Ehrenfestin lause

Ehrenfestin teoreema , nimetty fyysikko Paul Ehrenfestin yhdistää aikaderivaatta keskiarvon , joka operaattorin kvantti on siirtyä operaattorin kanssa Hamiltonin järjestelmä. Tämä lause koskee erityisesti kaikkia järjestelmiä, jotka tarkistavat kirjeenvaihdon periaatteen . H^{\ displaystyle {\ hattu {H}}}

Lause

Ehrenfestin lauseessa todetaan, että operaattorin keskiarvon aikajohdannainen (jossa operaattori, joka palauttaa kyseisen havaittavan ajan johdannaisen) saadaan seuraavasti: AT^{\ displaystyle {\ hattu {A}}}

d⟨AT^⟩dt=⟨∂AT^∂t⟩+1iℏ⟨[AT^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ osittainen {\ hat {A}}} {\ part t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ right \ rangle}

missä on mikä tahansa kvanttioperaattori ja sen keskiarvo. AT^{\ displaystyle {\ hattu {A}}}⟨AT^⟩{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle}

Operaattorin ajallinen riippuvuus eikä aaltofunktio on ominaista Heisenbergin kvanttimekaniikan esitykselle . Löydämme analogisen suhteen klassisessa mekaniikassa: vaihetilassa määritellyn funktion ajallinen derivaatti, joka sisältää Poisson-sulkeet kommutaattorin sijasta: f(q,s,t){\ displaystyle f (q, p, t)}

dfdt=∂f∂t+{f,H}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen t}} + \ vasen \ {f, H \ oikea \} }

(todiste seuraa suoraan Hamiltonin kanonisista yhtälöistä )

Yleensä kvanttijärjestelmille, joissa on klassinen analogi, tämä kommutaattoreiden ja Poissonin sulkeiden välinen inversio voidaan hyväksyä empiiriseksi laiksi. (katso kirjeenvaihdon periaate ).

Todistus lauseesta

Olkoon A fyysinen määrä, jota edustaa automaattisen liitoksen operaattori . Määritämme sen keskiarvon seuraavasti: AT^{\ displaystyle {\ hattu {A}}}

⟨AT^⟩=⟨ψ(t)|AT^|ψ(t)⟩{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hattu {A}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}

Johdamme tämän tasa-arvon ajan suhteen:

d⟨AT^⟩dt=d⟨ψ(t)|dt|AT^|ψ(t)⟩+⟨ψ(t)|∂AT^∂t|ψ(t)⟩+⟨ψ(t)|AT^|d|ψ(t)⟩dt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ left \ langle \ psi ( t) \ oikea |} {\ mathrm {d} t}} | {\ hattu {A}} \ vasen | \ psi (t) \ oikea \ rangle + \ vasen \ langle \ psi (t) \ oikea | {\ frac {\ osittainen {\ hattu {A}}} {\ osittainen t}} \ vasen | \ psi (t) \ oikea \ rangle + \ vasen \ langle \ psi (t) \ oikea | {\ hattu {A}} | {\ frac {\ mathrm {d} \ vasen | \ psi (t) \ oikea \ rangle} {\ mathrm {d} t}}}

Käytämme Schrödingerin yhtälöä ja sen konjugaattia:

+iℏd|ψ(t)⟩dt=H^|ψ(t)⟩{\ displaystyle + i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = {\ hattu {H}} \ vasen | \ psi (t) \ oikea \ rangle}

ja

-iℏd⟨ψ(t)|dt=⟨ψ(t)|H^{\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} \ left \ langle \ psi (t) \ right |} {\ mathrm {d} t}} = \ left \ langle \ psi (t) \ right | {\ hattu {H}}}

Korvaamalla edellinen yhtälö saadaan:

d⟨AT^⟩dt=⟨∂AT^∂t⟩+1iℏ⟨ψ(t)|AT^H^|ψ(t)⟩-1iℏ⟨ψ(t)|H^AT^|ψ(t)⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ osittainen {\ hat {A}}} {\ osittainen t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ vasen \ langle \ psi (t) \ oikea | {\ hattu {A}} {\ hattu {H}} \ vasen | \ psi (t) \ oikea \ rangle - {\ frac {1} {i \ hbar}} \ vasen \ langle \ psi (t) \ oikea | {\ hattu {H}} {\ hattu {A}} \ vasen | \ psi (t) \ oikea \ rangle}

Kanssa saamme vihdoin [AT^,H^]=AT^H^-H^AT^{\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] = {\ hattu {A}} {\ hattu {H}} - {\ hattu {H}} {\ hattu {A}} }

d⟨AT^⟩dt=⟨∂AT^∂t⟩+1iℏ⟨[AT^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ langle {\ hat {A}} \ rangle} {\ mathrm {d} t}} = \ langle {\ frac {\ osittainen {\ hat {A}}} {\ part t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {H}}] \ right \ rangle}  

Ehrenfest-suhteet

Kvanttijärjestelmille, joissa on klassinen analogi, Ehrenfestin lause, jota sovelletaan sijaintiin ja impulssioperaattoreihin, antaa:

ddt⟨x^⟩=1m⟨s^⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle {\ hat { p}} \ rangle} ddt⟨s^⟩=⟨F⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle F \ rangle}

Tässä tunnistamme Hamiltonin kanoniset yhtälöt, joita sovelletaan keskimääräisiin suureisiin. Newtonin toisen lain löytäminen riittää erottamaan ensimmäisen ajallisesti .

Näiden suhteiden esittely

Mielivaltaisen potentiaalikentän hiukkaselle tarkasteltava Hamilton-funktio on muoto:

H^(x,s,t)=s^22m+V^(x,t){\ displaystyle {\ hattu {H}} (x, p, t) = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + {\ hattu {V}} (x, t )}

Pulssioperaattori

Oletetaan, että haluamme tietää keskimääräisen liikemäärän vaihtelun . Ehrenfestin lauseen avulla meillä on ⟨s^⟩{\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} \ rangle}

ddt⟨s^⟩=⟨∂s^∂t⟩+1iℏ⟨[s^,H^]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ osittainen {\ hat {p}}} {\ osittainen t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {p}}, {\ hat {H}}] \ rangle}

Sijoitamme itsemme "sijainti" -esitykseen: impulssioperaattori kirjoitetaan . Kun operaattori liikkuu triviaalisesti itsensä kanssa, ja koska impulssi ei ole nimenomainen ajan funktio, Ehrenfestin suhde pienenee: s^=-iℏ∇{\ displaystyle {\ hattu {p}} = - i \ hbar \ nabla}

ddt⟨s^⟩=1iℏ⟨[s^,V^(x,t)]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{ \ hat {p}}, {\ hat {V}} (x, t)] \ rangle}

On

ddt⟨s^⟩=⟨-∇V^(x,t)⟩=⟨F⟩,{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {p}} \ rangle = \ langle - \ nabla {\ hat {V}} (x, t ) \ rangle = \ langle F \ rangle,}

(voimme olla varmoja testitoiminnosta ) 1iℏ⟨[s^,V^]⟩{\ displaystyle {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {p}}, {\ hat {V}}] \ rangle}|ψ⟩{\ displaystyle \ vasen | \ psi \ oikea \ rangle}

Kuljettajan asema

Sama laskelma suoritetaan paikanoperaattorille , joka on edelleen ”sijainti” -esityksessä. Koska potentiaali riippuu vain sijainnista ja ajasta, se vaihtuu sijainninoperaattorin kanssa, ja Ehrenfest-suhde pienenee: x^{\ displaystyle {\ hattu {x}}}

ddt⟨x^⟩=⟨∂x^∂t⟩+1iℏ⟨[x^,H^]⟩=1iℏ⟨[x^,s^22m]⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = \ langle {\ frac {\ osittainen {\ hat {x}}} {\ partitu t}} \ rangle + {\ frac {1} {i \ hbar}} \ langle [{\ hat {x}}, {\ hat {H}}] \ rangle = {\ frac {1} { i \ hbar}} \ langle [{\ hat {x}}, {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}}] \ rangle}

Kytkentäsuhteen avulla

[x^,s^2]=s^[x^,s^]+[x^,s^]s^=2iℏs^{\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} ^ {2}] = {\ hattu {p}} [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] + [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] {\ hat {p}} = 2i \ hbar {\ hattu {p}}}

saamme:

ddt⟨x^⟩=1m⟨s^⟩{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ langle {\ hat {x}} \ rangle = {\ frac {1} {m}} \ langle {\ hat { p}} \ rangle}  

Katso myös

• Liouvillen lause
• Heisenbergin edustus

Bibliografia

• C. Cohen-Tannoudji , B. Diu ja F. Laloë , kvanttimekaniikka [ yksityiskohdat painoksesta ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">