Ei-yksittäinen algebrallinen lajike

Ei-yksikkö (tai sileä) algebrallinen lajike on erilaisia ilman yksittäinen piste (fi) . Se on luonnollinen kehys monille algebrallisen geometrian peruslauseille.

Määritelmä

Sanomme, että algebrallinen lajike on säännöllinen, kun sen paikallinen rengas on säännöllinen paikallinen rengas mille tahansa pisteelle . $X$ $O_{X,x}$ $x\in X$

Antaa olla algebrallinen lajike kentän yli . Antaa olla algebrallinen sulkeminen on . Sanotaan, että se ei ole yksikkö tai sileä, jos emäksen vaihdon jälkeen saatu lajike on säännöllinen lajike. $X$ $k$ ${\bar {k}}$ $k$ $X$ $X_{{{\bar {k}}}}$ ${\bar {k}}/k$

Esimerkkejä

Affiinitilat ja projisoitavat tilat eivät ole yksikäsitteisiä. ${\mathrm {Spm}}k[T_{1},\ldots ,T_{n}]$ ${\mathrm {Proj}}k[T_{0},\ldots ,T_{n}]$
Tasokäyrä on ei-yksiköllinen vain ja vain, jos polynomeilla ei ole yhteistä nollaa (mikä vastaa sanomista, että ne tuottavat ihanteellisen yksikön ). $\mathrm {Spm} (k[T,S]/(F(T,S)))$ $F,\partial F/\partial T,\partial F/\partial S$ ${\bar {k}}^{2}$ $k[T,S]$
Jos on epätäydellinen runko (ts. Runko, joka ei ole täydellinen ), niin on olemassa sellainen, joka ei ole - toinen voima , missä on sen ominaisuus . Antaa radiaalinen jatke määritelty nnen juuren ja . Sitten on algebrallinen lajike päällä , säännöllinen, mutta ei ei-yksikkö. $k$ $\lambda \in k$ $p$ $p$ $k$ $k'=k[T]/(T^{p}-\lambda )$ $p$ $\lambda$ ${\mathrm {Spm}}(k')$ $k$

Huomautus Säännöllisyys on algebrallisen lajikkeen absoluuttinen ominaisuus, kun taas ei-yksikön oleminen riippuu tarkasteltavasta peruskentästä. Yllä olevassa esimerkissä ei ole ei-yksittäinen -variaatio, mutta on yksikkö--lajike. ${\mathrm {Spm}}(k')$ $k$ $k'$

Ominaisuudet

Jos se on ei-yksikkö, niin se on säännöllinen. Päinvastoin on totta, jos se on täydellinen . $X$ $k$
Jaakobin kriteeri : Antaa olla kytketty affiininen algebrallinen vaihteluväli d . Silloin on ei-yksikkö, jos ja vain, jos jakobialaisen matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin n - d kaikille . $X={\mathrm {Spm}}[T_{1},...,T_{n}]/(F_{1},...,F_{m})$ $X$ $Jac_{x}(F_{1},...,F_{m})$ $x$
Antaa olla monimutkainen algebrallinen lajike (eli määritelty yli kompleksilukujen). Antaa monimutkainen analyyttinen tila (fi) liittyy . Silloin on ei-yksiköllinen vain ja vain, jos se on monimutkainen analyyttinen jakotukki , ts. Paikallisesti biholomorfinen avoimelle joukolle ℂ n . $X$ $X^{{{\mathrm {an}}}}$ $X$ $X$ $X^{{{\mathrm {an}}}}$
Jos on epäsingulaarinen ja kytketty dimension n , niin on redusoitumaton ja jopa kiinteä , ja nippu ero muotojen on on paikallisesti vapaa sijoitus n . Toisin sanoen, se on vektorin nippu, jolla on n-arvo (kutsutaan kotangenttipaketiksi ) päällä . $X$ $X$ $X$ $X$
Paikallinen rakenne : Toisin kuin monimutkaiset tai differentiaaliset analyyttiset jakotukit, algebrallinen jakotukki, jopa ei-yksikkö, ei ole paikallisesti (Zariskin topologian kannalta) isomorfinen affiinisen avaruuden aukolle. Mutta tästä tulee totta, jos korvataan Zariski- topologia étale-topologialla . Konkreettisemmin sanottuna ei-singulaarisen algebrallisen jakotukin jokaisella pisteellä on avoin (Zariskin!) Naapurusto, joka on levinnyt affiinisen avaruuden avoimeen alueeseen.