Ergodinen hypoteesi , tai ergodisuus hypoteesi , on keskeinen hypoteesi tilastollisen fysiikan . Sen muotoili alun perin Ludwig Boltzmann vuonna 1871 kineettisen kaasuteoriansa tarkoituksiin . Sitten sitä sovellettiin järjestelmiin, jotka koostuivat hyvin suuresta määrästä hiukkasia, ja vahvisti, että tasapainossa tilastollisesti lasketun määrän keskiarvo on yhtä suuri kuin ajallaan otettujen erittäin suurien lukumäärien keskiarvo. Ensimmäinen arvo on se, joka voidaan laskea tilastollisella fysiikalla, toinen on lähellä kokeellisesti mitattavaa. Ergodinen hypoteesi on siis välttämätön teorian ja kokemuksen hyvän yhteyden kannalta.
Järjestelmää, jolle ergodinen hypoteesi varmistetaan, kutsutaan ergodiseksi järjestelmäksi . Useimmissa tapauksissa on hyvin vaikeaa osoittaa tarkasti, että järjestelmä on ergodinen vai ei. Tämän ongelman matemaattinen analyysi synnytti ergodisen teorian, joka määrittää hypoteesin matemaattisen luonteen ja antaa tuloksia sen pätevyysolosuhteista. Mutta ergodinen hypoteesi on usein yksinkertainen hypoteesi, jota pidetään todennäköisenä jälkikäteen, kun se antaa oikeat ennusteet. Tässä mielessä se on tilastofysiikan heikko kohta.
Ergoditeettihypoteesi liittyy myös signaalinkäsittelyyn , jossa se myönnetään, että satunnaisen signaalin kehitys ajan myötä antaa samat tiedot kuin joukko toteutuksia. Se on tärkeä Markov-ketjujen , paikallaan olevien prosessien ja koneoppimisen tutkimuksessa .
Intuitiivisesti, ja kaasun esimerkkinä, miljardeja hiukkasia, jotka muodostavat sen, voidaan pitää toistensa kopioina, joilla kaikilla on sama satunnainen käyttäytyminen. Ne kumpikin ottavat satunnaisia, todennäköisesti erilaisia sijainnin ja nopeuden arvoja tiettynä ajankohtana. Keskimääräinen hiukkasten nopeus voidaan laskea summaamalla kaikkien hiukkasten nopeudet tiettynä ajankohtana. Voimme kuitenkin laskea myös keskiarvon ottamalla huomioon yhden hiukkasen mutta mittaamalla sen nopeudet eri aikoina. Ergoditeettihypoteesi tarkoittaa sitä, että nämä kaksi menetelmää ovat samanarvoisia.
Voimme myös ajatella yksittäisen lajin metsää ja olla kiinnostuneita puun kasvusta ajan funktiona: ergodinen hypoteesi tarkoittaa sitä, että on samanlaista tarkkailla metsää tietyllä hetkellä tai puuta koko sen ajan elämän tietääkseen sen kehityksen (esimerkiksi tallentamalla rungon halkaisija ajan funktiona tai mittaamalla kaikki metsän halkaisijat ja siirtämällä se puun iän mukaan).
Ergodinen hypoteesi syntyi kanssa kineettisen teorian kaasuja ja tilastollisen fysiikan toisella puoliskolla XIX : nnen vuosisadan. Sen muotoili alun perin Ludwig Boltzmann vuonna 1871 sekä Maxwell .
Ehrenfest- pariskunta otti nimen "ergodinen hypoteesi" käyttöön vasta vuonna 1911 kuuluisassa tilastofysiikan perusteita käsittelevässä artikkelissaan (vrt. Bibliografia). Se on rakennettu kreikkalaisista termeistä εργος, joka tarkoittaa "työ", ja οδος, "polku". Jo vuonna 1884 Boltzmann käytti aiheeseen liittyvää sanaa " ergoden ", mutta hän antoi tälle sanalle melko erilaisen merkityksen.
Toisin sanoen järjestelmä, jolla on vapausasteita, joita tällä hetkellä kuvaa :
Kullakin hetkellä, koordinaatit määritellään piste on faasiavaruus . Tämä kohta kuvaa järjestelmän tilaa tuolloin .
Katsomme myös, että järjestelmä on tasapainossa, toisin sanoen sen ominaisuudet ovat muuttumattomia ajan myötä. Tällainen järjestelmä tyydyttää aina energiansäästön, joka on kirjoitettu:
niin että dynaaminen on edelleen rajoitettu hypersurface vuonna ulottuvuuksia. Seuraavassa oletetaan, että tarkasteltava Hamiltonin-järjestelmä on muuttumaton ajassa tapahtuvan käännöksen perusteella ja ettei sillä ole muuta liikkuvaketta kuin energia .
Järjestelmän dynaaminen evoluutio kanonisten Hamilton- yhtälöiden mukaan lähtöolosuhteista tuottaa Hamiltonin virtauksen , ts. Jatkuvan ryhmän parametrilla kuten:
Vaiheavaruuden sijaintien peräkkäin on jatkuva käyrä , jota kutsutaan kiertoradaksi .
Mitattavaan fyysiseen suureen vastaa vaihe-avaruudessa oleva toiminto, joka jokaiseen pisteeseen, joka vastaa järjestelmän tilaa, yhdistää arvon. Panemme merkille tämän toiminnon. Tälle määrälle on kaksi erillistä keskiarvoa. Voimme tehdä aikakeskiarvon ottamalla riittävän pitkän ajan mitattujen mittausten sarjan keskiarvon. Matemaattisesti edustamme sitä rajalla (jos sellainen on):
.Tämä keskiarvo riippuu a priori alkuperäisestä tilasta .
Voimme myös määritellä yleistä keskiarvo on , tai mikrokanoninen keskiarvo , jonka:
, missä on mitta vaihetilassa.Kokonaiskeskiarvolla ja aikakeskiarvolla ei ole a priori syytä olla sama. Ergodisen hypoteesin on oletettava, että ne ovat.
Järjestelmän evoluutio ajan mittaan määräytyy Hamiltonin virtauksen eli sovelluksen avulla . Tämän kartan sanotaan olevan ergodinen tietylle mittaukselle vain ja vain, jos mikä tahansa mitattavissa oleva joukkoinvariantti on nollamittainen tai nollamittaisen komplementaarinen.
Birkhoffin lause osoittaa, että kun kartta on ergodinen, spatiaalinen keskiarvo ja ajallinen keskiarvo ovat todellakin samat melkein kaikkialla.
Edellä esitetty Birkhoffin lause mahdollistaa ergodisen hypoteesin muotoilemisen enää keskiarvon yhtälönä, mutta Hamiltonin virtauksen ominaisuuksien funktiona , toisin sanoen järjestelmän edustavan pisteen evoluutiosta l-vaihetilassa .
Sitten voimme erottaa kaksi erillistä ergodista hypoteesia:
Aikakäännöksellä invariantin Hamiltonin järjestelmän sanotaan olevan ergodinen vahvassa mielessä, jos tämän järjestelmän edustava piste kulkee ajan kuluessa vakioenergian hyperpinnan jokaisen pisteen läpi .
Hamiltonin järjestelmän, joka on invariantti ajallaan käännöksen, sanotaan olevan ergodinen heikossa mielessä, jos tämän järjestelmän edustava kohta kulkee ajan myötä niin lähellä kuin haluamme jatkuvan energian hyperpinnan kuhunkin kohtaan .
Boltzmann ja Maxwell käyttivät molempia lausuntoja valinnaisesti työssään. Kahden edellisen ergodisen hypoteesin matemaattinen epäekvivalenssi tunnistettiin nimenomaisesti vasta vuonna 1910 Paul Hertzin toimesta.
Tuloksia käytettäessä joukko-opin ja Cantor toisaalta, ja mittaus teoria on Lebesgue Toisaalta, kaksi matemaatikot Plancherel ja Rosenthal osoitti itsenäisesti seuraavista lause:
Hamiltonin virtaus ei voi olla ergodinen (vahvassa mielessä).Toisaalta on sittemmin osoitettu, että tietyt järjestelmät voivat olla ergodisia heikossa mielessä; vrt. artikkelin ergodinen teoria .
Huolimatta edistytty huomattavasti ergodiateorian ja kaaosteoria , käyttö ergodinen hypoteesi perustella käyttöä mikrokanoninen yhtye tilastollinen mekaniikka yhä kiistanalainen tähän päivään.