Picardin lauseet

On monimutkainen analyysi , lauseet Picard , matemaatikko Émile Picard , lukumäärä on kaksi:

Pieni lause Picard sanoi, että koko toiminto ei vakioksi joka kompleksiluku arvoon, paitsi ehkä joitakin monimutkaisia numero.

Suuri lause, Picard sanoi, että holomorfinen funktio , jolla on olennainen singulariteetti kestää jokaisella alueella tämän singulariteetti, mikä tahansa kompleksiluku lukemattomia kertoja arvona, paitsi ehkä joitakin monimutkaisia numero.

Huomautukset

Näiden lausekkeiden "paitsi yksi" on välttämätön, kuten seuraavat esimerkit osoittavat. Koko toiminto ( monimutkainen eksponentiaalinen ) ei häviä. Sillä on jopa olennainen singulariteetti äärettömyydessä (se on transsendenttinen toiminto ). Funktio on esimerkki ei-peruuttavasta toiminnosta, jolla on rajoitettu olennainen singulariteetti (pisteessä ). ${\ displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {z}}$ ${\ displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {1 / z}}$ ${\ displaystyle 0}$
Polynomifunktioiden tapaus on suora seuraus d'Alembert-Gaussin lauseesta .
Pieni lause voidaan päätellä välittömästi suuresta, koska mikä tahansa koko funktio on joko polynomi tai sillä on olennainen singulariteetti äärettömyydessä.
Picardin suuri lause yleistää Weierstrass-Casorati-lauseen .

B. Elsnerin äskettäinen oletus liittyy Picardin suureen lauseeseen: anna avautua kytkettynä, joka kohtaa tylpän yksikön levyn . Jokaisena auki , anna injective holomorfinen funktio, kuten kaikissa risteyksissä . Sitten nämä differentiaalit tarttuvat yhteen meromorfisessa 1-muodossa levyllä . (Jos jäännös on nolla, oletus seuraa Picardin suuresta lauseesta.) ${\ displaystyle U_ {1}, U_ {2}, \ pisteet, U_ {n}}$ ${\ displaystyle D \ setminus \ {0 \}}$ $U_ {j}$ $f_ {j}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} f_ {j} = \ mathrm {d} f_ {k}}$ $U_ {j} \ korkki U_ {k}$ $D.$

Merkintä

(sisään) Serge Lang , Complex Analysis , voi. 103, Springer Verlag , kokoonpano " Matematiikan valmistuneet tekstit ",1985, 2 nd ed. , 367 Sivumäärä ( ISBN 978-1-4757-1871-3 , luettu verkossa ) , s. 343
s. 330 (en) Bernhard Elsner, " Hyperelliptisen toiminnan integraali " , Annales de Institut Fourier , voi. 49, n o 1,1999, s. 303-331 ( lue verkossa ).

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Landaun lause , yleistämällä Picardin ”pieni” lause