Liénard-Wiechert -potentiaalit
Mahdollinen Lienard-Wiechert kuvaavat, klassisessa yhteydessä vaikutukset sähkömagneettisen luotu pisteveloitus läpi liikkuvan vektori potentiaali ja skalaaripotentiaali että mittari Lorenz . Nopeudella ladattu hiukkanen, joka sijaitsee vertailupisteen alkupisteessä, tuottaa sähköpotentiaalin ja vektoripotentiaalin vektorin tunnistamassa pisteessä :
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}t{\ displaystyle t}V{\ displaystyle V}AT→{\ displaystyle {\ vec {A}}}M{\ displaystyle M}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
V(r→,t)=q4πe01r-v→⋅r→/vs.{\ displaystyle V ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r - {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {r}} / c}}}
AT→(r→,t)=q4πe0vs.2v→r-v→⋅r→/vs.{\ displaystyle {\ vec {A}} ({\ vec {r}}, t) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} {\ frac {\ vec {v}} {r - {\ vec {v}} \ cdot {\ vec {r}} / c}}}
kanssa .
v→=v→(t-r/vs.){\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {v}} (tr / c)}
Pistepartikkelin relativistiset kentät
Liénard-Wiechert -potentiaalista johtuvat kentät ovat:
E→=q4πϵ0r2ei→-v→/vs.y2(1-ei→⋅v→/vs.)3+q4πϵ0vs.2rei→×[(ei→-v→/vs.)×klo→](1-ei→⋅v→/vs.)3{\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {2}}} {\ frac {{\ vec {n}} - {\ vec { v}} / c} {\ gamma ^ {2} \ vasen (1 - {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} / c \ oikea) ^ {3}}} + {\ frac { q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} c ^ {2} r}} {\ frac {{\ vec {n}} \ kertaa \ vasen [\ vasen ({\ vec {n}} - {\ vec {v}} / c \ right) \ kertaa {\ vec {a}} \ right]} {\ left (1 - {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} / c \ right) ^ {3}}}}B→=qμ04πr2v→×ei→y2(1-ei→⋅v→/vs.)3+qμ04πrvs.ei→×(ei→×((ei→-v→/vs.)×klo→))(1-ei→⋅v→/vs.)3{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ frac {q \ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {2}}} {\ frac {{\ vec {v}} \ kertaa {\ vec {n}}} {\ gamma ^ {2} \ vasen (1 - {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} / c \ oikea) ^ {3}}} + {\ frac {q \ mu _ {0}} {4 \ pi rc}} {\ frac {{\ vec {n}} \ kertaa \ vasemmalle ({\ vec {n}} \ kertaa \ vasemmalle (({\ vec {n}} - {\ vec {v}} / c) \ kertaa {\ vec {a}} \ oikea) \ oikea)} {\ vasen (1 - {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {v}} / c \ oikea) ^ {3}}}}Mistä löydämme Lorentz-tekijän, hiukkasen kiihtyvyyden ja pallomaisen emäksen radiaalivektorin. Näissä lausekkeissa on huomattava, että ensimmäinen termi pienenee , se ilmaistaan siksi lähikentässä, kun taas toinen termi ilmaistaan kaukokentässä. On myös huomattava, että tässä:
y{\ displaystyle \ gamma}klo→{\ displaystyle {\ vec {a}}}ei→=r→||r||{\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {\ vec {r}} {|| r ||}}}1/r2{\ displaystyle 1 / r ^ {2}}1/r{\ displaystyle 1 / r}
B→=ei→vs.×E→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ frac {\ vec {n}} {c}} \ kertaa {\ vec {E}}}Huom . Magneettikentän matalimmassa järjestyksessä se on riippumaton ja sillä on lauseke:
1/vs.{\ displaystyle 1 / c}klo→{\ displaystyle {\ vec {a}}}
B→=q4πϵ0r2v→×ei→vs.2+o(v2vs.2){\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {2}}} {\ frac {{\ vec {v}} \ kertaa {\ vec {n}}} {c ^ {2}}} + o \ vasen ({\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ oikea)}
Sovellus
Ongelma kahden sähkömagneettisen kappaleen kanssa
Kahden relativistisen hiukkasen törmäys on mahdollista mallintaa Liénard -Wiechert-potentiaalin avulla. Tätä ongelmaa kutsutaan kahden kappaleen sähkömagneettiseksi ongelmaksi. Sitten ratkaistaan yhtälöt:
mdv1→dt=q(E2→+v1→×B2→){\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v_ {1}}}} {\ mathrm {d} t}} = q \ vasen ({\ vec {E_ {2}}} + { \ vec {v_ {1}}} \ kertaa {\ vec {B_ {2}}} \ oikea)}
mdv2→dt=q(E1→+v2→×B1→){\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v_ {2}}}} {\ mathrm {d} t}} = q \ vasen ({\ vec {E_ {1}}} + { \ vec {v_ {2}}} \ kertaa {\ vec {B_ {1}}} \ oikea)}
Fields , , ja johdetaan potentiaaliset Lienard -Wiechert edellä.
E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}B1{\ displaystyle B_ {1}}B2{\ displaystyle B_ {2}}
Voimme osoittaa, että Liénard -Wiechert-potentiaalin luovan hiukkasen tuottaman voimakentän tarkka ilmaus on:
F→/q=q4πϵ0r(r→⋅u→)3{[(vs.2-v2)u→+r→×(u→×klo→)]+v→vs.×[r→×[(vs.2-v2)u→+r→×(u→×klo→)]]}{\ displaystyle {\ vec {F}} / q = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {r} {({\ vec {r}} \ cdot {\ vec {u}}) ^ {3}}} \ left \ {\ left [(c ^ {2} -v ^ {2}) {\ vec {u}} + {\ vec {r}} \ kertaa ( {\ vec {u}} \ kertaa {\ vec {a}}) \ oikea] + {\ frac {\ vec {v}} {c}} \ kertaa \ vasen [{\ vec {r}} \ kertaa \ vasen [(c ^ {2} -v ^ {2}) {\ vec {u}} + {\ vec {r}} \ kertaa ({\ vec {u}} \ kertaa {\ vec {a}}) \ oikea] \ oikea] \ oikea \}}missä esitimme . Huomaa, että muuttujat , , ja arvioidaan aikaviiveellä.
u→=vs.r→||r||-v→{\ displaystyle {\ vec {u}} = c {\ frac {\ vec {r}} {|| r ||}} - {\ vec {v}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}klo→{\ displaystyle {\ vec {a}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
Huomautuksia ja viitteitä
-
Tarkalleen ratkaistavissa oleva elektrodynaaminen kahden kehon ongelma, RA Rudd ja RN Hill, Journal of Mathematical Physics 11, 2704 (1970)
-
Elektrodynaaminen 2-runko-ongelma ja kvanttimekaniikan alkuperä, CK Raju, Fysiikan perusteet, Voi. 34, nro 6, kesäkuu 2004
-
Griffiths, Johdatus elektrodynamiikkaan, 3. painos, P. 439, ekv. 10.67.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">