Napa (matematiikka)

On monimutkainen analyysi , joka on napa , joka holomorfinen funktio on jonkin tyyppinen eristetty singulariteetti että käyttäytyy kuten singulariteetti on z = 0 funktion , jossa n on ei-nolla luonnollinen kokonaisluku. z∈VS∗↦z-ei∈VS{\ displaystyle z \ sisään \ mathbb {C} ^ {*} \ mapsto z ^ {- n} \ sisään \ mathbb {C}}

Holomorfista funktiota, jolla on vain eristettyjä yksiköitä, jotka ovat pylväitä, kutsutaan meromorfiseksi funktioksi .

Määritelmä ja ominaisuudet

Olkoon U olla avoin suunnitelma on kompleksitasossa ℂ, on elementti U ja holomorphic funktio . Sanomme, että on napa f (tai että f myöntää napa ) jos on olemassa holomorphic funktio g on -osassa V ⊂ U on siten, että ja kokonaisluku n ≥ 1 siten, että kaikille z in V \ { a } meillä on f:U∖{klo}→VS{\ displaystyle f: U \ setminus \ {a \} \ to \ mathbb {C}}g(klo)≠0{\ displaystyle g (a) \ neq 0}

f(z)=g(z)(z-klo)ei{\ displaystyle f (z) = {\ frac {g (z)} {(za) ^ {n}}}}.

Tällainen kirjoitus on tällöin ainutlaatuinen ja kokonaislukua n kutsutaan navan järjestykseksi . Jakson 1 pylvästä kutsutaan joskus yksinkertaiseksi napaksi .

F: n napa on piste, jossa | f | pyrkii kohti ääretöntä.

Piste on napa f jos (ja vain jos) on naapurustossa on , f on rajaton ja 1 / f on rajoitettu.

Esimerkkejä ja vasta-esimerkkejä

• Toiminto

f(z)=3z{\ displaystyle f (z) = {\ frac {3} {z}}} on napa, jonka luokka on 1 (tai yksinkertainen napa) sisään .z=0{\ displaystyle z = 0}

• Toiminto

f(z)=z+2(z-5)2(z+7)3{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z + 2} {(z-5) ^ {2} (z + 7) ^ {3}}}} on napa, jonka järjestys on 2 sisään ja napa, jonka järjestys on 3 .z=5{\ displaystyle z = 5}z=-7{\ displaystyle z = -7}

• Toiminto

f(z)=synti⁡zz3{\ displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin z} {z ^ {3}}}} on napa, jonka järjestys on 2 tuumaa , koska se on samanlainen kuin sen naapurustossa (tämä näkyy esimerkiksi käyttämällä funktion sini Taylor-sarjaa alkupisteessä).z=0{\ displaystyle z = 0}synti⁡z{\ displaystyle \ sin z}z{\ displaystyle z}z=0{\ displaystyle z = 0}

• Toisin kuin ulkonäkö, toiminto

f(z)=synti⁡zz{\ displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin z} {z}}} ei myönnä napaa sisään , koska edellisessä esimerkissä esille tuotun vastaavuuden vuoksi se vastaa yhtä naapurin naapurustossa . Erityisesti pysyy rajattu alkuperän läheisyydessä, joten ei ole napa . Sitten voimme laajentua holomorfiseksi toiminnaksi kokonaisuudessaan. Sanomme, että on pyyhittävä singulariteetti on .z=0{\ displaystyle z = 0}f(z){\ displaystyle f (z)}z=0{\ displaystyle z = 0}f{\ displaystyle f}z=0{\ displaystyle z = 0}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=0{\ displaystyle z = 0}f{\ displaystyle f}

• Toiminto

f(z)=exp⁡(1z){\ displaystyle f (z) = \ exp \ left ({\ frac {1} {z}} \ oikea)} ei myönnä napaa sisään . Todellakin ja ovat molemmat rajattomia . Puhumme sitten oleellisesta singulariteetista eikä enää napasta.z=0{\ displaystyle z = 0}f{\ displaystyle f}1/f{\ displaystyle 1 / f}z=0{\ displaystyle z = 0}

Katso myös

• Nolla (monimutkainen analyysi)
• Jäännös (monimutkainen analyysi)
• Rationaalinen toiminta

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">