Tasauspyörästö
Ero järjestelmä on joukko , joka on kytketty differentiaali yhtälöt, että on, differentiaaliyhtälöt, joita ei voida ratkaista erikseen.
Nämä ovat yleensä tavallisia differentiaaliyhtälöitä , mutta osittaisten differentiaaliyhtälöiden sarjaa voidaan kutsua myös differentiaalijärjestelmäksi.
Esimerkkejä
Yhdistetyt differentiaaliyhtälöt
Lorenz-järjestelmä :
{dxdt=σ[(y(t)-x(t)]dydt=ρx(t)-y(t)-x(t)z(t)dzdt=x(t)y(t)-βz(t){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = \ sigma \, [(y (t) -x (t) ] \\ {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} & = \ rho \, x (t) -y (t) -x (t) \, z (t) \ \ {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} & = x (t) \, y (t) - \ beta \, z (t) \ loppu {tasattu}} \ oikea .}Tämä vain kolme vapausastetta on yksinkertaistettu Navier-Stokes -yhtälöitä (katso alla), jota voidaan soveltaa Rayleigh-Bénardiin kriittisen arvon ( ) yläpuolella oleville Rayleigh-numeroille . Se on yksi yksinkertaisimmista differentiaalijärjestelmistä, joka johtaa kaoottiseen käyttäytymiseen (samoin kuin jaksottaisiin liikeradoihin).
ρ=Rklo/Rklovs.{\ displaystyle \ rho = \ mathrm {Ra / Ra_ {c}}}
Yhdistetyt osittaiset differentiaaliyhtälöt
Navier-Stokes-yhtälöt :
{∂∂t(ρu)+∇⋅(ρu⊗u)=-∇⋅sMinä+∇⋅τ+ρgρ(∂u∂t+u⋅∇u)=-∇s¯+μ∇2u+13mu∇(∇⋅u)+ρg{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {tasattu} {\ frac {\ partitali {{osittainen t}} (\ rho \, \ mathbf {u}) + \ nabla \ cdot (\ rho \, \ mathbf { u} \ otimes \ mathbf {u}) & = - \ nabla \ cdot p \, \ mathbf {I} + \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ tau}} + \ rho \, mathbf {g} \\ \ rho \ left ({\ frac {\ partituali \ mathbf {u}} {\ ositettu t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} \ oikea) & = - \ nabla {\ palkki { p}} + \ mu \, \ nabla ^ {2} \ mathbf {u} + {\ tfrac {1} {3}} mu \, \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {u}) + \ rho \ mathbf {g} \ end {tasattu}} \ oikea.}missä määrät ja jotka liittyvät erilaisten suhteiden avulla.
s{\ displaystyle p}τ{\ displaystyle {\ lihavoitu symboli {\ tau}}}u{\ displaystyle \ mathbf {u}}
Navier-Stokes-yhtälöt kuvaavat Newtonin nesteiden liikettä ja muodostavat nestedynamiikan sydämen .
Differentiaalijärjestelmä vs. yksi differentiaaliyhtälö
Eriyhtälöjärjestelmän ratkaisu voidaan supistaa yhden, korkeamman asteen differentiaaliyhtälön ratkaisemiseen. Vuonna Lorenz järjestelmässä esimerkiksi (katso edellä), voidaan käyttää 1 s yhtälö esittää funktiona ja , ja raportoi tuloksen kahden muun yhtälöt. Voimme sitten poimia päässä 2 toinen yhtälö ilmaista sen funktiona , ja , ja raportoi tuloksen 3 rd ja viimeinen yhtälö. Yksi suhde on näin saatu välillä , , ja , toisin sanoen järjestyksessä differentiaaliyhtälö 3.
y(t){\ displaystyle y (t)}x(t){\ displaystyle x (t)}dxdt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}z(t){\ displaystyle z (t)}x(t){\ displaystyle x (t)}dxdt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}d2xdt2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}x(t){\ displaystyle x (t)}dxdt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}d2xdt2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}d3xdt3{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} x} {\ mathrm {d} t ^ {3}}}}
Vastaavasti voimme muuntaa järjestyksen n differentiaaliyhtälön kertaluokan 1 ja ulottuvuuden n differentiaalijärjestelmäksi (ts. Joukoksi n kytkettyä differentiaaliyhtälöä, kukin järjestyksessä 1).
Erikoistapaukset
Lineaariset tasauspyörästöjärjestelmät
Lineaarinen differentiaalijärjestelmä koostuu lineaarisista differentiaaliyhtälöistä (lineaarisuus liittyy tuntemattomiin funktioihin ja niiden johdannaisiin).
Järjestysluokan 1 ja ulottuvuuden differentiaalijärjestelmä vastaa ainutlaatuista järjestyseroja ja päinvastoin. Yleisemmin voidaan sanoa, että mikä tahansa lineaaristen differentiaaliyhtälöiden järjestelmä (minkä tahansa kokoinen) (missä tahansa järjestyksessä) voidaan kirjoittaa järjestyksen 1 lineaarisena differentiaalijärjestelmänä, joka voidaan sijoittaa kanoniseen muotoon:
ei{\ displaystyle n}ei{\ displaystyle n}
dxdt=L(t)⋅x(t){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {L} (t) \ cdot \ mathbf {x} (t)}jossa on pystyvektori kerääminen toiminnot ovat tuntemattomia ja neliömatriisi , jonka elementit ovat tunnettuja toimintoja muuttujan . Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos lisätään lisäehtoja, yleensä alkuehtojen muodossa :
x(t){\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}ei{\ displaystyle n}x1(t),x2(t),...,xei(t){\ displaystyle x_ {1} (t), x_ {2} (t), \ ldots, x_ {n} (t)}L(t){\ displaystyle \ mathbf {L} (t)}t{\ displaystyle t}ei{\ displaystyle n}
x(t0)=x0{\ displaystyle \ mathbf {x} (t_ {0}) = \ mathbf {x} _ {0}}missä on tietty hetki ("alkukirjain") ja vakioiden sarake .
t0{\ displaystyle t_ {0}}x0{\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}ei{\ displaystyle n}
Kuten kaikilla järjestysluokan 1 järjestelmillä, joilla on alkuehdot, yllä olevalla järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Voimme selittää sen, kun matriisi kertoimien, matkoja sen johdannaisen :
L(t){\ displaystyle \ mathbf {L} (t)}dL/dt{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {L} / \ mathrm {d} t}
x(t)=exp(∫t0tL(τ)dτ)⋅x0{\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = \ exp \ left (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} \ mathbf {L} (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau \ oikea ) \ cdot \ mathbf {x} _ {0}}missä osoittaa matriisin eksponentiooperaattorin . Yleisesti voidaan tietää, miten ratkaisu ilmaistaan vain sarjakuvan muodossa .
exp{\ displaystyle \ exp}
Autonomiset tasauspyörästöt
Kun puhumme autonomisista järjestelmistä, muuttuja on yleensä aika t . Differentiaalinen järjestelmä sanotaan olevan itsenäinen , jos sen yhtälöt eivät sisällä mitään funktio t muut kuin toiminnot ovat tuntemattomia ja niiden johdannaiset ( autonominen differentiaaliyhtälöiden ).
Tämä on erityisesti tapauksessa Lorenz järjestelmän yläpuolella ja Navier-Stokesin yhtälöt, jos parametrit ( , , jne. ) Ja reunaehdot eivät eksplisiittisesti riipu ajasta.
ρ{\ displaystyle \ rho}g→{\ displaystyle {\ vec {g}}}
Autonomisen järjestelmän erityispiirre on, että ratkaisuratkaisun minkä tahansa pisteen kautta se kulkee yhden ja vain yhden polun. Esimerkiksi Lorenz-järjestelmän tapauksessa minkä tahansa pisteen A (koordinaatit ) kautta se kulkee yhden liikeradan (valinnan mukaan lähellä aikojen alkuperää).
xAT,yAT,zAT{\ displaystyle x _ {\ mathrm {A}}, y _ {\ mathrm {A}}, z _ {\ mathrm {A}}}{x(t),y(t),z(t)}{\ displaystyle \ {x (t), y (t), z (t) \}}
Vastavuoroinen
Havaitut aikasarjat on mahdollista jäljittää tietyssä määrin niiden luoneeseen autonomiseen järjestelmään, jos se on polynomi ja riittävän tiivis (enintään 9 termiä ). Menetelmä, joka on testattu 28 teoreettisessa tapauksessa, joissa on enintään 5 muuttujaa , on suhteellisen kestävä melulle .
Huomautuksia ja viitteitä
Huomautuksia
-
Tämä pätee erityisesti silloin, kun vakio matriisi ( ) tai verrannollinen vakiomatriisiin ( ), tai vaikka se onkin diagonaalinen .L(t){\ displaystyle \ mathbf {L} (t)}L(t)=L0{\ displaystyle \ mathbf {L} (t) = \ mathbf {L} _ {0}}L(t)=L0f(t){\ displaystyle \ mathbf {L} (t) = \ mathbf {L} _ {0} f (t)}
-
Sen varmistamiseksi, että tämä ilmaisu on (jäljempänä) liuokseen, jossa ero järjestelmän ja alkuehdot edellä, lasketaan yksinkertaisesti soveltamalla määritelmä matriisin eksponentiaalinen : .dxdt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x}} {\ mathrm {d} t}}}eAT=Minä+AT+AT22+⋯+ATeiei!+⋯{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {A} = I + A + {\ frac {A ^ {2}} {2}} + \ cdots + {\ frac {A ^ {n}} {n!}} + \ cdots}
-
Tunnetaan suljettu analyyttinen ratkaisu joissakin harvoissa tapauksissa, joissa ei vaihdeta johdannaisensa kanssa, etenkin kolmion matriisin kanssa .L(t){\ displaystyle \ mathbf {L} (t)}
Viitteet
-
(in) Ariel Provost, Cecile Buisson ja Olivier Merle, " progressiivisesta rajoitettuun muodonmuutos ja takaisin " , Journal of Geophysical Research: Kiinteän maan , Vol. 109, n ° B2,Helmikuu 2004, s. 1-11, artikkeli n o B02405 ( DOI 10,1029 / 2001JB001734 , lukea verkossa , pääsee 10 kesäkuu 2018 ).
-
Daniel Pham, Techniques du Calcul Matriciel , Pariisi, Dunod ,1962, 387 Sivumäärä , s. 232-235.
-
" Onko mahdollista löytää yhtälöitä, jotka ohjaavat ympäristöjärjestelmän dynamiikkaa yksinomaan mittaussarjoista?" » , INSU: lla ,1. st maaliskuu 2019(käytetty 7. maaliskuuta 2019 ) .
-
(in) Sylvain Mangiarotti ja Mireille Huc, " Voi alkuperäinen yhtälöt dynaaminen systeemi noutaa havaintoihin aikasarja? » , Chaos (in) , voi. 29,25. helmikuuta 2019, s. 1-13, kohta n o 023 133 ( DOI 10,1063 / 1,5081448 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">