Sijoituslause

Vuonna matematiikassa , tarkemmin sanoen lineaarialgebra The sijoitus lauseen yhdistää listalla on lineaarisen kartan ja ulottuvuus sen ydin . Se on luonnollinen seuraus , joka isomorfismi lauseen . Se voidaan tulkita lineaarisen sovellusindeksin käsitteellä .

Äärellisessä ulottuvuudessa se mahdollistaa erityisesti lineaarisen kartan tai matriisin käänteiskyvyn luonnehtimisen sen sijainnin perusteella.

Sijoituslause

Sijoituslause  -  Olkoon E ja F kaksi vektoriruutua (äärellisen tai äärettömän kokoisia) kentän K yli ja olkoon f ∈ L ( E , F ) lineaarinen kartta. Niin

rgf+dimker⁡f=dimE{\ displaystyle {\ rm {rg}} f + {\ rm {himmeä,}} \ ker f = {\ rm {himmeinen} \, E}

jossa rg f merkitsee ulottuvuutta kuva on f .

Tämä lause johtuu välittömästi siitä tosiasiasta, että minkä tahansa E: n vektorialatilan V kohdalla meillä on himmeä E = himmeä E / V + himmeä V, ja faktorointilauseesta , jonka mukaan E / ker ( f ) on isomorfinen im: n ( f ) kanssa.

Demonstraatio, työläämpi mutta joka määrittää tuloksena muodostuu tarkistaa, että niiden perusteella ( u s ) s ∈ S ytimen ja niiden perusteella ( f ( u t )) t ∈ T kuvan - indeksoidaan sarjoiksi S ja T disjoint -, ( u r ) r ∈ S ⋃ T on E  : n perusta :

• tämä perhe on generaattori, sillä mikä tahansa vektori, x , toteamalla x t koordinaatit f ( x ) pohjassa kuvan, ja x : n kuin x - Σ x t u t pohjassa ytimen, saadaan x = ∑ x r u r  ;
• se on vapaa: jos lineaarinen yhdistelmä ∑ x r u r on nolla, kuvan ottaminen f: llä , 0 + ∑ t ∈ T x t f ( u t ) = 0, siis f ( u t ) x: n riippumattomuudesta t ovat nolla, joten aloitushypoteesi yksinkertaistuu arvoksi ∑ s ∈ S x s u s = 0, josta johtopäätöksenä u: n riippumattomuudella olemme , että myös x s ovat nollia.

Soveltaminen isomorfismien karakterisointiin

Kun vektorivälit E ja F ovat rajallisia ja niillä on sama ulottuvuus n , sijoituslause antaa mahdollisuuden määrittää vastaavuus seuraavien ominaisuuksien välillä:

1. Kartan f on isomorfismi välillä E ja F ;
2. kartta f on surjektiivinen  ;
3. sovellus f on injektio  ;
4. f: n sijoitus on yhtä suuri kuin n .

Endomorfismien erityistapaus

Olkoon f itsessään äärellisen ulotteisen vektoritilan E lineaarinen kartta . Kuten aiemmin, meillä on suhde:

dimimf+dimker⁡f=rg(f)+dimker⁡f=Aurinko⁡E{\ displaystyle \ mathrm {dim \, im} f + \ mathrm {dim \,} \ ker f = \ mathrm {rg} (f) + \ mathrm {dim \,} \ ker f = \ dim E \,}

josta päätellään, että im f ja ker f ovat ylimääräisiä vain ja vain, jos niiden leikkauspiste on pienennetty nollavektoriin.

Matriisikotelo

Sijoituslause voidaan kirjoittaa matriiseille . Jos A on matriisi ( m , n ) kentän K päällä , niin

rgAT+dim(ker⁡U)=ei{\ displaystyle {\ rm {rg}} A + {\ rm {himmeä,}} (\ ker U) = n}

jossa U on lineaarinen kartoitus K n on K m kanonisesti liittyvät matriisin .

Jotkut määrittelevät matriisin ytimen seuraavasti:

ker⁡AT: ={X∈Mei,1(K)∣ATX=0}{\ displaystyle \ ker A: = \ {X \ muodossa {\ mathcal {M}} _ {n, 1} (K) \ keski AX = 0 \}}

joka on alatila, jolla on sama ulottuvuus kuin ker U: lla . Mei,1(K){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n, 1} (K)}

Sitten kirjoitetaan sijoituslause

rgAT+dim(ker⁡AT)=ei{\ displaystyle {\ rm {rg}} \, A + {\ rm {dim}} (\ ker A) = n}

Muut formulaatiot ja yleistykset

Yleistykset

Tämä lause on algebran ensimmäisen isomorfismilauseen erityinen muoto vektoriavaruuksien tapauksessa.

Nykyaikaisemmalla kielellä lause voidaan sanoa seuraavasti: jos

0→D.→E→F→0{\ displaystyle 0 \ rightarrow D \ rightarrow E \ rightarrow F \ rightarrow 0}

on sitten lyhyt tarkka vektorisekvenssisekvenssi

dim(D.)+dim(F)=dim(E).{\ displaystyle {\ rm {dim}} (D) + {\ rm {dim}} (F) = {\ rm {dim}} (E).}

Tässä F on im f: n ja D : n ker f: n rooli .

Tämä formulaatio voidaan yleistää tarkalle määrittelemättömän pituiselle sekvenssille (mahdollisesti ääretön): jos

...→Eei-1→Eei→Eei+1→...{\ displaystyle \ ldots \ to E_ {n-1} \ to E_ {n} \ to E_ {n + 1} \ to \ ldots}

on tarkka vektoritilojen sekvenssi

∑ei tähyilläAurinko⁡(Eei)=∑ei outoAurinko⁡(Eei),{\ displaystyle \ sum _ {n {\ text {even}}} \ himmeä (E_ {n}) = \ summa _ {n {\ text {outoa}}} \ himmeä (E_ {n}),}

joka, kun vain ei-nolla E n ovat sellaisia, että p ≤ n ≤ q ja ovat kooltaan äärellisenä, kirjoitetaan uudelleen:

∑ei=sq(-1)eiAurinko⁡(Eei)=0.{\ displaystyle \ summa _ {n = p} ^ {q} (- 1) ^ {n} \ himmeä (E_ {n}) = 0.}

Merkitään mukaan f n morfismi välillä E n ja E n + 1 tässä järjestyksessä. Siksi meillä on sijoituslauseen mukaan (voimassa jopa äärettömille ulottuvuuksille):

Aurinko⁡(Eei)=Aurinko⁡(ker⁡fei)+Aurinko⁡(imfei){\ displaystyle \ dim (E_ {n}) = \ dim (\ ker f_ {n}) + \ dim ({\ rm {im}} f_ {n})}

ja tarkkuuden vuoksi:

imfei=ker⁡fei+1.{\ displaystyle {\ rm {im}} f_ {n} = \ ker f_ {n + 1}.}

Voimme päätellä:

∑ei tähyilläAurinko⁡(Eei)=∑ei tähyilläAurinko⁡(ker⁡fei)+∑ei tähyilläAurinko⁡(imfei)=∑ei tähyilläAurinko⁡(imfei-1)+∑ei tähyilläAurinko⁡(ker⁡fei+1)=∑ei outoAurinko⁡(imfei)+∑ei outoAurinko⁡(ker⁡fei)=∑ei outoAurinko⁡(Eei).{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ summa _ {n {\ teksti {pari}}} \ himmeä (E_ {n}) & = \ summa _ {n {\ teksti {pari}}} \ himmeä (\ ker f_ {n}) + \ summa _ {n {\ teksti {pari}}} \ himmeä ({\ rm {im}} f_ {n}) \\ & = \ summa _ {n {\ teksti {pari}} } \ himmeä ({\ rm {im}} f_ {n-1}) + \ summa _ {n {\ teksti {pari}}} \ himmeä (\ ker f_ {n + 1}) \\ & = \ summa _ {n {\ text {outoa}}} \ himmeä ({\ rm {im}} f_ {n}) + \ summa _ {n {\ text {pariton}}} \ himmeä (\ ker f_ {n}) \\ & = \ summa _ {n {\ teksti {outoa}}} \ himmeä (E_ {n}). \ loppu {tasattu}}}

Tulkinta indeksin käsitteellä

Äärellisten ulottuvuuksien vektoritilojen sijoituslause voidaan muotoilla myös lineaarisen karttaindeksin avulla . Indeksi lineaarisen kartan f välillä E ja F , joissa E ja F ovat rajalliset kolmiulotteinen vektori tilat, määritellään

ieidivs.ef=dim(ker⁡f)-dim(vs.okerf){\ displaystyle {\ rm {index}} f = {\ rm {dim}} (\ ker f) - {\ rm {dim}} ({\ rm {coker}} f)}

Intuitiivisesti dim (ker f ) on yhtälön f ( x ) = 0 itsenäisten ratkaisujen x määrä ja dim (coker f ) on y ∈ F: n itsenäisten rajoitusten määrä yhtälön f ( x ) = y muodostamiseksi ratkaistavissa. Äärellisten ulottuvuuksien vektoritilojen sijoituslause on sama kuin ehdotus

ieidivs.ef=dim(E)-dim(F){\ displaystyle {\ rm {index}} f = {\ rm {dim}} (E) - {\ rm {dim}} (F)}

Tämä tarkoittaa, että indeksi on riippumaton funktiosta f, joka on valittu L: ssä ( E , F ). Tämän tuloksen yleistää Atiyah-Singer- indeksilause , joka väittää, että tiettyjen differentiaalioperaattoreiden indeksi voidaan saada mukana olevien tilojen geometriasta.

Huomautuksia ja viitteitä

1. (en) Serge Lang , Algebra , 1965 [ yksityiskohdat painoksista ] , Lause 4 , s. 87.
2. N.Bourbaki , Algebra , s. A-II-101, ehdotus 9.
3. Tätä tarkkuutta käytetään artikkelissa Nilpotent Endomorphism .
4. Lucien Chambadal ja Jean-Louis Ovaert , "Lineaarinen ja monirivinen algebra" , julkaisussa Matematiikan sanakirja , Algebra, analyysi, geometria , Albin Michel & Encyclopædia Universalis ,2002, 924  Sivumäärä ( ISBN  2-226-09423-7 ) , s.  637-638.
5. Roger Godement , Cours d'Algebre , 1966, s. 250, seuraus 1.