Kuvaava joukko-teoria

Kuvaileva joukko-oppi on haara matematiikan koskee sarjaa "määriteltävissä". Sen päätavoitteena on luokitella nämä joukot monimutkaisuuden mukaan. Sillä on monia yhteyksiä joukko-teoriaan ja sovelluksia monilla aloilla.

Kuvaavan joukko-teorian alkuperä

Historiallisesti ensimmäinen kysymyksiin kuvaava joukko-opin nousi jälkeen havaittu virhe, jonka Mikhail Souslin ( fr ) onLokakuu 1916Lebesgue- mielenosoituksessa .

Hän halusi näyttää seuraavan tuloksen: jos Borelian on sellainen , että mistä tahansa todellisesta on olemassa ainutlaatuinen todellinen sellainen, että sitten funktio, joka yhdistää ce: n, on Borelian. ${\ displaystyle \ scriptstyle f ~: ~ \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ $x$ $y$ $f (x, y) = 0$ $x$ $y$

Väärä askel Lebesgue-todisteessa oli väittää, että Borelianin projektio on Borelian, mikä ei aina pidä paikkaansa. Souslin ymmärsi ja kutsui sitä projektioita Borelin sarjaa sarjaa analyyttisen (in) .

Standardointi

Sitten kiinnostui käsite standardointi: annetaan osajoukko koneen , voimme löytää funktio "riittävän tavallisia" jotka kaikki määritelmä on ja , ? $AT$ $\ käsikirjoitus X \ kertaa Y$ ${\ displaystyle \ pi _ {X} (A)}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in \ pi _ {X} (A)}$ ${\ displaystyle (x, f (x)) \ kohteessa A}$

Vastaus on ei, jopa suunnitelman suljetuille. Kuitenkin monet olosuhteet löydettiin alussa XX th -luvun (esimerkiksi, joko laskettavissa kohta). $AT$

Monimutkaisuus

Se pyrkii myös löytämään selvän määriteltävien joukkojen hierarkian (tästä syystä kuvaavan joukko-teorian nimi), nämä kysymykset liittyvät peliteoriaan ( erottelupeli , peli Banach-Mazur (in) ) ...

Tehokas kuvaileva teoria

Jälkeen toisen maailmansodan, on erittäin tärkeä haara myös kehittänyt: tehokasta kuvaileva teoria sarjoiksi. Turingin työn kannustamana herätti kysymys määriteltävistä sarjoista "tietokoneelle". Päätämme hierarkian, joka on yhtä rikas kuin klassisen teorian, ja tämä lähestymistapa on mahdollistanut lukuisten tulosten osoittamisen.

Huomautuksia ja viitteitä

Souslin, vielä opiskelija, paljastaa tästä virheestä opettajaansa Nikolai Louzine läsnäollessa Wacław Sierpiński . Katso: Jean-Michel Kantor, Loren Graham, Äärettömän nimissä, todellinen tarina uskonnollisesta mystiikasta ja matemaattisesta luomisesta, sivut 146 ja seuraavat
Srivastava, Borel- sarjoiden kurssi .
Kechris, Klassisen kuvaavan sarjan teoria , kappale. 21.

Aiheeseen liittyvät artikkelit