Kaltevuus

Kaltevuus on funktio useiden muuttujien tietyssä kohdassa on vektori , joka luonnehtii vaihtelu tämän toiminnon läheisyydessä tämän kohdan. Määritelty missä tahansa kohdassa, jossa funktio on erotettavissa , se määrittää vektorikentän , jota kutsutaan myös gradientiksi . Kaltevuus on yleistys useita muuttujia johdannainen on funktio yhden muuttujan .

Motivaatio

In fysiikka ja vektori analyysi , kaltevuus on vektorin, joka osoittaa, kuinka fysikaalinen suure vaihtelee tilaa . Gradientilla on suuri merkitys fysiikassa, missä sitä ensin käytettiin. Variaatioteoriassa käytettynä se on myös olennaista optimoinnin tai osittaisten differentiaaliyhtälöiden resoluution alalla . Voi olla mielenkiintoista nähdä joitain esimerkkejä ennen matemaattisemman määritelmän antamista.

In geotieteisiin , gradientti käytetään vaihtelu kaikkiin suuntiin on parametrin litosfäärin , hydrosfäärin , ilmakehässä tai biosfääri . Väärän nimityksen kautta termiä käytetään kuitenkin usein komponentille yhdessä suunnassa, kuten fysikaalisen määrän pystysuuntaisen johdannaisen tapauksessa, ts. Sen johdannainen suhteessa koordinaattiin (korkeus tai syvyys). Esimerkiksi geoterminen gradientti sulautuu johdannaiseen (missä merkitsee lämpötilaa ). $z$ ${\ displaystyle \ osittainen T / \ osittainen z}$ $T$

Määritelmä

Kun karteesisen koordinaatiston , gradientti toiminto on vektori komponenttien , eli osittaisderivaatat ja $f$ kanssa koordinaattien suhteen. ${\ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ pistettä, x_ {n})}$ ${\ displaystyle \ osittainen f / \ osittainen x_ {i} \ (i = 1,2, \ pistettä, n)}$

${\ displaystyle \ nabla f = {\ aloita {bmatrix} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittain x_ {1}}} \\\ vdots \\ {\ frac {\ osallinen f} {\ osittain x_ {n }}} \ end {bmatrix}}}$

Eräässä ortonormaalin viitekehyksessä , gradientin vektori osoittaa siihen suuntaan, jossa funktio kasvaa nopeimmin, ja sen moduuli on yhtä suuri kasvu siihen suuntaan.

Gradientin komponentit ovat muuttujien kertoimet kaavion tangentin yhtälön yhtälössä. Tämän ominaisuuden avulla se voidaan määritellä riippumatta koordinaattijärjestelmän valinnasta vektorikenttänä, jonka komponentit muunnetaan siirryttäessä yhdestä koordinaattijärjestelmästä toiseen.

Gradientin yleistäminen useiden vektoriarvon omaavien muuttujien toiminnoille ja Euclidean tilojen erilaistuville kartoille on jakobialainen . Banach-välilyöntien välinen toimintojen yleistys on Fréchet-johdannainen .

Luokitus

Funktion gradientti on yleensä merkitty tai ( nabla ). $f$ ${\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} ~ f$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} f}$ $f$

Kirjallisuudessa englanniksi tai ranskaksi typografisen mukavuuden vuoksi on usein edullista laittaa gradienttisymboli lihavoituna näyttämään sen vektorimerkki: tai $\nabla$ $f$ . $\ mathbf {grad} ~ f$

Lämpötilan kaltevuus

Lämpötilagradientti tai lämpögradientti on lämpötilagradientti , spatiaalisten koordinaattien funktio.

Gradientti yhteen suuntaan (johdannainen)

Oletetaan, että sijoitamme suora palkki kahden seinän väliin, joilla ei ole samaa lämpötilaa, vasen seinä on kylmin. Havaitaan, että säteen lämpötila ei ole vakio ja että se vaihtelee kasvaa vasemmalta oikealle. Tähän termodynaamiseen ilmiöön liittyy lämmönvirtausilmiö, joka itsessään liittyy lämpötilagradienttiin, toisin sanoen lämpötilan säteen vaihteluun, vrt. Lämmönjohtavuus, Fourier-laki .

Jos aloitamme säteen vasemmasta päästä abscissalla $x$ = 0 ja saavutamme säteen toisen pään absiksille $x = L$ (säteen pituus), määritämme lämpötilan pisteeseen $x$ , jonka kirjoitamme $T ( x )$ . Lämpötilan $T$ sanotaan olevan $x:$ n funktio .

Kahden lähellä pistettä erottaa pituus $δ x$ , lämpötilan mittaamisen ero $δ T$ . Tavallisessa mielessä (lämpötilan gradientti) on juuri näiden kahden määrän suhde

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operaattorin nimi {grad}}} \ {T} = {\ frac {\ delta T} {\ delta x}} {\ vec {i}}.}

Analyyttisessä (matemaattisessa) mielessä puhumme gradientista, jos tämä määrä sallii rajan, kun $δ x$ on kohti 0, raja havaittu

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} T (x) = T '(x) {\ vec {i}} = {\ frac {\ mathrm {d} T} {\ mathrm {d} x}} ( x) {\ vec {i}}.}

Ominaisuudet

Raportissa on merkki, joka käännetään merkityksellä. Meitä kiinnostavassa tapauksessa se on kylmempi palkin vasemmalla puolella kuin oikealla, joten kaltevuus on suunnattu oikealle, koska myös abscissa $x$ kulkee palkin vasemmalta oikealle . ${\ tfrac {\ delta T} {\ delta x}}$
Dimensiossa 1 on gradientin ja johdannaisen käsitteen lähentyminen.
Fysiikassa tämän gradientin normi on homogeeninen lämpötilassa jaettuna etäisyydellä (mitattuna K · m -1 ) tai yleisemmin ° C · m -1 .

Lämpötilagradientti tavallisessa kolmiulotteisessa tilassa

Todellisuudessa säteen lämpötila vaihtelee avaruudessa tapahtuvan siirtymän mukaan. Me luonnehdimme avaruuspistettä $M$ sen koordinaattien funktiona . Kuten aikaisemmin, kuvataan lämpötila funktiona: $T$ $($ $x, y, z$ $)$ . ${\ displaystyle M = (x, y, z)}$

Kullekin näistä suunnista voimme kirjoittaa muunnelman, jota kutsutaan osittaiseksi. Jos 3D-tilassa ollessaan siirrytään vain akselin mukaan, esimerkiksi ordinaattien $y mukaan$ , voidaan kirjoittaa uusi kaava kuin aiemmin lämpötilan nousun suhteen. Muunnelman merkitsemiseksi kuitenkin ohitetaan kirjoittaminen osittain johdannaisena (tunnetaan nimellä "pyöreä") eikä yksiulotteinen johdannainen (tunnetaan suorana). Esimerkiksi kirjoitamme muunnelman pitkin $y$ likiarvona (kutsutaan ensimmäiseksi järjestykseksi):

T (x, y + \ delta y, z) = T (x, y, z) + {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen y}} \ delta y.

Siirtymme säteessä pisteestä $M$ pisteeseen $M '$ siten, että ne määrittelevät vektorin:

{\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {MM '}}} = (h_ {x}, h_ {y}, h_ {z})}

Kohteesta $M$ ja $M '$ , lämpötila kulkee $T ( x , y , z )$ ja $T ( x + h x , y + h y , z + h z )$ . Ensimmäisenä likiarvona tämä vaihtelu on lineaarinen funktio ja se ilmaistaan summana variaatioita, jotka liittyvät kuhunkin komponenttiin. ${\ displaystyle {\ vec {h}}}$ ${\ vec h}$

{\ displaystyle T (x + h_ {x}, y + h_ {y}, z + h_ {z}) = T (x, y, z) + {\ frac {\ osittainen T} {\ osallinen x}} (x, y, z) h_ {x} + {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen y}} (x, y, z) h_ {y} + {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen z }} (x, y, z) h_ {z}.}

Sitten luomme vektorin, jota kutsutaan lämpötilagradientiksi

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathbb {\ nabla}}} T (x, y, z) = \ vasen ({\ frac {\ osal T} {\ osittainen x}} (x, y, z), { \ frac {\ osittainen T} {\ osittainen y}} (x, y, z), {\ frac {\ osittainen T} {\ osittainen z}} (x, y, z) \ oikea).}

Huomaa, että se on todellakin vektori. Tässä tapauksessa voimme kirjoittaa edellisen relaation muodossa

{\ displaystyle T (M + {\ vec {h}}) = T (M) + {\ overrightarrow {\ mathbf {\ nabla}}} T (M) \ cdot {\ vec {h}} + o ({ \ vec {h}}),}

missä " " on tavallinen pistetulo ja symboli tarkoittaa, että jäljellä oleva termi on merkityksetön . $\ cdot$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ $o ({\ vec {h}})$ ${\ vec {h}}$

Ominaisuudet

Gradientti on vektori, jolla on sama ulottuvuus kuin tilaan, johon lämpötila liittyy (tässä ℝ 3 ), kun taas lämpötila on kolmiulotteisen tuen funktio, mutta sillä on todellinen skalaariarvo (ts. Pisteen lämpötila on luku , ei vektori).
Gradientin (vektori) suunta määrittelee jälleen suunnan kylmemmästä kuumimpaan, mutta tällä kertaa 3D-muodossa.
Lämpötilagradientin normi on aina homogeeninen Km −1 .

Johdanto differentiaalielementeillä

Mitä tulee differentiaaliin, jonka muunnos se on, gradientti voidaan lisätä differentiaalielementtien sanastolla. Esimerkkinä tarkastelemme suorakulmion alueen vaihtelun ongelmaa.

Tarkastellaan tasossa ( $x O y$ ) suorakulmiota, jonka sivut ovat $x$ ja $y$ . Sen pinta-ala on yhtä suuri kuin $xy$ ja riippuu $x$ ja $y$ koordinaatit pisteen M Noudattamalla intuitiivinen lähestymistapa, meidän pitäisi Merkitään $d x$ hyvin pieni vaihtelu muuttujan $X$ . Kun pisteessä $M$ tehdään erittäin heikko siirtymä, pinta muuttuu ja voidaan kirjoittaa, että:

{\ displaystyle S + \ mathrm {d} S = (x + \ mathrm {d} x) (y + \ mathrm {d} y) = xy + x \; \ mathrm {d} y + y \; \ mathrm {d} x + \ mathrm {d} x \; \ mathrm {d} y}

Voimme helposti päätellä sen

{\ displaystyle \ mathrm {d} S = y \; \ mathrm {d} x + x \; \ mathrm {d} y + \ mathrm {d} x \; \ mathrm {d} y}

Yksinkertainen numeerinen sovellus, jossa $x$ ja $y$ ovat metrejä ja $d x$ ja $d y$ ovat senttimetrejä, osoittaa, että $d x d y$ on vähäpätöinen muihin määriin verrattuna.

Voimme antaa tarkan matemaattisen tilan merkinnöille $d x$ ja $d y$ (jotka ovat differentiaalimuodot ), ja määrälle $d x d y,$ joka on sitten toisen asteen . Edellinen laskelma on itse asiassa järjestykseen 1 rajoitettu kehityslaskenta , joka sisältää funktion $xy$ ensimmäiset johdannaiset näiden kahden muuttujan suhteen.

Siksi kirjoitamme:

{\ displaystyle \ mathrm {d} S = (x + \ mathrm {d} x) (y + \ mathrm {d} y) -xy = y \; \ mathrm {d} x + x \; \ mathrm {d } y = (y, x) \ cdot (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) = {\ ylisuuri nuoli {\ nabla}} S \ cdot \ mathrm {d} {\ ylisuuri {\ mathrm {OM }}}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} S \ cdot \ mathrm {d} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = (y \; {\ vec {i}} + x \; {\ vec { j}}) \ cdot (\ mathrm {d} x \; {\ vec {i}} + \ mathrm {d} y \; {\ vec {j}}) = \ vasen ({\ frac {\ osal ( xy)} {\ partituali}} {{vec {i}} + {\ frac {\ osittainen (xy)} {\ osittainen y}} {\ vec {j}} \ oikea) \ cdot (\ mathrm {d } x \; {\ vec {i}} + \ mathrm {d} y \; {\ vec {j}})}

Kaikki nämä yhtälöt ovat erilaisia tapoja kirjoittaa kahden vektorin pistetulo:

{\ displaystyle \ mathrm {d} S = (x + \ mathrm {d} x) (y + \ mathrm {d} y) -xy = y \; \ mathrm {d} x + x \; \ mathrm {d } y = \ mathrm {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (xy) \ cdot \ mathrm {d} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} (xy) \ cdot \ mathrm {d} {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}

tai

{\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (xy) = (y, x)

Näiden vektorien käyttöönoton kiinnostus ilmaista useiden parametrien funktion vaihtelu on visualisoida tosiasia, että funktio vaihtelee eniten gradienttivektorin suunnassa ja että se ei vaihdu millään muutosparametrilla suuntaan kohtisuorassa kaltevuuteen nähden.

{\ displaystyle (y \; {\ vec {i}} + x \; {\ vec {j}}) \ cdot (\ mathrm {d} x \; {\ vec {i}} + \ mathrm {d} y \; {\ vec {j}}) = 0}

for: suorakulmion esimerkissä.

{\ displaystyle y \; \ mathrm {d} x + x \; \ mathrm {d} y = 0}

Tämä antaa samat potentiaaliset sähköstaattiset käyrät: "ekvipotentiaalin".

Matemaattinen määritelmä

Euklidisen avaruudessa määritellyn todellisen funktion gradientti

Asiayhteys

Tai $E$ vektori tilaa ja joko $U$ avoin ja $E$ . Antaa differentiable funktio . Joko $on$ jäsen $U$ . Sitten merkitään ero on , joka on lineaarinen muodossa $E$ . Merkitään kuvan, jonka ero vektorin $u$ ja $E$ . $f: U \ to \ mathbb {R}$ ${\ mathcal {D}} _ {a} f$ $({\ mathcal {D}} _ {a} f, u)$

Oleminen ja ainutlaatuisuus

On olemassa yksikäsitteinen vektori sellainen, että mikä tahansa vektori $u$ of $E$ , jossa huomattava skalaaritulon vuonna $E$ . $({\ mathcal {D}} _ {a} f, u) = \ langle A \ mid u \ rangle$ $\ langle \ cdot \ mid \ cdot \ rangle \, \!$

Vektoria $A$ kutsutaan gradientiksi $f:$ stä $a:$ han, ja sitä merkitään . Siksi se tarkistaa: $\ nabla _ {a} f$

\ forall u \ in E, \ langle \ nabla _ {a} f \ mid u \ rangle = ({\ mathcal {D}} _ {a} f, u).

Kanoninen lauseke (osittaiset johdannaiset)

Koska gradientti itsessään on $E:$ n vektori , on luonnollista, että pyrimme ilmaisemaan sen tämän vektoriavaruuden ortonormaalissa pohjassa . Todistamme, että se ilmaistaan käyttämällä osittaisia johdannaisia muodossa ${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {1}, \; ..., \; \ mathbf {e} _ {n})}$

\ nabla _ {a} f = \ summa _ {i = 1} ^ {n} \ vasen [{\ frac {\ partis f} {\ osittain x_ {i}}} \ vasen (a \ oikea) \ mathbf { e} _ {i} \ oikea]

Esimerkiksi ulottuvuudessa 3 saadaan:

{\ displaystyle \ nabla _ {a} f = {\ frac {\ partis f} {\ osittain x_ {1}}} (a) \ mathbf {e} _ {1} + {\ frac {\ osio f} { \ osal x_ {2}}} (a) \ mathbf {e} _ {2} + {\ frac {\ osaa f} {\ osaa x_ {3}}} (a) \ mathbf {e} _ {3} }

Pohjan muutos

Pohjamuutoksen aikana gradientin kirjoittaminen seuraa $E:$ n C 1 - diffeomorfismin kautta tavanomaisia sääntöjä pohjamuutoksille.

Huomaa, että ei pidä sekoittaa keskikohdan muutosta suorakaiteen muotoisilla merkinnöillä (kanoninen) kirjoitetun funktion ilmaisulle ja toiseen merkintään mukautetun gradientin kirjoittamista . Esimerkiksi polaarikoordinaateina ilmaistulle funktiolle lasketaan gradientin "polaarinen" kirjoitus alkaen funktiosta, joka on selitetty polaarisen absiksin ( $r$ ) ja argumentin ( $θ$ ) $f (r, θ)$ funktiona .

sylinterimäiset koordinaatit (älä ota huomioon $z-$ komponenttia napakoordinaattien suhteen )

\ nabla f = {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ rho}} \ mathbf {e} _ {\ rho} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ osallinen f} { \ partituali \ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {\ osittainen f} {\ osallinen z}} \ mathbf {e} _ {z}

että voimme myös huomata

{\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ partis f} {\ partial \ rho}} \ mathbf {e} _ {\ rho} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ osittainen f} {\ partituali \ phi}} \ mathbf {e} _ {\ phi} + {\ frac {\ osaa f} {\ osaa z}} \ matbb {e} _ {z}}

Kaikki riippuu käytetyistä merkinnöistä. Katso seuraava kappale

pallomaiset koordinaatit

\ nabla f = {\ frac {\ partis f} {\ partis r}} \ mathbf {e} _ {r} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ osallinen f} {\ osallinen \ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \ mathbf {e} _ { \ phi}

tyypin vektorit ovat ominaisvektoreita polaarikoordinaateilla $\ mathbf {e} _ {r}$

Otetaan tässä fyysikkojen klassiset merkinnät (katso pallomaiset koordinaatit )

Yleinen tapaus

Gradientti ja Hilbert-tila

Olla Hilbert tila (finite ulottuvuus tai ei), $U$ avoimen $H$ ja $f$ hakemuksen $U$ on ℝ, derivoituva pisteessä on $U$ . Ero olento, määritelmän mukaan jatkuva lineaarinen muodossa $H$ , ja sitten se seuraa päässä Riesz edustus lause , että on olemassa (ainutlaatuinen) vektori $H$ , totesi , että $(H, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)$ ${\ mathcal {D}} _ {a} f$ $\ nabla f (a)$

\ kaikki h \ H: \ quad {\ mathcal {D}} _ {a} f (h) = \ langle \ nabla f (a), h \ rangle.

Vektoria kutsutaan gradientiksi $f:$ stä $a:$ han . $\ nabla f (a)$

Osoitamme, että jos sitten kasvaa tiukasti suuntaan , se on kaikille riittävän pieni . $\ nabla f (a) \ neq 0$ $f$ $\ nabla f (a)$ $t> 0$ $f (a + t \ nabla f (a))> f (a)$

Gradientti ja Riemannin lajike

Voimme laajentaa tämän määritelmän edelleen erilaistuvaan funktioon, joka on määritelty Riemannin pakosarjassa $( M , g )$ . $F$ : $n$ gradientti $a: ssa$ on tällöin tangenttivektori jakoputkeen $a: ssa$ , jonka määrittelee

\ forall h \ sisään \ mathrm {T} _ {a} \ mathrm {M} \ qquad \ mathrm {d} f (a) \ left (h \ right) = g \ left (\ nabla f {\ big |} h \ oikea)

Lopuksi, jos $f$ on skalaarikentän riippumaton koordinaatistossa, joka on tensorin järjestyksessä 0, ja sen osittainen johdannainen on yhtä suuri kuin sen covariant johdannainen : . Laskemme ristikkäisissä koordinaateissa vektorikentän nimeltä gradientti $f$ : $(\ nabla f) _ {i} = \ osittainen _ {i} f = f _ {, i} = f _ {; i}$

(\ nabla f) ^ {i} = g ^ {ij} ~ f _ {; j}

Tämän kaavan avulla, kun metrinen tensori on muodostettu , voidaan laskea gradientti helposti missä tahansa koordinaattijärjestelmässä.

Rajoitettu kehitys

Jos sovellus myöntää gradientin pisteeseen, voimme kirjoittaa tämän rajoitetun laajennuksen ensimmäisestä järjestyksestä

{\ displaystyle f (x + h) = f (x) + \ langle \ nabla f (x) \ mid h \ rangle + o (h) \ {\ text {tai}} f (xh) = f (x) - \ langle \ nabla f (x) \ mid h \ rangle + o (h)}

Numeerisesti on erittäin mielenkiintoista tehdä puoliero kahdesta kehityksestä gradientin arvon saamiseksi ja on huomattava, että tämä ei itse asiassa riippu funktion arvosta pisteessä x : $f ( x )$ . Tämä kaava on se etu, että kun 2 toisen jotta kaltevuudet huomioon ja on näin ollen paljon tarkempi ja numeerisesti kestävä. Oletuksena on tietää funktion "menneisyys" ja "tulevaisuus" arvot pisteen x pienen naapuruston ympärillä .

Geometriset ominaisuudet mitoissa 2 tai 3

Klassisesti tiedämme, että kaltevuus antaa mahdollisuuden määritellä "normaali tasokäyrille", mikä johtaa 2D- ja 3D-muotoihin mielenkiintoisilla geometrisilla ominaisuuksilla. Tangenssin ominaisuus liittyy kuperuuteen / koveruuteen, on myös mielenkiintoista nähdä yhteys, joka on olemassa kaltevuuden ja kuperuuden välillä, aina 2D- tai 3D-muodossa.

Ulottuvuus 2: gradientti, normaali käyrälle pisteessä, tangenttiviiva

Pidämme jatkuvasti erilainen. Antaa olla käyrä, joka määritetään yhtälöllä $f$ $($ $u$ $) =$ $k$ , jossa $k$ on vakio. Sitten tämän käyrän tietyssä pisteessä $v$ gradientti, jos se on olemassa eikä ole nolla, antaa normaalin suunnan käyrälle tässä pisteessä $v$ . Käyrän tangentti on sitten kohtisuorassa kaltevuuteen nähden ja kulkee $v: n$ läpi . $f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}$

Sovellus kuvankäsittelyyn

Kuva on itse asiassa funktio, jossa on kaksi muuttujaa p ( x , y ), kukin x: n ja y: n kokonaislukuarvo muodostaa kuvan pikselin ja otettua arvoa p ( x , y ) kutsutaan kuvan harmaaksi tasoksi. kuva. pikseli mustavalkoista kuvaa varten. On käytännössä välttämätöntä arvioida "käyrän tangentin viiva", vaikka funktio p ei ole analyyttinen ( p on yleensä tuntematon) ja sitä ei ehkä voida erottaa kiinnostavasta kohdasta (pikselistä). Laskemme numeerisesti kaksi gradienttia, joita merkitään gx: llä ja gy: llä, jotka seuraavat x: tä ja y : tä, esimerkiksi 2 e- järjestyksen kaavoilla , jotka käyttävät vain 2 pikseliä kukin laskentaan ja pakottavat olettaa, kun kuvassa ei ole kohinaa.

Koska funktio p ei ole analyyttinen ja sillä on tunnettu numeerinen arvo vain erillisissä pisteissä (vierekkäisissä pikseleissä), erilaisia kaavoja voidaan käyttää arvioimaan kuvan nämä gradientit mahdollisimman hyvin. Voimme mainita esimerkiksi Prewitt-suodattimen, jonka avulla kuvan muiden pikselien (3 x 3 tai 9 pikseliä ja kaikki) läheisyyttä käyttämällä voidaan arvioida keskellä olevan kiinnostavan pikselin gradientit gx ja gy sopimalla suodatettu.

Kun tietyssä kuvassa on vahvojen kaltevuuksien pikselit, ne voivat toimia maamerkkeinä, toisin sanoen tietyinä tunnistettavissa olevina pisteinä (jotka on merkitty esimerkiksi kartalle) ja jotka voivat sijaita avaruudessa, sanoten muuten säätävän navigointiaan uudelleen. Gradientit gx ja gy muodostavat suunnan (se on itse asiassa vektori), ja meillä on myös kulmatietoja: ampumakulmat on mahdollista säätää uudelleen, mikä on erittäin hyödyllistä esimerkiksi lentokoneiden ohjaamiseen.

Ulottuvuus 3: gradientti, joka on pinnan suuntainen tangenttitasossa

Antaa olla jatkuvasti erilainen sovellus . Antaa olla yhtälön $f$ $($ $u$ $) =$ $k$ määrittämä pinta , jossa $k$ on vakio. Sitten tämän pinnan tietyssä pisteessä $v$ gradientti, jos se on olemassa eikä ole nolla, antaa normaalin suunnan pinnalle tässä pisteessä $v$ : pinnan tangenttitaso on sitten kohtisuorassa kaltevuuteen nähden ja kulkee läpi $v$ . $f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}$

Kaltevuus ja kuperuus

Harkitse jatkuvasti erilaistuvaa ( esimerkiksi) sovellusta . Jos kartta on yksitoikkoinen (tiukasti yksitoikkoinen), niin $f$ on kupera (tai tiukasti kupera). Eli merkkijonojen karakterisoinnin avulla: $f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}$ $n \ sisään \ {2,3 \}$ $\ mathbf {\ nabla} f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$

\ forall (u, v) \ vasemmalla (\ mathbb {R} ^ {3} \ oikea) ^ {2}, \ mathbf {\ nabla} _ {u} f \ cdot \ mathbf {\ nabla} _ { v} f \ geq 0 \ Rightarrow \ forall (u, v, \ lambda) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ kertaa \ mathbb {R} ^ {3} \ kertaa [0,1], f ( \ lambda u + (1- \ lambda) v) \ leq \ lambda f (u) + (1- \ lambda) f (v)

Tämä ominaisuus on mielenkiintoinen, koska se pysyy voimassa myös silloin, kun $f$ ei ole kahdesti erotettavissa.

Jos $f$ on kaksi kertaa erotettavissa, Hessian on positiivinen vain ja vain, jos kaltevuus on yksitoikkoinen.

Ulottuvuuden tapaus 1

Edellä määritelty yksitoikkoisuus antaa mahdollisuuden määritellä kasvava tai laskeva funktio tavallisessa mielessä. Ensimmäisessä tapauksessa puhumme kuperasta funktiosta , toisessa koverasta funktiosta.

Jos funktio on kahdesti eroteltava, johdannaisen (siis gradientin) kasvu varmistetaan toisen johdannaisen positiivisuudella (Hessian ekvivalentti).

Vektorisuhteet

On vektori analyysi , gradientti voidaan yhdistää muiden toimijoiden kanssa. Olkoon $f$ skalaarikenttää kuvaava funktio, jonka oletetaan olevan luokan C 2 kunkin parametrin suhteen, sitten:

{\ frac {\ partitali {\ osittainen t}} \ vasen (\ nabla f \ oikea) = \ nabla {\ frac {\ osittainen f} {\ osallinen t}}

;

\ mathrm {div} \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f \ right) = \ Delta f

;

{\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ left ({\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f \ right) = {\ overrightarrow {0}}

Huomautuksia ja viitteitä

Toisin sanoen, kun fyysinen suuruus riippuu myös ei-paikkamuuttujista (esimerkiksi ajasta ), gradienttia laskettaessa otetaan huomioon vain paikkamuuttujat.

Katso myös

Lähteet

(en) Serge Lang , differentiaaligeometrian perusteet , Springer
(en) Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry , 2 e ed. tarkistettu ( ISBN 9780120887354 )