Kertolasku

Kertolasku on yksi neljästä toiminnan ja ala-aritmeettinen kanssa lisäämällä , vähennyslaskua ja jako . Tämä operaatio merkitään usein kertolaskuilla "×", mutta se voidaan myös huomata muilla symboleilla (esimerkiksi keskipiste "·") tai symbolin puuttumisella.

Sen tulosta kutsutaan tuotteeksi , kerrotut luvut ovat tekijöitä .

Kahden luvun a ja b kertolasku sanotaan välinpitämättömästi ranskaksi "kerrottuna b: llä" tai "b kertaa a".

Kahden kokonaisluvun kertolasku voidaan nähdä lisäyksenä, joka toistetaan useita kertoja. Esimerkiksi "3 kertaa 4" voidaan nähdä kolmen luvun 4 summana; "4 kertaa 3" voidaan nähdä neljän luvun 3 summana:

3 kertaa 4 = 4 kerrottuna 3 = 4 × 3 = 4 + 4 + 4; 4 kertaa 3 = 3 kerrottuna 4 = 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3;

kanssa: $3 kertaa 4 = 4 kertaa 3 = 12.$ Kertomalla voidaan laskea suorakulmioon järjestettyjä elementtejä tai laskea tunnetun suorakulmion pinta-ala . Se mahdollistaa myös ostohinnan määrittämisen tietäen yksikköhinnan ja ostetun määrän.

Kertolasku yleistetään muuhun kuin klassiseen lukuun (kokonaisluvut, suhteellinen, todellinen). Esimerkiksi, se voi lisääntyä kompleksin välillä Heille toiminnot , että matriisit ja jopa vektoreita numerot.

Merkinnät

Vuonna aritmeettinen , kertominen on usein kirjoitettu merkki "×" termien välillä, toisin sanoen infixed merkintätapa . Esimerkiksi,

{\ displaystyle 2 \ kertaa 3 = 6}

(suullisesti "kolme kertaa (luku) kaksi on yhtä kuin kuusi")

{\ displaystyle 3 \ kertaa 4 = 12}

{\ displaystyle 2 \ kertaa 3 \ kertaa 5 = 6 \ kertaa 5 = 30}

{\ displaystyle 2 \ kertaa 2 \ kertaa 2 \ kertaa 2 \ kertaa 2 = 32}

Tämä symboli on koodattu Unicode U + 00D7 x kertomerkin ( HTML : × ×) . LaTeX: n matemaattisessa tilassa se kirjoitetaan \times.

Kertomiseen on muita matemaattisia merkintöjä :

Kertolasku on merkitty myös pisteellä, keski- tai matalakorkeudella: $5 \cdot 2$ tai $5. 3$
In algebran , kertominen johon muuttujat on usein kirjoitettu yksinkertaisella rinnakkain (esim xy varten x kertaa y tai 5 x viisi kertaa x ), jota kutsutaan myös implisiittinen kertolasku . Tätä merkintää voidaan käyttää myös määrissä, joita ympäröivät sulkeet (esim. 5 (2) tai (5) (2) viisi kertaa kaksi). Tämä implisiittinen kertolasku voi aiheuttaa epäselvyyksiä, kun muuttujien ketjutus vastaa toisen muuttujan nimeä, tai kun muuttujan nimi ennen sulkeita voidaan sekoittaa funktion nimiin tai operaatioiden järjestyksen määrittämiseksi .
Vektorikertoimessa risti- ja pistesymboleilla on eri merkitykset. Risti symboli esittää risti tuote kahden vektorien ulottuvuus 3, otetaan käyttöön vektori, seurauksena, kun taas piste symboli edustaa piste tuote kahden vektorin saman ulottuvuuden (mahdollisesti ääretön), joka tarjoaa skalaari .
Vuonna ohjelmointi The tähti (kuten 5*2) on yleisin merkintä. Tämä johtuu siitä, että tietokoneet olivat historiallisesti rajoitettu pieneen joukkoihin merkkejä (kuten ASCII tai EBCDIC ), joilla ei ollut symbolia ⋅tai ×, kun taas tähti löytyy kaikista näppäimistöistä. Tämä käyttö saa alkunsa FORTRAN- ohjelmointikielestä .

Kertolasku numeroina

Kertolasku kokonaislukuina

Jos kerrotaan yksi kokonaisluku toisella, lisätään tämä kokonaisluku itselleen useita kertoja. Joten jos kerrotaan 6: llä 4: llä, lasketaan 6 + 6 + 6 + 6, 6 × 4: n tulos sanotaan 4 kertaa 6 (kuten 4 kertaa luku 6 ) tai 6 kerrottuna 4: llä . Kutsumme tuote 6 4 tulos tämän operaation. Tässä kertolaskussa 6 kutsutaan kerrannaiseksi, koska se toistetaan ja 4 kutsutaan kertojaksi, koska se osoittaa, kuinka monta kertaa 6 tulisi toistaa.

Se tosiasia, että 4 kertaa 6 on yhtä suuri kuin 6 kertaa 4, tekee tämän eron tarpeettomaksi, ja näitä kahta numeroa kutsutaan tuotteen tekijöiksi . Tämä on merkitty 6 × 4 - joka lukee välinpitämättömästi "neljä kertaa kuusi" tai "kuusi kerrottuna neljällä" - tai 4 × 6. Viimeisten kahden vuosisadan aritmeettisissa koulukirjoissa luemme alun perin toisella tavalla. "Times" tuntui olevan vähemmän tarkka (kuten "ja" lisättäväksi).

Pitkällä aikavälillä ei ole tehokasta pitää kertomista toistuvana lisäyksenä. Siksi on välttämätöntä oppia kaikkien kokonaislukujen 1 - 9 kertomisen tulos. Tämä on kertotaulukon tarkoitus .

Kertominen kokonaislukuina täyttää seuraavat ominaisuudet:

voimme muuttaa tekijöiden järjestystä muuttamatta lopputulosta: a × b = b × a. Sanomme, että kertolasku on kommutatiivista ;
kun meidän on kerrottava kolme lukua niiden välillä, voimme haluttaessa kertoa kaksi ensimmäistä ja kertoa saatu tulos kolmannella tekijällä tai kertoa niiden välillä kaksi viimeistä ja kertoa sitten tulos ensimmäisellä luvulla: (a × b) × c = a × (b × c). Sanomme, että kertolasku on assosiatiivista ;
kun joudut kertomaan summan (tai eron) luvulla, voit joko ensin laskea summan ja kertoa tuloksen luvulla tai muuten, kerro ensin summan kukin termi tällä luvulla ja suorita sitten summa: ( a + b) × c = (a × c) + (b × c). Sanomme, että kertolasku on jakautuva summaukselle, koska olemme jakaneet c summan kahteen termiin.

Suluissa on järjestys, jossa toiminnot tulisi suorittaa. Käytännössä, jotta vältetään liian monien sulkeiden vetäminen, käytämme yleisesti seuraavaa prioriteettisääntöä: kertolasku suoritetaan aina ennen lisäyksiä. Siksi kirjoituksessa 4 + 5 × 2 meidän on luettava 4 + (5 × 2), toisin sanoen 4 + 10 = 14 eikä (4 + 5) × 2, joka olisi ollut 18 arvoinen.

4 + 5 \ kertaa 2 = 4 + (5 kertaa 2) = 4 + 10 = 14,

(4 + 5) \ kertaa 2 = 9 \ kertaa 2 = 18 \ neq 4 + 5 \ kertaa 2.

Tätä sääntöä kutsutaan toimintaprioriteetiksi .

Viimeinen ominaisuus liittyy vertailuihin. Jos kaksi numeroa on järjestetty tietyssä järjestyksessä ja kerrottuna samalla ehdottomasti positiivisella luvulla, tulokset järjestetään samassa järjestyksessä. Jos a <b, niin a × c <b × c. Sanomme, että kertominen positiivisilla kokonaisluvuilla on yhteensopiva järjestyksen kanssa.

Kertolaskuna käytetty symboli on risti × (a × b), mutta kirjaimellisissa laskelmissa löydämme myös pisteen (a b) tai edes mitään (ab), jos epäselvyyttä ei ole. $\ cdot$ $\ cdot$

On olemassa kaksi melko erityistä toimintoa:

kerroin 1: llä, joka ei muuta tekijää: 1 × a = a × 1 = a. Sanomme, että 1 on neutraali elementti kertolaskennassa;
kertolasku 0: lla, joka antaa aina arvon 0: 0 × a = a × 0 = 0. sanomme, että 0 on absorboiva elementti kertolaskulle.

Kertominen desimaaleina

Desimaalien kertomiseen keskenämme käytämme sitä, että tuotteet voidaan tehdä missä tahansa järjestyksessä. Jos haluamme kertoa esimerkiksi 43,1 luvulla 1,215, teemme seuraavat huomautukset

{\ displaystyle {\ begin {aligned} 43,1 \ kertaa 1215 & = \ vasen (431 \ kertaa {\ frac {1} {10}} \ oikea) \ kertaa \ vasen (1 \; 215 \ kertaa {\ frac {1} {1 \; 000}} \ oikea) \\ & = (431 \ kertaa 1 \; 215) \ kertaa \ vasen ({\ frac {1} {10}} \ kertaa {\ frac {1} { 1 \; 000}} \ oikea) \\ & = (431 \ kertaa 1 \; 215) \ kertaa {\ frac {1} {10 \; 000}}. \ Loppu {tasattu}}}

Sieltä syntyy sääntö: Jos kerrotaan kahden desimaalin välillä, lasketaan kahden numeron desimaalipisteen jälkeen olevien numeroiden lukumäärä ja yksi tekee summan. Tuote suoritetaan sitten ilman pilkua. Lopuksi sijoitetaan pilkku lopputulokseen, jättäen oikealle niin monta numeroa kuin aiemmin saamamme summa.

3,15 × 1,2 =? (desimaalipilkun jälkeen on 3 numeroa, ensimmäisessä numerossa 2 ja toisessa numerossa 1) 315 × 12 = 630 × 6 = 3780 3,15 × 1,2 = 3,780 = 3,78.

Tämä sääntö toimii, koska laskelma "ottamatta huomioon desimaalipistettä" palaa kertoimelle 3,15 100: lla, jolloin saadaan 315 ja kerrotaan 1,2 10: llä 12: n saamiseksi. Nämä kertoimet on kompensoitava laskutoimituksen lopussa kertomalla. käänteinen, joten jako 100: lla ja 10: 3 780: lla tulee sitten 378: ksi ja 3,78: ksi, jolloin saadaan pyydetyn operaation tulos.

Kertominen negatiivisilla luvuilla

Voimme nähdä tuotteen 4 kertaa (–6) 4 kertaa toistuvan (–6) summan summana, joka on (–6) + (–6) + (–6) + (–6) = –24.

Voimme myös nähdä tuotteen (–4) kertaa (6) numerona 6, jonka poistamme 4 kertaa. Siten (-4) kertaa 6 tulon tekeminen on vähentää 24, jonka kirjoitamme (–4) × 6 = –24.

Lopuksi voimme nähdä tuotteen (–4) kertaa (–6) lukuna (–6), jonka vähennämme 4 kertaa, joten meidän on vähennettävä –24. Poistamalla –24 lisätään 24, joten (–4) × (–6) = 24.

Nämä esimerkit selittävät säännön numeroille, joissa on merkki. Jos haluat tuottaa kahden allekirjoitetun luvun tuloksen, suoritamme niiden absoluuttisten arvojen tulon ja osoitamme tulokselle merkin - jos kahden tekijän merkit ovat erilaiset, ja plusmerkin (+), jos kahdella tekijällä on sama merkki.

Nämä säännöt voidaan tiivistää seuraavasti:

vähemmän by vähemmän tasavertaisia lisää vähemmän mukaan enemmän tasavertaisina vähemmän enemmän mukaan vähemmän tasavertaisia vähemmän enemmän by enemmän vastaa enemmän

Laskennalla suhteellisilla kokonaisluvuilla on samat ominaisuudet kuin kertolaskulla luonnollisilla kokonaislukuilla (se on kommutatiivinen, assosiatiivinen, jakautuva yhteenlaskemiseen), lukuun ottamatta yhtä poikkeusta: se ei aina pidä järjestystä: jos kaksi numeroa on järjestetty tietyssä järjestyksessä ja jos kerrotaan ne ehdottomasti positiivisella kokonaisluvulla järjestys säilyy

–2 <3 ja (–2) × 4 <3 × 4

mutta jos kerrotaan se ehdottomasti negatiivisella luvulla, järjestys muuttuu

(–2) <3 ja (–2) × (–4)> 3 × (–4).

Kertolasku murtolukuina

Kahden murtoluvun kertominen niiden välillä tarkoittaa kertomistajien ja nimittäjien kertomista niiden välillä:

{\ frac ab} \ kertaa {\ frac cd} = {\ frac {a \ kertaa c} {b \ kertaa d}}.

Sarjassa ℚ on rationaaliluvut , kertominen pitää ominaisuuksia jo todettu samalla ongelmalliseksi järjestystä ja kertominen negatiivinen luku.

Kertominen reaaleissa

Se on edellisen kertolasun yleistys. Sillä on samat ominaisuudet.

Käänteinen

Luvun kertolasku on luku, jolla se on kerrottava, jotta saadaan 1.

Esimerkiksi :

10: n käänteinen arvo on 0,1, koska 10 × 0,1 = 1;
2: n käänteinen arvo on 0,5, koska 2 × 0,5 = 1;
käänteistä 3 / 4 on 4 / 3 , koska 3 / 4 x 4 / 3 = 12 / 12 = 1.

Käänteisen numero on merkitty 1 / tai jopa -1 .

Joten:

$π:$ n käänteistä merkitään $1 ⁄ π: llä$ ;
käänteistä 2 on merkitty 1 / 2 = 0,5.

Numerojoukoista riippuen emme aina löydä käänteistä joukosta:

kokonaislukujoukossa vain 1 ja –1 on käänteisiä;
riippumatta siitä, mikä joukko numeroita vahvistaa 0 0 1, 0: lla ei ole käänteistä, koska 0 kerrottuna a: lla antaa aina 0 eikä koskaan 1;
rationaalijoukossa ja reaalien joukossa kaikilla luvuilla lukuun ottamatta 0 on käänteinen.

Perusmatematiikan neljännen operaation, jakamisen voidaan tällöin nähdä kertomalla käänteisellä.

Useita

Sanomme, että luku a on luvun b kerroin, jos se on seurausta b: n kertomasta kokonaisluvulla (luonnollinen tai suhteellinen)

a on b: n moninkertainen vain ja vain, jos on olemassa suhteellinen kokonaisluku k siten, että a = k × b

Kun a ja b ovat kokonaislukuja, sanomme myös, että a on jaollinen b: llä.

Järjestetyn ruumiin käsite

Kun joukko rationaaliluvut ja joukko todellisia lukuja , löydämme seuraavat ominaisuudet kerrottavaksi:

Assosiatiivisuus	Kaikille a, b, c, a × (b × c) = (a × b) × c
Kommutatiivisuus	Kaikille a ja b: lle a × b = b × a
Neutraali elementti	Kaikille a, a × 1 = 1 × a = a
Käänteinen	Minkä tahansa nollasta poikkeavan a: n kohdalla on olemassa −1 siten, että a × a −1 = 1
Jakelukyky	Kaikille a, b ja c, (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Imukykyinen elementti	kaikille a: lle a × 0 = 0 × a = 0
Tilaus	Kaikille a> 0 ja kaikille b ja c, jos b <c, niin ab <ac

Nämä ominaisuudet, jotka liittyvät näiden joukkojen yhteenlaskemiseen, tekevät make: sta ja addition: stä, jotka on varustettu summauksella ja kertomalla, erityisjoukkoja, joita kutsutaan järjestetyiksi kentiksi .

Kertotekniikat

Lukuun ottamatta egyptiläistä kertolaskua ja sen venäläistä muunnosta, joka käyttää binääriperiaatetta, vuosisatojen aikana kehittyneet kertolaskutekniikat käyttävät desimaalijärjestelmää ja vaativat suurimmaksi osaksi lukujen 1 - 9 kertolaskujen ja periaatteiden tuntemista. jakelukyvystä. Joten kerrotaan 43 25: llä, kirjoitamme, että 43 × 25 = 43 × (2 kymmentä + 5) . Sitten jaamme eri ehdot

43 × 25 = 43 × 2 kymmeniä + 43 × 5 yksiä. 43 × 25 = (4 × 2 sataa + 3 × 2 kymmenää) + (4 × 5 kymmenää + 3 × 5 yhtä) = 8 sataa + 6 kymmenää + 20 kymmenää + 15 yhtä = 1075.

Eri menetelmät koostuvat tämän laskelman esittämisestä käytännöllisellä tavalla. Täten löydämme kiinalaisen menetelmän, joka alkaa voimakkailla painoilla, toisin sanoen vasemmalle kauimpana olevien numeroiden kertolasku. Tätä menetelmää käytetään kertomiseen abakuksen kanssa . Mutta muutkin menetelmät ovat mahdollisia, kuten ranskalaisissa kouluissa yleisesti käytetty menetelmä, joka koostuu "kertolaskun asettamisesta" kertomalla 43 ensin viidellä, sitten kahdella kymmenellä ja summaamalla.

Muita tekniikoita käyttäen samaa periaatetta on kehitetty, koska kertominen lipsahdus käytetään IX nnen vuosisadan , jonka Al-Khwarizmi tai kertomista jealousies käytetty keskiajalla vuonna Euroopassa . Jälkimmäinen johti tikkujen valmistukseen, joka automatisoi laskutoimituksen: Napier-tikkuja .

Suurin osa näistä tekniikoista vaatii tietoa kertolaskuista . Niitä käytettiin hyvin aikaisin. Löydämme jälkiä esimerkiksi Nippur vuonna Mesopotamiassa 2000 vuotta eaa. AD tableteille, jotka on varattu oppisopimusoppilaiden kouluttamiseen.

Taulukoiden muistaminen numeroille 6 ja 9 on joskus vaikeaa. Georges Ifrah kertoo yksinkertaisen tavan kertoa sormien lukumäärillä 6-9. Kummallakin kädellä yksi piirtää niin monta sormea, että yksiköt ylittävät 5 kullekin kyseiselle numerolle. Joten kerrotaksemme 8 7: llä, laitamme 3 vasemman käden ja kaksi oikean käden sormea. Pystyjen sormien summa antaa kymmenien lukumäärän ja taitettujen sormien tulo antaa lisättävien sormien määrän. Siten esimerkissä on 5 kohotettua sormea, joten 5 kymmentä . Toisessa kädessä on 2 taitettua sormea ja toisessa 3 taitettua sormea , mikä antaa 2 × 3 = 6 yksikköä tai 7 × 8 = 56 .

Matemaattinen selitys vaatii jälleen kerran jakautuvuutta: jos kutsumme x ja y taitettujen sormien lukumääräksi, pystyssä olevien sormien lukumäärä on a = 5 - x ja b = 5 - y ja suoritamme 10 - x: n kertomisen 10: llä - y:

(10 - x) (10 - y) = 10 (10 - x) - (10 - x) y = 10 (10 - x) - 10y + xy = 10 (10 - x - y) + xy = 10 (a) + b) + xy.

Samanlainen tekniikka on olemassa lukujen 11-15 kertomiseen keskenään.Käytämme vain pystyssä olevia sormia. Pystyjen sormien lukumäärä antaa lisättävien kymmenien lukumäärän 100: aan, ja pystyssä olevien sormien tulo antaa lisättävien sormien määrän.

Merkinnät

Babylonian tableteissa on ideogramma, joka edustaa kertomista A - DU.

In Euklideen elementtejä , kertolasku nähdään laskemista alueen. Joten kahden luvun tulon edustamiseksi puhumme suorakulmiosta ABCD, jossa sivut AB ja AD edustavat kahta lukua. Kahden numeron tuloa kutsutaan sitten suorakaiteeksi BD (implisiittinen suorakulmion alue sivuilla AB ja AD).

Diophantus puolestaan ei käytä kertomiseen erityistä symbolia, joka sijoittaa numerot vierekkäin. Intian matematiikassa havaitaan sama merkkien puute, numerot sijoitetaan usein vierekkäin, toisinaan erotetaan pisteellä tai joskus seuraa lyhenne bha (bhavita, tuote).

Euroopassa ennen symbolisen kielen lopullista tunnustamista operaatiot ilmaistiin latinaksi kirjoitetuilla lauseilla. Joten 3 kertaa 5 kirjoitettiin 3/5.

Tällä XVI : nnen vuosisadan , näkee tunnus M käyttämä Stifel ja Stevin . Risti St Andrew × käytetään merkitsemään kertomista Oughtred vuonna 1631 ( Clavis Mathematicae ). Mutta löydämme tällä hetkellä muita merkintöjä, esimerkiksi pilkun, jota edeltää suorakulmio Hérigonessa , "5 × 3" kirjoittaa "☐ 5, 3:". Johann Rahn käyttää symbolia * hänelle vuonna 1659. Pistettä käyttää Gottfried Wilhelm Leibniz, joka löytää ristin liian lähellä x-kirjainta. Vuoden lopulla XVII th luvulla , on vielä mitään merkkejä perustettu lisääntyäkseen, kirjeessä Hermann, Leibniz todetaan, että korotus ei tarvitse ilmaista vain ristejä mutta voimme myös käyttää pilkkua, pistettä tai tiloja.

Vasta aikana XVIII nnen vuosisadan että yleistää käytön piste lisääntyäkseen symbolikieli.

Useiden tekijöiden kertominen niiden välillä

Koska kertolasku on assosiatiivinen, suoritettaville kertolaskuille ei ole tarvetta asettaa prioriteettia. On kuitenkin vielä määriteltävä, kuinka kirjoitetaan määrittelemättömän määrän tekijöiden tulo.

\ underbrace {a \ kertaa \ cdots \ kertaa a} _ {n}

tarkoittaa, että kerrotaan kerroin a itsestään n kertaa . tuloksena on huomattava n ja lukee " sen voiman n ".

1 \ kertaa 2 \ kertaa \ cdots \ kertaa n

tarkoittaa, että olemme tehneet kaikkien kokonaislukujen 1 - n tuloksen, tulos on merkitty n: llä ! ja lukee " tekijän n ".

Jos on numerosarja, tarkoittaa, että olemme tehneet näiden n tekijän tulon niiden välillä. Tämä tuote on myös huomattu $(x_ {i})$ $x_ {1} \ kertaa x_ {2} \ kertaa \ cdots \ kertaa x_ {n}$

\ prod _ {{k = 1}} ^ {n} x_ {k}.

Jos lausekkeella on merkitys, edellisen tuotteen rajaa, kun n lähestyy ääretöntä, kutsutaan loputtomaksi tuotteeksi ja kirjoitetaan

\ prod _ {{k = 1}} ^ {{+ \ infty}} x_ {k}.

Huomautuksia ja viitteitä

Collective, Pieni matematiikan tietosanakirja , Didier, 1980, s. 24.
Charles Briot , Aritmeettiset elementit… , Dezobry, E. Magdéleine et Cie, 1859, s. 27 .
Istuva moninkertaistustekniikka kokonaisluvuille, [1] .
NI 2733 tai HS 0217a tablettia Le calcul Seksagesimaalijärjestelmä en Mesopotamia jonka Christine Proust kulttuuri- matematiikka tai Mesopotamian matematiikasta, 2100-1600 eKr mennessä Eleanor Robson s. 175.
Georges Ifrah, Lukujen yleishistoria, Ensimmäinen laskukone: käsi - digitaalisen laskennan elementit.
(en) Florian Cajori , A History of Mathematical Notations [ yksityiskohtainen painos ], voi. 1, kohdat 219--234.
Michel Serfati, Symbolinen vallankumous , s. 108 .

Katso myös

Kertyminen komplekseissa
Matrix-tuote
Vektorin kertominen todellisella vektorilaskennalla Euklidean geometriassa
Kertolasku