaa y-akselin $y = b: lle$ (tästä syystä y-leikkauspiste). Kun $b$ on nolla, viiva kulkee suorakulmaisen koordinaatiston alkuperän läpi.

Linjalla on "kaltevuus" tai "suuntauskerroin" todellinen $a$ . Jos $a > 0$ , affiinifunktio kasvaa (rivi "nousee") ja jos $a <0$ , se pienenee (rivi "laskee"). Samanlaisella prosessilla kuin mitä nähtiin lineaariselle funktiolle , neliön siirtymä abscissassa saa $aikaan$ neliön siirtymän ordinaatissa, jos koordinaattijärjestelmä on ortonormaali.

A: n ja b: n määrittäminen

Jos $M ( x 1 , y 1 )$ ja $N ( x 2 , y 2 )$ ovat kaksi erillistä pistettä, jotka kuuluvat yhtälöjonoon $y = ax + b$ , niin:

a = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}},

b = y_ {1} -ax_ {1} = y_ {2} -ax_ {2} = {\ frac {x_ {2} y_ {1} -x_ {1} y_ {2}} {x_ {2} - x_ {1}}}.

Jos $a = 0,$ funktio on vakio ja jos $b = 0,$ funktio on lineaarinen.

Huomautuksia ja viitteitä

Katso esimerkiksi talous- ja yhteiskuntatieteet Tle ES: kaikki yhdessä, s. 173 on Google Books

Katso myös

Affine sovellus (yhdestä affine tilaa toiseen)
Tarkennus kappaleittain -toiminto