Markovin epätasa-arvo

In todennäköisyysteoriasta , Markov epätasa antaa todennäköisyys kasvaa, että todellinen satunnaismuuttuja kanssa positiivisia arvoja, on suurempi kuin tai yhtä suuri kuin positiivinen vakio. Tämä eriarvoisuus nimettiin Andrei Markovin kunniaksi .

Osavaltiot

Markovin epätasa-arvo - Olkoon $Z$ todellinen satunnaismuuttuja, joka määritetään todennäköisyysavaruudessa ja jonka oletetaan olevan melkein varmasti positiivinen tai nolla. Niin ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ oikea)}$

{\ displaystyle \ forall a> 0, \ qquad \ mathbb {P} (Z \ geqslant a) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (Z)} {a}}.}

Esittely

Joko . Toteamme osoitinmuuttujan tapahtuman . ${\ displaystyle a \ sisään \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ {Z \ geqslant a \}}}$ ${\ displaystyle \ {Z \ geqslant a \}}$

Meillä on eriarvoisuutta:

{\ displaystyle \ forall \ omega \ in Omega, \ qquad a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ leqslant Z (\ omega) \, \ mathbf {1 } _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ leqslant Z (\ omega)}

koska on positiivinen tai nolla. $Z$

Odotusten kasvulla meillä on:

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ vasen (a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) \ leqslant \ mathbb {E} (Z) \ qquad ( *)}

Sitten odotuksen lineaarisuuden mukaan:

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (a \, \ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) = a \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ {Z (\ omega) \ geqslant a \}} \ right) = a \, \ left (1 \ kertaa \ mathbb {P} (Z \ geqslant a) +0 \ kertaa \ mathbb { P} (Z <a) \ oikea) = a \, \ mathbb {P} \ vasen (Z \ geqslant a \ oikea)}

Työntämällä lauseke eriarvoisuuteen saadaan: $(*)$

{\ displaystyle a \, \ mathbb {P} \ vasen (Z \ geqslant a \ right) \ leqslant \ mathbb {E} (Z)}

tarkoittaen

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vasen (Z \ geqslant a \ oikea) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (Z)} {a}}}

Yleistys

Tästä lauseesta on olemassa yleisempi versio. Olkoon $X$ satunnaismuuttuja, jossa $Ω$ on toteutumisten joukko, on tapahtumien heimo ja todennäköisyyden mittari. Sitten Markovin epätasa-arvo voidaan todeta seuraavasti: ${\ textstyle L ^ p (\ Omega, \ mathcal {F}, \ mathbb {P})}$ ${\ textstyle \ mathcal {F}}$ ${\ textstyle \ mathbb {P}}$

Markovin epätasa-arvo - mistä tahansa ehdottomasti positiivisesta todellisuudesta , $\ alfa$

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ vasen (| X | \ geq \ alpha \ right) \ leq {\ frac {1} {\ alpha ^ {p}}} \ mathbb {E} \ left (| X | ^ {p} \ oikea)}

Demonstraatio vie kokonaan siihen, että kaikkien $α: n osalta$ ehdottomasti positiivinen . Tässä $1$ $A$ tarkoittaa tapahtuman $A$ indikaattoria . Lisäämällä odotuksia saadaan: ${\ textstyle \ alpha ^ {p} \ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}} \ leq | X | ^ {p}}$

E(|X|s)≥E(as1{|X|≥a})=asE(1{|X|≥a})=asP{|X|≥a}{\ displaystyle \ mathbb {E} \ vasen (| X | ^ {p} \ oikea) \ geq \ mathbb {E} \ vasen (\ alpha ^ {p} \, \ mathbf {1} _ {\ left \ { | X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alfa \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {P} \ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}}

{\ displaystyle \ mathbb {E} \ vasen (| X | ^ {p} \ oikea) \ geq \ mathbb {E} \ vasen (\ alpha ^ {p} \, \ mathbf {1} _ {\ left \ { | X | \ geq \ alpha \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {E} \ left (\ mathbf {1} _ {\ left \ {| X | \ geq \ alfa \ right \}} \ right) = \ alpha ^ {p} \, \ mathbb {P} \ left \ {| X | \ geq \ alpha \ right \}}

Jakamalla epätasa-arvon kummallekin puolelle

α p

löydämme halutun tuloksen.

Näemme heti, että edellä mainittu tulos ei ole muuta kuin tämän epätasa-arvon erityistapaus.

Lisäksi ottamalla ja $p$ $= 2$ saadaan tarkalleen lausunto Bienaymé-Chebyshevin eriarvoisuudesta . ${\ textstyle X = Y- \ mathbb {E} \ vasen (Y \ oikea)}$

Seuraus

Sillä on usein käytetty seuraus:

Seuraus - Let $cp$ nonnegative kasvava funktio väli $I$ . Olkoon $Y$ todellinen satunnaismuuttuja, joka määritetään todennäköisyysavaruudessa siten, että . Joten: ${\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ oikea)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ I: ssä) = 1}$

{\ displaystyle \ forall b \ in I \; | \; \ phi (b)> 0, \ qquad \ mathbb {P} (Y \ geqslant b) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi ( Y))} {\ phi (b)}}.}

Esittely

Sovellamme Markovin epätasa-arvoa ja saadaksemme: ${\ displaystyle Z = \ phi (Y) \}$ ${\ displaystyle a = \ phi (b)}$

{\ displaystyle \ forall b> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ left (\ phi (Y) \ geqslant \ phi (b) \ right) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi (Y ))} {\ phi (b)}}}

Kasvu johtaa: . $\ phi$ ${\ displaystyle \ {Y \ geqslant b \} \ osajoukko \ {\ phi (Y) \ geqslant \ phi (b) \} \}$

Siksi: . ${\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ geqslant b) \ leqslant {\ frac {\ mathbb {E} (\ phi (Y))} {\ phi (b)}}}$

Sovellukset

Edellä esitetyn epätasa-arvon valinta ja $ϕ ($ $x$ $) =$ $x$ $2$ antaa Bienaymé-Chebyshevin epätasa-arvon . ${\ displaystyle Y = | X- \ mathbb {E} (X) |, ~ I = [0, + \ infty [\}$

Edellä esitetyn epäyhtälön valinta, tai , ja ja of $($ $x$ $) = e$ $λ$ $x$ , $λ> 0$ , on ensimmäinen vaihe todistettaessa Chernoffin epätasa-arvo tai Hoeffdingin epätasa-arvo . ${\ displaystyle Y = X- \ mathbb {E} (X)}$ ${\ displaystyle Y = \ mathbb {E} (X) -X}$ ${\ displaystyle I = \ mathbb {R}}$

Markovin epätasa-arvoa käytetään usein Borel-Cantelli-lemman yhteydessä esimerkiksi todistamaan suurten lukujen voimakas laki .

Esimerkki

Koska palkat ovat positiivisia, väestön osuus, joka saa enemmän kuin viisi kertaa keskipalkka, on enintään viidesosa.

Katso myös