Markov-kiinteistö
In todennäköisyys , joka on stokastinen prosessi täyttää Markovin ominaisuus , jos ja vain jos ehdollinen todennäköisyys jakelu tulevien valtioiden, koska menneisyyden tiloja ja nykytilasta, itse asiassa riippuu vain nykytilasta eikä valtioiden aiemmin (ilman "muisti "). Prosessia, jolla on tämä ominaisuus, kutsutaan Markov-prosessiksi . Tällaisille prosesseille paras ennuste, jonka voimme tehdä tulevaisuudesta, tietäen menneisyyden ja nykyisyyden, on identtinen parhaimman ennusteen, jonka voimme tehdä tulevaisuudesta, tietäen vain nykyisyyden: jos tunnemme nykyisyyden, tiedon menneisyys ei tarjoa lisätietoa tulevaisuuden ennustamiseksi.
Heikko Markov-ominaisuus (erillinen aika, erillinen tila)
Määritelmä
Tämä on Markov-ketjun ominaisuus : karkeasti sanottuna tulevaisuuden ennustamista nykyisyydestä ei täsmennetä menneisyyden lisätiedoilla, koska kaikki tulevaisuuden ennustamiseen hyödyllinen tieto sisältyy prosessin nykytila. Heikossa Markov-omaisuudessa on useita vastaavia muotoja, jotka kaikki merkitsevät sitä, että havaitaan , että ehdollinen menneisyyden tuntemisen laki , eli tieto on vain funktio :
Xei+1{\ displaystyle X_ {n + 1}}
(Xk)0≤k≤ei{\ displaystyle \ left (X_ {k} \ right) _ {0 \ leq k \ leq n}}
Xei{\ displaystyle X_ {n}}![X_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a8564cedc659cf2f95ae68bc5de2f5207a3285)
"Elementary" heikko Markov-ominaisuus -
Kaiken kaikkia tiloja vartenei≥0,{\ displaystyle n \ geq 0,}
(i0,...,iei-1,i,j)∈Eei+2,{\ displaystyle (i_ {0}, \ ldots, i_ {n-1}, i, j) \ paikassa E ^ {n + 2},}
P(Xei+1=j∣X0=i0,X1=i1,...,Xei-1=iei-1,Xei=i)=P(Xei+1=j∣Xei=i).{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ mathbb {P} {\ Big (} X_ {n + 1} = j & \ mid \, X_ {0} = i_ {0}, X_ {1} = i_ {1 }, \ ldots, X_ {n-1} = i_ {n-1}, X_ {n} = i {\ Big)} & = \ mathbb {P} \ vasen (X_ {n + 1} = j \ keskellä X_ {n} = i \ oikea). \ End {tasattu}}}
Oletamme useimmiten homogeenisia Markov-ketjuja , eli oletamme, että siirtymämekanismi ei muutu ajan myötä. Heikko Markovin ominaisuus sitten on muotoa:
∀ei≥0,∀(i0,...,iei-1,i,j)∈Eei+2,{\ displaystyle \ forall n \ geq 0, \ forall (i_ {0}, \ ldots, i_ {n-1}, i, j) \ E ^ {n + 2},}
P(Xei+1=j∣X0=i0,X1=i1,...,Xei-1=iei-1,Xei=i)=P(X1=j∣X0=i).{\ displaystyle \ mathbb {P} {\ Iso (} X_ {n + 1} = j \ keski \, X_ {0} = i_ {0}, X_ {1} = i_ {1}, \ ldots, X_ { n-1} = i_ {n-1}, X_ {n} = i {\ Big)} = \ mathbb {P} \ vasen (X_ {1} = j \ keskellä X_ {0} = i \ oikea). }![{\ displaystyle \ mathbb {P} {\ Iso (} X_ {n + 1} = j \ keski \, X_ {0} = i_ {0}, X_ {1} = i_ {1}, \ ldots, X_ { n-1} = i_ {n-1}, X_ {n} = i {\ Big)} = \ mathbb {P} \ vasen (X_ {1} = j \ keskellä X_ {0} = i \ oikea). }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746218baa0d3c8507b4776058c1f73ae00f28a2a)
Tämä heikon Markov-ominaisuuden muoto on vahvempi kuin edellinen muoto ja johtaa erityisesti siihen
∀ei≥0,∀(i,j)∈E2,P(Xei+1=j∣Xei=i)=P(X1=j∣X0=i).{\ displaystyle \ forall n \ geq 0, \ forall (i, j) \ in E ^ {2}, \ qquad \ mathbb {P} \ left (X_ {n + 1} = j \ mid X_ {n} = i \ oikea) = \ mathbb {P} \ vasen (X_ {1} = j \ keskellä X_ {0} = i \ oikea).}![\ forall n \ geq 0, \ forall (i, j) \ in E ^ {{2}}, \ qquad {\ mathbb {P}} \ left (X _ {{n + 1}} = j \ keskellä X_ {n} = i \ oikea) = {\ mathbb {P}} \ vasen (X _ {{1}} = j \ keskellä X_ {0} = i \ oikea).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a287dfcf4ad22e9514ae24e6ab3f304f3f5a240)
Artikkelin loppuosassa otetaan huomioon vain homogeeniset Markov-ketjut. Kiinnostavasta epähomogeenisten Markov-ketjujen käytöstä yhdistelmällisessä optimoinnissa on artikkelissa Simuloitu hehkutus .
Homogeenisten Markov-ketjujen heikoilla Markov-ominaisuuksilla on toinen muoto, paljon yleisempi kuin edellinen, mutta silti vastaava edelliseen:
"Yleinen" heikko Markov-omaisuus -
mihin tahansa valintaanei≥0,B∈P(E)⊗EI,AT∈P(Eei+1),i∈E,{\ displaystyle n \ geq 0, \ quad B \ sisään {\ mathcal {P}} (E) ^ {\ otimes {\ mathbb {N}}}, \ quad A \ sisään {\ mathcal {P}} (E ^ {n + 1}), \ quad i \ E,}
P((Xei,Xei+1,...)∈B|(X0,...,Xei)∈AT,Xei=i)=P((X0,X1,...)∈B|X0=i).{\ displaystyle {\ mathbb {P}} ((X_ {n}, X_ {n + 1}, \ piste) \ kirjaimella B, | \, (X_ {0}, \ pisteet, X_ {n}) \ kohdassa A, X_ {n} = i) \; = \; {\ mathbb {P}} ((X_ {0}, X_ {1}, \ pisteet) \ B: ssä, | \, X_ {0} = i).}
Huomaa, että menneisyyden ja tulevaisuuden tapahtumia täällä ottaa yleisimmässä mahdollista muotoa, kun taas tämä tapahtuma pysyy tietyssä muodossa, eikä sattumalta: jos me korvata mennessä edellä julkilausuman, niin ilmoitus tulee epätosi yleensä, sillä tietoja menneisyydestä tulee hyötyä nykyisyyden ennustamiseen (missä se voi olla, tarkemmin sanottuna pelin sisällä ?), ja sieltä tulevaisuuden ennustamiseen.
{(X0,...,Xei)∈AT}{\ displaystyle \ {(X_ {0}, \ pisteet, X_ {n}) \ kohteessa A \}}
{(Xei,Xei+1,...)∈B}{\ displaystyle \ {(X_ {n}, X_ {n + 1}, \ pistettä) \ B: ssä}
{Xei=i}{\ displaystyle \ {X_ {n} = i \}}
{Xei=i}{\ displaystyle \ {X_ {n} = i \}}
{Xei∈VS}{\ displaystyle \ {X_ {n} \ in C \}}
Xei{\ displaystyle X_ {n}}
VS{\ displaystyle C}![VS](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
Vastaesimerkki satunnaisesta kävelystä :
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
Jos ja me puhumme satunnaiskulkua siitä Oletetaan sitten, esimerkiksi
E=Z{\ displaystyle E = \ mathbb {Z}}
si,i+1=1-si,i-1=s,{\ displaystyle p_ {i, i + 1} = 1-p_ {i, i-1} = p,}
Z.{\ displaystyle \ mathbb {Z}.}
s∈]0,1[.{\ displaystyle p \ in] 0,1 [.}![{\ displaystyle p \ in] 0,1 [.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd091fedaf248c11e20a5b364e7e53488ed0c55)
Pμ(Xei+1=1 | Xei∈{0,1} ja Xei-1=0)=0,{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mu} (X_ {n + 1} = 1 \ | \ X_ {n} \ in \ {0.1 \} {\ text {ja}} X_ {n-1} = 0) = 0,}![{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mu} (X_ {n + 1} = 1 \ | \ X_ {n} \ in \ {0.1 \} {\ text {ja}} X_ {n-1} = 0) = 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf671984d91f52da77735f9b5ee8361de44bb351)
kun taas voi helposti löytää ja kuten
μ{\ displaystyle \ mu}
ei{\ displaystyle n}![ei](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Pμ(Xei+1=1 | Xei∈{0,1})>0.{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mu} (X_ {n + 1} = 1 \ | \ X_ {n} \ sisään \ {0,1 \})> 0.}![{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mu} (X_ {n + 1} = 1 \ | \ X_ {n} \ sisään \ {0,1 \})> 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ceadffa3eb2adc8e81a53f476ce7b0c27941526)
Täten nykyisen epätarkan tiedon ( ) vuoksi tietyt menneisyyttä koskevat tiedot mahdollistavat ennusteen parantamisen: tietäen, että X n-1 = 0 , päätellään, että X n ei ole nolla, joten X n on yhtä suuri arvoon 1, sitten päätellään, että X n + 1 ei voi olla yhtä suuri kuin 1. Toisaalta ilman tietoa X n-1 = 0 , emme voi sulkea pois sitä, että X n + 1 on yhtä suuri kuin 1.
{Xei∈{0,1}} {\ displaystyle \ {X_ {n} \ sisään \ {0,1 \} \} \}![{\ displaystyle \ {X_ {n} \ sisään \ {0,1 \} \} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbad079b007ac6b3a51d8ab09ce2419f9967c515)
Satunnainen kävely on kuitenkin Markov-ketju, ja sillä on Markov-ominaisuus. Tässä ei ole ristiriitaa: Markov-ominaisuus toteaa, että kun tiedetään tarkasti ( X n = i ) nykyhetkestä, mikään menneisyyttä koskevista tiedoista ei mahdollista ennusteen parantamista.
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}![{\ displaystyle \ mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc)
Markovilla on vahva ominaisuus , joka liittyy ajatukseen pysähtymisajasta : tämä vahva Markov-ominaisuus on ratkaisevan tärkeä tärkeiden tulosten todistamiseksi (erilaiset toistumiskriteerit, vahva suurten lakien määrä Markov-ketjuille).
Ehdollinen riippumattomuus
Markovin "yleinen" heikko omaisuus viittaa siihen
Ehdollinen riippumattomuus -
mihin tahansaei≥0,B∈P(E)⊗EI,AT∈P(Eei+1),i∈E,{\ displaystyle n \ geq 0, \ quad B \ sisään {\ mathcal {P}} (E) ^ {\ otimes {\ mathbb {N}}}, \ quad A \ sisään {\ mathcal {P}} (E ^ {n + 1}), \ quad i \ E,}
P((Xei,Xei+1,...)∈B ja (X0,...,Xei)∈AT | Xei=i){\ displaystyle {\ mathbb {P}} ((X_ {n}, X_ {n + 1}, \ piste) \ B-kirjaimessa {\ text {et}} (X_ {0}, \ pisteet, X_ {n} ) \ sisään A \ | \ X_ {n} = i)}
=P((Xei,Xei+1,...)∈B | Xei=i)×P((X0,...,Xei)∈AT | Xei=i).{\ displaystyle = \; {\ mathbb {P}} ((X_ {n}, X_ {n + 1}, \ pistettä) \ B-kirjaimina \ | \ X_ {n} = i) \ kertaa {\ mathbb {P }} ((X_ {0}, \ pistettä, X_ {n}) \ A \ | \ X_ {n} = i).}
Tämä tasa-arvo ilmaisee ehdollisen riippumattomuuden menneisyyden ja tulevaisuuden välillä, tietäen nykyisyyden (tietäen sen ). Jos kuitenkin verrataan "yleiseen" heikkoon Markov-omaisuuteen, kuten edellä todettiin, näemme, että homogeenisuuden ominaisuus on menetetty: "yleinen" heikko Markov-ominaisuus vastaa itse asiassa vahvempaa ominaisuutta
Xei=i{\ displaystyle X_ {n} = i}![{\ displaystyle X_ {n} = i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40d04d590b0a6bc75053a93faa3ebf5c6392c37)
Ehdollinen riippumattomuus ja homogeenisuus -
Kaikille vaihtoehdoilleei≥0,B∈P(E)⊗EI,AT∈P(Eei+1),i∈E,{\ displaystyle n \ geq 0, \ quad B \ sisään {\ mathcal {P}} (E) ^ {\ otimes {\ mathbb {N}}}, \ quad A \ sisään {\ mathcal {P}} (E ^ {n + 1}), \ quad i \ E,}
P((Xei,Xei+1,...)∈B ja (X0,...,Xei)∈AT | Xei=i){\ displaystyle {\ mathbb {P}} ((X_ {n}, X_ {n + 1}, \ piste) \ B-kirjaimessa {\ text {et}} (X_ {0}, \ pisteet, X_ {n} ) \ sisään A \ | \ X_ {n} = i)}
=P((X0,X1,...)∈B | X0=i)×P((X0,...,Xei)∈AT | Xei=i).{\ displaystyle = \; {\ mathbb {P}} ((X_ {0}, X_ {1}, \ piste) \ B-kirjaimina \ | \ X_ {0} = i) \ kertaa {\ mathbb {P}} ((X_ {0}, \ pisteet, X_ {n}) \ A: ssa | | X_ {n} = i).}
Kriteeri
Peruskriteerinä - Antaa olla jono riippumattomia satunnaismuuttujia samaa lakia, jossa arvot tilassa , ja joko mitattavissa kartan vuonna Oletetaan, että jono on määritelty toistumisen suhteen:
Y=(Yei)ei≥0{\ displaystyle Y = (Y_ {n}) _ {n \ geq 0}}
F{\ displaystyle F}
f{\ displaystyle f}
E×F{\ displaystyle E \ kertaa F}
E.{\ displaystyle E.}
X=(Xei)ei≥0{\ displaystyle X = (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}![{\ displaystyle X = (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc2d34e55f1ab4ccd67e1f48c153557717535de0)
∀ei≥0,Xei+1=f(Xei,Yei),{\ displaystyle \ kaikki n \ geq 0, \ qquad X_ {n + 1} = f \ vasen (X_ {n}, Y_ {n} \ oikea),}![{\ displaystyle \ kaikki n \ geq 0, \ qquad X_ {n + 1} = f \ vasen (X_ {n}, Y_ {n} \ oikea),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a6085674cbf487d4eb25595e20bed60e7ebb93)
ja oletetaan, että sekvenssi on riippumaton. Sitten on homogeeninen Markov-ketju.
Y{\ displaystyle Y}
X0.{\ displaystyle X_ {0}.}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Tarrojen
keräilijä (
keräilykuponki ):
Petit Pierre kerää jalkapallomaajoukkueen yksitoista pelaajan muotokuvia, jotka hän löytää Cémoi-suklaapatukoiden pakkausten sisäpuolella olevista tarroista; joka kerta, kun hän ostaa tabletin, hänellä on 1 11 mahdollisuus löytää pelaajan muotokuva (kaikesta ). Panemme merkille Petit Pierren kokoelman tilan avaamisen jälkeen hänen toisen suklaapatukan pakkaukset . on Markov-ketju alkaen , koska se sopii edelliseen kehykseen valinnasta lähtien
k{\ displaystyle k}
k{\ displaystyle k}
Xei∈P([[1,11]]){\ displaystyle X_ {n} \ in {\ mathcal {P}} ([\! [1,11] \!])}
ei{\ displaystyle n}
X=(Xei)ei≥0{\ displaystyle X = (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}
X0=∅{\ displaystyle X_ {0} = \ tyhjennä}
F=[[1,11]], E=P(F), f(x,y)=x∪{y},{\ displaystyle F = [\! [1,11] \!], \ E = {\ mathcal {P}} (F), \ f (x, y) = x \ cup \ {y \},}![{\ displaystyle F = [\! [1,11] \!], \ E = {\ mathcal {P}} (F), \ f (x, y) = x \ cup \ {y \},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e57ab8bd50d642a5fc159a48a8245242e38efd)
Xei+1=Xei∪{Yei},{\ displaystyle X_ {n + 1} = X_ {n} \ kuppi \ {Y_ {n} \},}![{\ displaystyle X_ {n + 1} = X_ {n} \ kuppi \ {Y_ {n} \},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536ad384c288a7526fd5f4b8be9805f6d72bf0af)
jossa satunnaismuuttujat ovat toisistaan riippumattomia ja yhdenmukaisia satunnaismuuttujia : ne ovat suklaapatukkaista vedettyjen vinjettien peräkkäiset numerot. Kokoelman loppuun saattamiseen tarvittava keskimääräinen aika (tässä määrä tabletteja, jotka Petit Pierren on ostettava keskimäärin kokoelmansa loppuun saattamiseksi) on yhteensä vinjettikokoelman kohdalla, missä on -th harmoninen numero . Esimerkiksi suklaapatukat.
Yei{\ displaystyle Y_ {n}}
[[1,11]]{\ displaystyle [\! [1,11] \!]}
EI{\ displaystyle N}
EIHEI,{\ displaystyle N \, H_ {N},}
HEI{\ displaystyle H_ {N}}
EI{\ displaystyle N}
11H11=33,2...{\ displaystyle 11 \, H_ {11} = 33,2 \ pistettä \ quad}![{\ displaystyle 11 \, H_ {11} = 33,2 \ pistettä \ quad}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe27de53965aa678d0120e0f8dee21ce3c8ca04)
Huomautuksia:
- Markov-ominaisuus johtuu sen itsenäisyydestä, se pysyy totta, kun niillä on erilaiset lait, ja kun "toistumissuhde" riippuu riippumattomuuden lisäksi tehdyistä oletuksista on vain tarkoitus varmistaa ketjun homogeenisuus Markovin toimesta.Yi ;{\ displaystyle Y_ {i} \;}
Yi{\ displaystyle Y_ {i}}
Xei+1=fei(Xei,Yei){\ displaystyle X_ {n + 1} = f_ {n} \ vasen (X_ {n}, Y_ {n} \ oikea)}
ei.{\ displaystyle n.}![ei.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
- Kriteeri on perustavanlaatuinen siinä mielessä, että mikä tahansa homogeeninen Markov-ketju voidaan simuloida tarkasti muodon toistumisen avulla hyvin valitulle toiminnolle . Tarkemmin sanottuna, jos on homogeeninen Markov-ketju, on olemassa viisisarja, jossa merkitään todennäköisyysavaruus, on satunnaismuuttuja, jonka arvot ovat ja missä on satunnaismuuttujien sarja, jonka arvot ovat ja ovat määriteltyjä ja riippumattomia, ja on olemassa sovellus on määritelty sisään siten, että sekvenssi on määriteltyXei+1=f(Xei,Yei),{\ displaystyle X_ {n + 1} = f \ vasen (X_ {n}, Y_ {n} \ oikea),}
f{\ displaystyle f}
X=(Xei)ei≥0{\ displaystyle X = (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}
(Ω,AT,P,X0′,Y),{\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}, X_ {0} ^ {\ prime}, Y),}
(Ω,AT,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}
X0′{\ displaystyle X_ {0} ^ {\ prime}}
E{\ displaystyle E}
Y=(Yei)ei≥0{\ displaystyle Y = (Y_ {n}) _ {n \ geq 0}}
F, {\ displaystyle F, \}
X0′{\ displaystyle X_ {0} ^ {\ prime}}
Y{\ displaystyle Y}
(Ω,AT,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}
f {\ displaystyle f \}
E×F{\ displaystyle E \ kertaa F}
E,{\ displaystyle E,}
X′=(Xei′)ei≥0{\ displaystyle X ^ {\ prime} = (X_ {n} ^ {\ prime}) _ {n \ geq 0}}![{\ displaystyle X ^ {\ prime} = (X_ {n} ^ {\ prime}) _ {n \ geq 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086c9b71cd333857147a1f5b0fbf042ee76910dd)
Xei+1′=f(Xei′,Yei){\ displaystyle X_ {n + 1} ^ {\ prime} = f (X_ {n} ^ {\ prime}, Y_ {n})}![{\ displaystyle X_ {n + 1} ^ {\ prime} = f (X_ {n} ^ {\ prime}, Y_ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec04e0f5812acd818eaa4b52bc849e69e0e5c63f)
on sama laki kuin seuraavalla
X=(Xei)ei≥0.{\ displaystyle X = (X_ {n}) _ {n \ geq 0}.}
- Voimme jopa valita ja valita riippumattomia ja yhdenmukaisia muuttujia aikavälillä [0,1], mikä on kätevää Markov-ketjujen tutkimiseen Monte-Carlo-menetelmillä , eli simuloimalla Markov-ketjujen "tyypillisiä" reittejä.F=[0,1],{\ displaystyle F = [0,1],}
Yj{\ displaystyle Y_ {j}}![{\ displaystyle Y_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6607501d77a93f3806fbb4990421973765481059)
Vahva Markov-ominaisuus (erillinen aika, erillinen tila)
Tauon aika
Huomaa sen jälkeen syntynyt heimo . Jos satunnaismuuttujien arvot ovat rajallisessa tai laskettavissa olevassa tilassa , osa kuuluu vain ja vain, jos se on olemassa niin, että
Fei{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}
(Xk)0≤k≤ei.{\ displaystyle (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}.}
E{\ displaystyle E}
AT⊂Ω{\ displaystyle A \ osajoukko \ Omega}
Fei{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}
B⊂Eei+1{\ displaystyle B \ osajoukko E ^ {n + 1}}![{\ displaystyle B \ osajoukko E ^ {n + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16cb3e1b1898a1554042a8026f5e80f361ce7680)
AT={(X0,X1,...,Xei)∈B}={ω∈Ω | (Xk(ω))0≤k≤ei∈B}.{\ displaystyle {\ begin {aligned} A & = \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ in B \ right \} \\ & = \ left \ { \ omega \ sisään \ Omega \ | \ \ vasen (X_ {k} (\ omega) \ oikea) _ {0 \ leq k \ leq n} \ in B \ oikea \}. \ end {tasattu}}}
Määritelmä - satunnaismuuttuja on pysähdysaikaa Markovin ketju , jos
T:Ω→EI∪{∞}{\ displaystyle T: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \}}
(Xei)ei≥0{\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ geq 0}}![(X_ {n}) _ {{n \ geq 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1456dcd7e9127636de8365cace340dc140605e86)
∀ei∈EI,{T=ei}∈Fei,{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ {T = n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n},}
tai mikä on vastaavaa, jos
∀ei∈EI,{T≤ei}∈Fei.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ {T \ leq n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}
Tulkinta. Kuvittele, että satunnaismuuttujat edustavat pelaajan tuloksia pelin peräkkäisten osien aikana ja se edustaa sitä osaa, jonka jälkeen pelaaja päättää lopettaa pelaamisen: on aikakatkaisu, jos lopetuspäätös tehdään pelin tulosten funktiona. pelit, joita on jo pelattu pysäytyshetkellä, ts. jos on olemassa jokin osajoukko , kuten:
Xk{\ displaystyle X_ {k}}
T{\ displaystyle T}
T{\ displaystyle T}
ei{\ displaystyle n}
Bei⊂Eei+1{\ displaystyle B_ {n} \ osajoukko E ^ {n + 1}}![{\ displaystyle B_ {n} \ osajoukko E ^ {n + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1497eafec7a48cf2dc5202d6dd4a6898c5510af2)
{T=ei}⇔{(X0,X1,...,Xei)∈Bei}.{\ displaystyle \ {T = n \} \ quad \ Lefrightarrow \ quad \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ pisteet, X_ {n}) \ B_ {n} \ oikealle \}. }
Tämä estää pelaajaa tekemästä päätöstään tulevien pelien tulosten perusteella: se tarkoittaa oletusta, että huijaaminen ja kaksoisnäkemisen lahja ovat poissuljettuja.
Voit tarkastella seisokkien määritelmää yleisessä tilanteessa
Esimerkkejä:
Alla olevat satunnaismuuttujat ovat seisokkeja:
- Antaa olla Markov-ketjun tila; kutsumme ensimmäisen paluun ajan ja merkitsemme alla määriteltyä satunnaismuuttujaa:j{\ displaystyle j}
j,{\ displaystyle j,}
Rj,{\ displaystyle R_ {j},}![{\ displaystyle R_ {j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af02da43f9c3bdc0fd7e5a4672ad2b4f59840910)
Rj={inf{ei>0|Xei=j}jos{ei>0|Xei=j}≠∅,+∞jos ei.{\ displaystyle R_ {j} = \ vasen \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} && {\ textrm {si}} \ quad \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} \ neq \ emptyyset, \\ + \ infty && {\ textrm {muuten.}} \ end {array}} \ right.}![R_ {j} = \ vasen \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} && {\ textrm {si} } \ quad \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} \ neq \ emptyyset, \\ + \ infty && {{textrm {muuten.}} \ end {array} } \ oikea.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82027fc0f0cd46971b13a0bde611125a1c67f90)
Siksi lopetamme pelaamisen heti saavuttaessamme valtion, mutta laskematta alkuperäistä tilaa. Jos määritelmässä korvataan sanalla , puhumme saapumisaikasta pikemminkin kuin paluuajasta .
j,{\ displaystyle j,}
{ei>0}{\ displaystyle \ {n> 0 \}}
{ei≥0}{\ displaystyle \ {n \ geq 0 \}}![{\ displaystyle \ {n \ geq 0 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb788e2be82188c34acf9faa806101ac8fd6562f)
- Samalla tavalla osa kutsuilta aika ensimmäinen merkintä vuonna ja yksi toteaa satunnaismuuttuja määritelty jäljempänä:VS{\ displaystyle C}
E,{\ displaystyle E,}
VS,{\ displaystyle C,}
TVS,{\ displaystyle T_ {C},}![{\ displaystyle T_ {C},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b70c7c6d892e11c58db6347911105e1d2d1e5f)
TVS={inf{ei≥0|Xei∈VS}jos{ei≥0|Xei∈VS}≠∅,+∞jos ei.{\ displaystyle T_ {C} = \ left \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ in C \ right \} && { \ textrm {si}} \ quad \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ in C \ right \} \ neq \ tyhjenset, \\ + \ infty && {\ textrm {muuten. }} \ end {array}} \ right.}
- Toisen paluun hetki havaitaan ja määritetään toistumisen mukaan:k{\ displaystyle k}
i,{\ displaystyle i,}
Ri(k){\ displaystyle R_ {i} ^ {(k)}}![{\ displaystyle R_ {i} ^ {(k)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113ea37aaf8048cc07a845b8ab3a7d00a3cdd237)
Ri(k)={inf{ei>Ri(k-1)|Xei=i}jos{ei>Ri(k)|Xei=i}≠∅,+∞jos ei.,{\ displaystyle R_ {i} ^ {(k)} = \ vasen \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n> R_ {i} ^ {(k-1)} \, \ vihreä \, X_ {n} = i \ oikea \} && {\ textrm {si}} \ quad \ vasen \ {n> R_ {i} ^ {(k)} \, \ green \, X_ {n} = i \ right \} \ neq \ tyhjenset, \\ + \ infty && {\ textrm {muuten.}} \ end {array}} \ right.,}
tai uudestaan sisäänkirjautumisen hetki on ta.
k{\ displaystyle k}
VS,{\ displaystyle C,}![{\ displaystyle C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64528f031cdbe1f52bdaf4ba7a8401108c0d2dc2)
Vastaesimerkki:
Sillä ja siinä asennossa voimme osoittaa, että se ei ole pysähtymisaika, mutta se toisaalta on pysähtymisaika.
i{\ displaystyle i}
j{\ displaystyle j}
E,{\ displaystyle E,}
T=inf{ei≥0|Xei=i ja Xei+1=j}.{\ displaystyle T = \ inf \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} = i {\ text {ja}} X_ {n + 1} = j \ right \}.}
T{\ displaystyle T}
T+1{\ displaystyle T + 1}![{\ displaystyle T + 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72263bf7d3a94157ac6fa2a4fe930edfc712af13)
Määritelmä ja ominaisuus - joko seisokki ja sitä kutsutaan tapahtumaksi ennen, jos:
T{\ displaystyle T \,}
AT∈AT : AT{\ displaystyle A \ paikassa {\ mathcal {A}} \: \ A \,}
T{\ displaystyle T \,}![T \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476a8389064c06ab89963a2467aef525838da0cf)
∀ei∈EI, AT∩(T=ei)∈Fei.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ qquad \ A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}
Tapahtumaryhmä, joka muodostaa kutsutun heimon alaheimo ennen ja huomasiT{\ displaystyle T \,}
AT{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
T{\ displaystyle T \,}
FT.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}.}
Tulkinta. Tiedämme, että kaikesta on olemassa osajoukko , kuten:
ei{\ displaystyle n}
Bei⊂Eei+1{\ displaystyle B_ {n} \ osajoukko E ^ {n + 1}}![{\ displaystyle B_ {n} \ osajoukko E ^ {n + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1497eafec7a48cf2dc5202d6dd4a6898c5510af2)
{T=ei}⇔{(X0,X1,...,Xei)∈Bei}.{\ displaystyle \ {T = n \} \ quad \ Lefrightarrow \ quad \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ pisteet, X_ {n}) \ B_ {n} \ oikealle \}. }
Jos tämä tarkoittaa lisäksi, että kaikelle on olemassa sellainen alajoukko , että
AT∈FT,{\ displaystyle A \ paikassa {\ mathcal {F}} _ {T},}
ei{\ displaystyle n}
D.ei⊂Bei{\ displaystyle D_ {n} \ osajoukko B_ {n}}![{\ displaystyle D_ {n} \ osajoukko B_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c346f6220102e9425b334d7e369b6818521fb9)
{AT∩{T=ei}}⇔{(X0,X1,...,Xei)∈D.ei}.{\ displaystyle \ left \ {A \ cap \ {T = n \} \ right \} \ quad \ Leftightarrow \ quad \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ pisteet, X_ {n}) \ sisään D_ {n} \ oikea \}.}
Tavallaan testataan tapahtuman esiintyminen tarkkailemalla sekvenssin käyttäytymistä ajan mittaan kielen väärinkäytöllä, sanomme joskus, että tapahtuma liittyy jaksoonAT{\ displaystyle A}
(Xk)0≤k≤ei{\ displaystyle (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}}
T :{\ displaystyle T \:}
AT{\ displaystyle A}
(X0,X1,...,XT).{\ displaystyle (X_ {0}, X_ {1}, \ pisteitä, X_ {T}).}
Vahva Markov-kiinteistö
Heikon Markov-ominaisuuden yleisessä lausunnossa "nykyinen" hetki, n , voidaan korvata satunnaisella "läsnä" -hetkellä , edellyttäen että se on pysähtymisaika :
T,{\ displaystyle T,}
T{\ displaystyle T}![T](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
Vahvat Markovin ominaisuus - Sillä pysäytyshetki on ja osa on
meillä
T{\ displaystyle T}
X,{\ displaystyle X,}
AT{\ displaystyle A}
FT,{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T},}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50867faeaef8af6f703d84cbf616f16a2d39d805)
Pμ((XT+ei)ei≥0∈B ja AT | T<+∞ ja XT=i)=Pi((Xei)ei≥0∈B)Pμ(AT | T<+∞ ja XT=i).{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ mathbb {P}} _ {\ mu} {\ Iso (} {\ iso (} X_ {T + n} {\ iso)} _ {n \ geq 0} \ muodossa B {\ text {ja}} A \ & \ vert \ T <+ \ infty {\ text {ja}} X_ {T} = i {\ Big)} \\ & = {\ mathbb {P}} _ {i} \ left (\ left (X_ {n} \ right) _ {n \ geq 0} \ in B \ right) {\ mathbb {P}} _ {\ mu} \ left (A \ \ vert \ T <+ \ infty {\ text {et}} X_ {T} = i \ right). \ end {tasattu}}}
Tämä voidaan tulkita eräänlaiseksi itsenäisyyden (itsenäisyyden ehdollinen ) välillä menneisyyden ja tulevaisuuden, ja tietää, mitä tapahtuu tällä hetkellä eli todellakin nimenomaisiksi kun saamme
AT,{\ displaystyle A,}
(XT+ei)ei≥0∈B,{\ displaystyle {\ iso (} X_ {T + n} {\ iso)} _ {n \ geq 0} \ B: ssä,}
T,{\ displaystyle T,}
T,{\ displaystyle T,}
{T<+∞ ja XT=i}.{\ displaystyle \ {T <+ \ infty {\ text {ja}} X_ {T} = i \}.}
AT=Ω,{\ displaystyle A = \ Omega,}![{\ displaystyle A = \ Omega,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563bc8779310bbeb89e03cdd04a7f9cec7477824)
Pμ((XT+ei)ei≥0∈B | T<+∞ ja XT=i)=Pi((Xei)ei≥0∈B){\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ mathbb {P}} _ {\ mu} {\ Iso (} {\ iso (} X_ {T + n} {\ iso)} _ {n \ geq 0} \ B \ \ vert \ T <+ \ infty {\ text {et}} X_ {T} = i {\ Big)} & = {\ mathbb {P}} _ {i} \ vasen (\ left (X_ { n} \ oikea) _ {n \ geq 0} \ in B \ oikea) \ end {tasattu}}}
Sitten palataan yleinen elementti on , saadaan seuraava kokoonpano:
AT{\ displaystyle A}
FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac6a6ae3e767bdc2c621f62eafc83149dfb96a2)
Ehdollinen riippumattomuus - Saat seisokkeja on ja osa on
meillä
T{\ displaystyle T}
X,{\ displaystyle X,}
AT{\ displaystyle A}
FT,{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T},}![{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50867faeaef8af6f703d84cbf616f16a2d39d805)
Pμ((XT+ei)ei≥0∈B ja AT | T<+∞ ja XT=i)=Pμ((XT+ei)ei≥0∈B | T<+∞ ja XT=i)Pμ(AT | T<+∞ ja XT=i).{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ mathbb {P}} _ {\ mu} {\ Iso (} {\ iso (} X_ {T + n} {\ iso)} _ {n \ geq 0} \ B & {\ text {ja}} A \ \ vert \ T <+ \ infty {\ text {ja}} X_ {T} = i {\ Big)} \\ & = {\ mathbb {P}} _ {\ mu} {\ Iso (} {\ iso (} X_ {T + n} {\ iso)} _ {n \ geq 0} \ B \ \ vert \ T <+ \ infty {\ text {ja} } X_ {T} = i {\ Big)} {\ mathbb {P}} _ {\ mu} \ vasen (A \ \ vert \ T <+ \ infty {\ text {ja}} X_ {T} = i \ oikea). \ end {tasattu}}}
Paluuaikojen erityistapaus
Siinä tapauksessa, että Markovin ketju on irreducible , joissa valtio on toistuva , ja jos pysähdysaikaa huomioon, on välitön ja k: nnen paluu on edellä todettiin, näemme, että vuoteen toistuminen valtioni{\ displaystyle i}
T{\ displaystyle T}
i,{\ displaystyle i,}
Rik,{\ displaystyle R_ {i} ^ {k},}
i,{\ displaystyle i,}
Pμ(T<+∞)=1,{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {\ mu} {\ Big (} T <+ \ infty {\ Big)} = 1,}
ja että määritelmän mukaan Rik,{\ displaystyle R_ {i} ^ {k},}
Pμ(XT=i)=1.{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {\ mu} {\ iso (} X_ {T} = i {\ iso)} = 1.}
Siksi vahvassa Markov-kiinteistössä esiintyvät olosuhteet ovat melkein varmoja . Kuitenkin heti, kun meillä on Täällä, se antaa sen
Pμ(VS)=1,{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {\ mu} (C) = 1,}
Pμ(D.|VS)=Pμ(D.).{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {\ mu} (D \, | \, C) = {\ mathbb {P}} _ {\ mu} (D).}![{\ displaystyle {\ mathbb {P}} _ {\ mu} (D \, | \, C) = {\ mathbb {P}} _ {\ mu} (D).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5694276fc8135b02c010b0ae701114abaec4f6)
Pμ((XT+ei)ei≥0∈B ja AT)=Pμ((XT+ei)ei≥0∈B)Pμ(AT)=Pi((Xei)ei≥0∈B)Pμ(AT).{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ mathbb {P}} _ {\ mu} {\ Iso (} {\ iso (} X_ {T + n} {\ iso)} _ {n \ geq 0} \ muodossa B {\ text {et}} A {\ Big)} & = {\ mathbb {P}} _ {\ mu} {\ iso (} {\ iso (} X_ {T + n} {\ iso)} _ {n \ geq 0} \ in B {\ Big)} {\ mathbb {P}} _ {\ mu} \ vasen (A \ oikea) \\ & = {\ mathbb {P}} _ {i} \ vasen (\ vasen (X_ {n} \ oikea) _ {n \ geq 0} \ in B \ oikea) {\ mathbb {P}} _ {\ mu} \ vasen (A \ oikea). \ loppu {tasattu} }}
Kaikille k: lle on siis ( ehdoton ) riippumattomuus tapahtumien välillä, jotka edeltävät k- toista sisäänkäyntiä, ja tapahtumien välillä, jotka seuraavat k- toista kulkua sisään. Lisäksi Markov-ketjun liikeradalla k- toisen osan jälkeen on sama laki Markov-ketjun liikeradaksi alkaen hetkestä 0: se käynnistyy uudenaikana riippumatta siitä, mitä on saattanut tapahtua aiemmin. Sitten sanotaan, että peräkkäiset paluuajat ovat uusiutumisen aikoja tai muuten regeneraation aikoja .
i{\ displaystyle i}
i.{\ displaystyle i.}
i, (XT+ei)ei≥0,{\ displaystyle i, \ (X_ {T + n}) _ {n \ geq 0},}
i{\ displaystyle i}![i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
Kahden peräkkäisen regeneraation väliset liikeradat muodostavat sitten sarjan satunnaisia muuttujia iid (paitsi ensimmäinen kappale, riippumaton, mutta mahdollisesti erilaisen lain mukainen, jos Markov-ketju ei ala hetkestä 0). Tämä johtaa todisteeseen Markov-ketjujen suurten lukujen voimakkaasta laista, joka on johdettu vahvojen suurten lakien variaateista . Se antaa myös menetelmän luottamusvälien muodostamiseksi Markov-ketjun kiinnostaville parametreille.
i{\ displaystyle i}![i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
Heikko Markov-ominaisuus (jatkuva aika, erillinen tila)
Matemaattisesti, jos X ( t ), t > 0, on stokastinen prosessi ja jos x ( t ), t > 0, on funktio, Markov-ominaisuus määritellään seuraavasti:
P[X(t+h)=y|X(s)=x(s),s≤t]=P[X(t+h)=y|X(t)=x(t)],∀h>0.{\ displaystyle \ mathrm {P} {\ iso [} X (t + h) = y \, | \, X (s) = x (s), s \ leq t {\ big]} = \ mathrm {P } {\ iso [} X (t + h) = y \, | \, X (t) = x (t) {\ iso]}, \ quad \ kaikki h> 0.}![{\ displaystyle \ mathrm {P} {\ iso [} X (t + h) = y \, | \, X (s) = x (s), s \ leq t {\ big]} = \ mathrm {P } {\ iso [} X (t + h) = y \, | \, X (t) = x (t) {\ iso]}, \ quad \ kaikki h> 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ee33cd145497752a27c00c8c1d60f5cdc74c1b)
Yleensä käytetään olettamusta homogeenisuudesta ajan kuluessa, toisin sanoen:
P[X(t+h)=y|X(t)=x(t)]=P[X(h)=y|X(0)=x(0)],∀t,h>0.{\ displaystyle \ mathrm {P} {\ iso [} X (t + h) = y \, | \, X (t) = x (t) {\ iso]} = \ mathrm {P} {\ iso [ } X (h) = y \, | \, X (0) = x (0) {\ iso]}, \ quad \ kaikki t, h> 0.}![{\ displaystyle \ mathrm {P} {\ iso [} X (t + h) = y \, | \, X (t) = x (t) {\ iso]} = \ mathrm {P} {\ iso [ } X (h) = y \, | \, X (0) = x (0) {\ iso]}, \ quad \ kaikki t, h> 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cf027cd4b001e1a5a7b53001c7976d23d5d9a2)
Joissakin tapauksissa näennäisesti ei-markovilaisella prosessilla voi silti olla markovilaisia esityksiä muuttamalla nykyisen ja tulevan valtion käsitettä . Olkoon X on ajan välein , ja Y menetelmää siten, että kukin tila Y edustaa aikaväli X :
Y(t)={X(s):s∈[klo(t),b(t)]}.{\ displaystyle Y (t) = {\ iso \ {} X (s): s \ sisään [a (t), b (t)] \, {\ iso \}}.}![{\ displaystyle Y (t) = {\ iso \ {} X (s): s \ sisään [a (t), b (t)] \, {\ iso \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d6e381d59b76a48ff453d6a16129ba7f2fd239)
Jos Y on Markovian, niin X: n ja X: n Markovian-edustusta kutsutaan sitten toisen asteen Markov-prosessiksi. Korkeamman asteen prosessit määritellään samalla tavalla.
Chapman-Kolmogorov-Smoluchowski-yhtälö
Se on kiinteä yhtälö, joka varmistaa prosessin johdonmukaisuuden:
s(x3,t3|x1,t1)=∫s(x3,t3|x2,t2)s(x2,t2|x1,t1)dx2t3>t2>t1{\ displaystyle p (x_ {3}, t_ {3} | x_ {1}, t_ {1}) = \ int p (x_ {3}, t_ {3} | x_ {2}, t_ {2}) p (x_ {2}, t_ {2} | x_ {1}, t_ {1}) dx_ {2} \ quad t_ {3}> t_ {2}> t_ {1}}![{\ displaystyle p (x_ {3}, t_ {3} | x_ {1}, t_ {1}) = \ int p (x_ {3}, t_ {3} | x_ {2}, t_ {2}) p (x_ {2}, t_ {2} | x_ {1}, t_ {1}) dx_ {2} \ quad t_ {3}> t_ {2}> t_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcea279c750b984ff4df14b018f183cd6b27a909)
.
Se muuttuu osittaiseksi differentiaaliyhtälöksi, jota on helpompi käsitellä ja joka saa Fokker-Planckin yhtälön nimen .
Viitteet
- Norris, J.: Markov-ketjut .
- (en) YK Lin , rakennedynamiikan todennäköisyysteoria , New York, Robert E.Krieger Publishing Company,Heinäkuu 1976, 368 Sivumäärä ( ISBN 0882753770 )
- Philippe A. Martin, Johdatus fysiikan stokastisiin prosesseihin
- Ch. Ancey, stokastiset simulaatiot - Sovellukset geofysikaalisiin virtauksiin ja turbulenssiin
Katso myös
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">