Segmentti (matematiikka)

On geometria , linja segmentti (lyhennetään usein ”  segmentti  ”) on osa, joka linja rajoittaa kaksi pistettä , jota kutsutaan päiden segmentin. Segmentti, joka yhdistää kaksi pistettä ja jota merkitään tai edustaa linjan osaa, joka sijaitsee "pisteiden" ja "välillä" . Intuitiivisesti segmentti vastaa kahden pisteen väliin venytettyä lankaa, jättäen huomiotta langan paksuuden ja sen painosta johtuvan muodonmuutoksen.

Muodostus afiinisen geometrian yhteydessä

Reaalilukujen kentän geometrisen affinin puitteissa segmentti voi saada tarkan määritelmän:

Määritelmä  -  Segmentti on joukko barycentereitä, joiden positiiviset tai nollakertoimet ovat ja .

Tässä määritelmässä oletetaan, että ja ovat saman affiniaalisen avaruuden (äärellisen tai äärettömän ulottuvuuden ja joka voi olla myös vektoriavaruus ) elementtejä reaalilukujen kentällä .

Barycenter ei muutu, kun kaikki kertoimet kerrotaan samalla nollasta poikkeavalla vakiolla, päätämme tästä huomautuksesta välittömästi seuraavan lauseen:

Ehdotus  -  Segmentti on myös joukko barycentereitä , joilla on paino ja joka on varustettu painolla , kun ne kulkevat .

Kun työskentelet vektoritilassa, tämä huomautus antaa hyödyllisen kuvauksen segmentistä , nimittäin:

Jos affiininen tila on topologinen ja erotettu (Hausdorffin mielessä), segmentti on kompakti , koska kuva kompaktista on jatkuvan kartan avulla .

Voisimme kääntää segmenttien rajat; Näin se on aivan hyvin kirjoittaa esimerkiksi varten . On kuitenkin epäselvyyttä tapauksessa  : jos segmenttien ja ovat yhtä affiini mielessä, ne eivät ole niin väliajoin , koska on tyhjä intervalli (char ).

Segmentit euklidisessa geometriassa

Mukaan euklidinen geometria , segmentti sijoitetaan euklidinen avaruus - tämä voi erityisesti olla tasossa tai tila on kolmiulotteisesti varustettu etäisyys tuttu välillä pisteiden .

Anna ja mahdolliset pisteet . Segmentti on sitten joukko pisteitä, joissa kolmion epätasa-arvosta tulee tasa-arvo, jonka voimme kirjoittaa:

Ehdotus  -  Kun euklidinen avaruus , .

Segmentit hyperbolisessa geometriassa

On hyperbolinen geometria , voimme samalla tavalla on sama intuitiivinen käsite ”segmentti” välillä ja edustaa osaa hyperbolinen viiva sijaitsee ”välissä” nämä kaksi pistettä, joka sijaitsee hyperbolisen tasossa (tai itse asiassa on hyperbolinen tilaan minkä tahansa ulottuvuuden).

Toisaalta, kun kirjoitamme tarkempaa määritelmää, meillä ei ole samanlaista käsitettä kuin barycenters, ja meidän on pakko valita toinen polku. On tietysti useita tapoja tehdä tämä riippuen siitä, olemmeko valinneet suosia hyperbolisen avaruuden topologista rakennetta vai sen metrisen avaruuden rakennetta vai geodeettista käsitettä . Tässä on yksi:

Määritelmä  -  varten ja kaksi pistettä hyperbolinen tilaa, segmentti on saatu liittämällä ja siihen liitetyn komponenttien joka on suhteellisen pienikokoinen , että hyperbolisen tilaan.

Edellä euklidisen geometrian metrinen karakterisointi pätee myös hyperbolisessa geometriassa.

Segmentit järjestettyjen sarjojen yhteydessä

Alkuperäisen segmentin käsite

Voimme määritellä alkusegmentin , joskus lyhennettynä segmenttinä , järjestetyn joukon ”alkuun”. Tämä käsite on hyödyllinen ordinaalien käsittelyssä tai reaalien kentän ja Dedekind-leikkauksilla täydennetyn real reaalilinjan rakentamiseksi tai yleisemmin kokonaan järjestetyn joukon täydellisen ( tilaussuhteen ) valmistamiseksi.

Yleistäminen missä tahansa järjestetyssä kentässä

Jotta teoria , me korvata käsite segmentin että on rajaamalla suljetulla välillä määritelmässä on konveksi joukko . Tämä määritelmä on kuitenkin ristiriidassa tietyn määrän kuperien joukkojen "klassisten" lauseiden kanssa: esimerkiksi kuperuus ei tarkoita kytkentää ( on kupera, mutta ei kytketty).

Yleistyminen affiinisessa tilassa minkä tahansa tilatun kentän päällä

Voimme myös yleistää käsityksen todellisesta affiinisesta avaruudesta affiinisen tilan käsitteeseen missä tahansa järjestetyssä kentässä. Tässä tapauksessa segmentti on edelleen joukko barycenters on ja jolla on positiivinen tai nolla-kertoimia.

Kuitenkin, kuten missä tahansa järjestetyssä kentässä, topologian tai geometrian klassiset lauseet eivät välttämättä sovi: kupera joukko ei välttämättä ole yhteydessä toisiinsa (voimme ajatella n mille tahansa n: lle ).

Viitteet

  1. Marc Troyanov , Geometry tietenkin , Lausanne / Pariisi, pPUR , Coll.  "Moniste EPFL: ltä  ",2009, 358  Sivumäärä ( ISBN  978-2-88074-817-3 , luettu verkossa ) , s.  5.
  2. Dany-Jack Mercier, geometriakurssi: valmistelu viittauksille ja yhdistäminen , Publibook ,2005, 498  Sivumäärä ( ISBN  978-2-7483-0556-2 , lue verkossa ) , s.  41.
  3. Claude Delode geometriassa ja affiinissa Euclidean , Dunod, 2002 ( ISBN  2100046438 ) , s.  7 käyttää tätä määritelmää.
  4. Claude Delode, op. cit. toteaa tämän ehdotuksen vaihtoehtoisen määritelmän muodossa, s.  223 .
  5. Tämä lausunto on saatavana esimerkiksi Homeomath-sivustolta (tutulle euklidiselle tasolle).
  6. Tämän valitsi (sisään) Alan F.Beardon, The Discometry of Discrete Groups , Springer-Verlag , al.  "  GTM  " ( n o  91)2012( 1 st  toim. 1983), 340  s. ( ISBN  978-1-4612-1146-4 , luettu verkossa ) , s.  135 (se annetaan siellä tasogeometrian yhteydessä).
  7. Tämä on Beardon 2012: n lause 7.3.2 , s.  135.
  8. Aviva Szpirglas, matematiikan L3-algebra , Pearson ,2009[ yksityiskohdat painoksista ] ( lue verkossa ) , luku .  1 (“Sarjat”), s.  9, II.4. Segmentit.
  9. tai osittain, mutta tässä tapauksessa suosimme Dedekindin - MacNeille  ( fr ) valmistumista
  10. M. Eytan , "  Koveruus järjestetyissä sarjoissa  ", Matematiikka ja humanistiset tieteet , t.  30,1970, s.  35–42 ( lue verkossa ).
  11. Bernard Le Stum, "  Algebran ja geometrian täydennykset yhdistämistä varten  " ,7. helmikuuta 2003.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">