B-spline

On matematiikka , joka on B-spline on lineaarinen yhdistelmä on positiivinen urituksen minimaalisella kompakti tukea. B-urat ovat Bézier-käyrien yleistys, NURBS puolestaan voi ne yleistää .

Määritelmä

Annettu m +1 solmua t i kohdassa [0, 1] kanssa $0 \ leq t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ ldots \ leq t_ {m} \ leq 1$ aste splinikäyrä on parametrinen käyrä $ei$ ${\ mathbf {S}} \ ,: \, [0,1] \ - {\ mathbb {R}} ^ {d}$ koostuu B-splinifunktiot aste n ${\ displaystyle \ mathbf {S} (t) = \ summa _ {i = 0} ^ {mn-1} b_ {i, n} (t). \ mathbf {P} _ {i} \ ,, \, t \ sisään [t_ {n}, t_ {mn}]}$ , jossa P i muodostavat monikulmion kutsutaan valvonta monikulmio ; tämän monikulmion muodostavien pisteiden määrä on yhtä suuri kuin m - n .

M - n B-splinifunktiot aste n määritellään induktiolla alempi aste: $b _ {{j, 0}} (t): = \ vasen \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mathrm {si}} \ quad t_ {j} \ leqslant t <t _ {{j + 1 }} \ \ 0 ja {\ mathrm {muuten}} \ end {matrix}} \ right.$ $b _ {{j, n}} (t): = {\ frac {t-t_ {j}} {t _ {{j + n}} - t_ {j}}} b _ {{j, n- 1}} (t) + {\ frac {t _ {{j + n + 1}} - t} {t _ {{j + n + 1}} - t _ {{j + 1}}}} b _ {{j + 1, n-1}} (t).$

Kun solmut ovat yhtä kaukana toisistaan, toisin sanoen kun ne ovat aritmeettisessa etenemisessä, B-urien sanotaan olevan "yhtenäisiä": Näin on Bézier-käyrien kanssa, jotka ovat yhtenäisiä B-uria, joiden solmut t i (for i välillä 0 - m ) muodostavat aritmeettisen sekvenssin 0: sta 1: een vakionopeudella 1 / m ja missä Bézier-käyrän aste n ei voi olla suurempi kuin m .

Laajennettuna, kun kaksi peräkkäistä solmua ja yhdistetään, yksi aiheuttaa : tämä on se vaikutus, joka määrittää epäjatkuvuuden tangentti, että käyrän pisteelle parametrisoituina arvo t , siis luoda olemassa ei-kulman kärjessä astia; Usein on kuitenkin yksinkertaisempaa määritellä tämä "laajennettu B-spline" kahden erillisen solmun kanssa määritellyn B-splinein liitokseksi, jotka ovat yksinkertaisesti yhdistetty tähän yhteiseen kärkeen, ilman että tässä parametriarvioinnissa olisi vaikeuksia. B-urat parametrin t tietyille arvoille . Mutta tämä tekee sitten mahdolliseksi pitää minkä tahansa yksinkertaisen monikulmion laajennettuna B-urana. $t_j$ $t _ {{j + 1}}$ ${\ frac {0} {0}} = 0$

Ominaisuudet

Perustoimintojen muoto määräytyy solmujen sijainnin perusteella.

Käyrä on ohjauspisteiden kuperan kirjekuoren sisällä .

A B-spline aste n $b _ {{i, n}} (t)$ ei ole nolla aikavälillä [ t i , t i + n + 1 ]: $b _ {{i, n}} (t) = \ vasen \ {{\ begin {matrix}> 0 & {\ mathrm {si}} \ quad t _ {{i}} \ leqslant t <t _ {{ i + n + 1}} \\ 0 ja {\ mathrm {muuten}} \ loppu {matriisi}} \ oikea.$

Toisin sanoen, ohjauspisteen siirtäminen muuttaa vain paikallisesti käyrän muotoa.

Yksiulotteiset b-urat

B-uria voidaan käyttää lähentämisteorian perustoimintoina. B-spline aste n saadaan seuraavasti: ${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ beta ^ {n} (x) = \ summa _ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k} {\ frac {(n + 1)} {(n + 1-k)! k!}} \ vasen (xk + {\ frac {n + 1} {2}} \ oikea) _ {+} ^ {n}}$ , missä (y) + on positiivisen osan funktion laajennettu versio : $(x) _ {+} ^ {n} = {\ aloita {tapaukset} 0 ja {\ teksti {si}} x <0 \\ {\ tfrac 12} ja {\ teksti {si}} x = 0 {\ teksti {et}} n = 0 \\ 1 & {\ text {si}} x> 0 {\ text {et}} n = 0 \\ x ^ {n} ja {\ text {si}} x \ geqslant 0 {\ text {ja}} n \ geqslant 1 \ end {cases}}$

Tunnustamme porttitoiminnoksi erityisesti asteen 0 uran .

Nämä toiminnot eivät ole interpoloivia, mutta niiden korkea säännöllisyys kompaktilla alustalla tekee niistä mielenkiintoisia ehdokkaita toimintojen lähentämisessä.

Viitteet

(in) P. Thevenaz, Blu T. ja M. Unser, " interpolointi uudelleen " , IEEE Transactions on lääketieteellisen kuvantamisen , Vol. 19, n ° 7,heinäkuu 2000( DOI 10.1109 / 42.875199 )

Sisäiset linkit

Ulkoiset linkit

(en) Splines: Yhdistävä kehys kuvankäsittelylle (opetusohjelma B-splineille)