Ennakkotilaus

Vuonna matematiikka , joka on ennakkotilattavissa on refleksiivinen ja transitiivinen binäärirelaatio .

Toisin sanoen, jos $E$ on asetettu , eli binäärirelaatio on $E$ on ennakkotilattavissa kun: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle \ forall x \ E \ quad x {\ mathcal {R}} x}$ (heijastavuus);
${\ displaystyle \ forall (x, y, z) \ muodossa E ^ {3}, (x {\ mathcal {R}} y \ land y {\ mathcal {R}} z) \ Rightarrow x {\ mathcal {R }} z}$ (transitiivisuus).

Esimerkkejä

Tilaukset ovat antisymmetrisenä preorders .
Ekvivalenssirelaatiot ovat symmetriset preorders .
Eräässä kommutatiivinen rengas , ” jakaa ” suhde on ennakkotilausvaihtoehdon suhde. Yleensä se ei ole järjestyssuhde, koska se ei ole antisymmetrinen (esimerkiksi suhteellisten kokonaislukujen joukossa 1 jakaa –1 ja –1 jakaa 1, kun taas 1 ja –1 ovat erilaiset).
On kärjet on suunnattu graafi , suhteen ”olla pääsee” on ennakkotilauksen (se on itse asiassa refleksiivinen ja transitiivinen sulkeminen kuvaajan). Jos kaavio on jaksoton , tästä suhteesta tulee järjestys.
Välillä normit samalla todellinen vektori tilaa, suhde ” on hienompi kuin ” on ennakkotilausvaihtoehdon.
Välillä todellinen tehtäviä todellinen muuttuja , ylivalta on ennakkotilausvaihtoehdon.
Tasolevyjen joukossa suhde "on enintään yhtä suuri kuin alue" on ennakkotilaus. Se ei ole järjestyssuhde, koska se ei ole antisymmetrinen (kahdella eri levyllä voi olla sama alue). Tämä sama suhde suljettujen levyjen (tai avoimien levyjen) joukossa, jossa on kiinteä keskusta, on tilaussuhde.

Täydennykset

Jos $( E , ℛ)$ ja $( F , ?)$ ovat kaksi ennakkotilata sarjaa, kartan $f$ välillä $E$ ja $F$ on sanottu olevan yhä jos $x ℛ y \Rightarrow f ( x ) ? f ( y )$ .

Jos $E$ on joukko, $( F , ?)$ ennakkotilattu joukko ja $f$ kartoitus $E:$ stä $F: ään$ , $x$ : n $x$ $ℛ$ $y$ $\Leftrightarrow$ $f$ $($ $x$ $) ?$ $f$ $($ $y$ $)$ määrittämä suhde $ℛ$ on ennakkotilaus $E: lle$ (vrt. Yllä oleva esimerkki , jossa $f: llä$ , joka mihin tahansa ympyrään yhdistää alueen, on arvot järjestyksessä: reaalit - tai positiiviset reaalit .

Jos $( E , ℛ)$ on ennalta tilattu sarja, niin:

suhde " $x ℛ y eikä y ℛ x$ " on tiukka järjestyssuhde ;
" $x ~ y: n$ määrittämä suhde $vain ja vain, jos ($ $x$ $ℛ$ $y$ $ja$ $y$ $ℛ$ $x$ $)$ " on ekvivalenttisuhde;
kaksi elementtiä X ja Y on osamäärä joukko on E mukaan ~ , kaksi seuraavaa sitten takaisin samaan:
- tahansa elementti $x$ on $X$ ja mikä tahansa elementti $y$ on $Y$ , $x ℛ y$ ,
- on osa $x$ on $X$ ja elementin $y$ on $Y$ , niin että $x ℛ y$ .
  Sitten voimme määritellä järjestyssuhteen tälle osamääräjoukolle $E / ~$ asettamalla: $X \leq Y,$ jos jokin edellisistä ehdoista täyttyy;
- jos $F$ on osajoukko on $E$ , joka sisältää täsmälleen yksi edustaja kustakin vastaavuus luokan , rajoitus $?$ välillä $ℛ$ ja $F$ on järjestyksessä ja $( F , ?)$ on isomorfinen ja $( E / ~, \leq)$ (vrt viimeinen esimerkki alla edellä ) .

Huomautuksia ja viitteitä

N. Bourbaki , Matematiikan elementit : Joukkoteoria [ yksityiskohtia painoksista ], Pariisi, Masson, 1998, kappale. III, 1 §, n o 2, s. 2 ja 5 , kirjoitettu "ennakkotilaus" ja "ennakkotilattu".
Paul Ruff, "Tilaa suhteessa" Tietolehtiset college professorit , n o 15. 4. tammikuuta, 1963.
Bourbaki 1998 , luku. III, § 1, n o 5, s. 7 .
Antoine Rolland, Ordinal preference aggregation procedure with reference points for päätöksentekotuki , tietojenkäsittelytieteen väitöskirja, Pierre-et-Marie-Curie University , 2008.
Bourbaki 1998 , kappale. III, § 1, n o 2, s. 3 .

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Transitiivinen heijastava sulkeminen