On matematiikka , ketju on ylivertainen tasokäyrän , joka vastaa muotoa, että kaapelin (tai ketju) vie, kun se on ripustettu päistään ja kohdistetaan tasainen painovoiman (oma paino). Sille annetaan joskus nimi velar .
Joustavan raskaan langan muodon ongelma on kiinnostanut monia matemaatikkoja.
Vuonna 1638 Galileo kirjoitti: " Istutamme seinälle tietylle korkeudelle kaksi naulaa, myös kaukana horisontista ...; näille kahdelle naulalle ripustamme hienon ketjun ...; tämä ketju vie taivuttamalla parabolin muodon , niin että jos merkitsemme sen polun seinälle katkoviivoilla, saadaan koko parabolan piirustus.
Todiste siitä, että ketju ei muodoltaan paraabelin tarjottiin 1627 mennessä Joachim Jung hänen geometrica Empirica ja 1646 mennessä Huygens .
Vuonna 1691 , Leibniz , Jean Bernoulli ja Huygens , alle sysäys haaste käynnistämä Jacques Bernoulli , osoittavat lähes samanaikaisesti, että tarkka muoto on ylivertainen käyrä määrittämällä sen yhtälöitä.
Jättäen Bernoullin käyttämän latinalaisen sanan problema funicularium (köyteen liittyvä ongelma) taakse Huygens käyttää sitä Leibnizille osoitetussa kirjeessä. sana catenaria , käyrä liittyvät ketjun ( catena ), muuttuu sitten Ranskan ajojohto , mikä elvyttää termi Catenella Galileon käyttämiin (kun Englanti-speaking matemaatikot pitää nimeämistä Huygens name it ajojohdinjärjestelmään , sama Englanti sana käännetään ranskan kielellä samat latinalaista alkuperää olevat johdot , sana, jota käytetään myös ranskaksi tietyille ketjun muotoisille itsekantaville rakenteille).
Jotkut ranskankieliset kirjoittajat antavat sille myös kontaktiverkon nimen , vaikka kontaktiverkko tavallisesti nimeää ranskaksi itsekantavan kaapelin yhdistämisen samaan pystysuoraan tasoon, alaosaan toisen tarkoitetun kaapelin kanssa, mahdollisuuksien mukaan melkein lineaarisesti, jolloin molempiin kaapeleihin kohdistuu yleensä pituussuuntainen vetovoima ja ne liitetään pystysuoraan toisiinsa sarjaan heiluriliitoksia. Tämä kantojärjestelmä muodostaa muodonmuutoksen ylemmälle kantokaapelille ja itse asiassa antaa sille muodon, joka on lähempänä parabolaa , ketjua ei enää ole läsnä paitsi käytännöllisesti katsoen, se kulkee kahden kaapelin välillä, joille vaihtelevan pituiset heilurit nivelletään.
Verkkojohdon tukikokoonpanon etu on, että se antaa alemmalle kaapelille melkein suoraviivan muodon. Tämä antaa mahdollisuuden esimerkiksi parantaa kosketusta ja tasapainottaa (ja jopa pienentää) rautatieliikenteen sähköjärjestelmien kitkavoimia (välttäen mahdollisimman paljon katkoksia, jotka johtuvat toistuvista iskuista ja kipinöistä kaapelia vastaan. mahdollistaa alemman kaapelin kokonaispituuden rajoittamisen, mikä vähentää sen kokonaissähkövastusta (siis energianhäviöitä tämän kaapelin linjassa) pitkän matkan voimansiirtoyhteyksissä tarvitsematta lisätä kaapelien jännitystä erittäin merkittävästi ( mikä heikentää niitä asteittain ajan myötä asetettujen joustamattomien pidennysten vaikutuksesta).
Itse asiassa, ja tämä on merkittävä ominaisuus, ketjun muoto on sellainen, joka mahdollistaa sen pituussuuntaisen jännityksen minimoinnin: lisäämällä kaarevuuden taipumista (kaapelin suurin etäisyys kiinnityskohtia yhdistävään suoraan nähden) ), joten myös kaapelin kokonaispituus kahden kiinteän kiinnityskohdan välillä vähentää tätä pituussuuntaista jännitystä merkittävästi ja siten myös joustamattomia venymiä ja kaapelin ennenaikaisen rikkoutumisen riskiä.
Tätä ketjun ominaisuutta käytetään köysiradan (tai muiden vastaavien kantojärjestelmien, kuten tuolihissin ) kantokaapeleissa, jotka muodostuvat ketjun muodossa kiinteiden pylväiden kiinnityspisteiden välillä tai rungon pistekuorman välillä. gondoli ja kukin kiinnityskohdista edellisiin ja seuraaviin pylväisiin; ainoa kaapeliin kohdistuva lisärasitus on sitten taivutus peräkkäisten ketjukaarien leikkauspisteissä (pylväissä tai narun yläpuolella), taivutus, jonka ei-toivottua joustamatonta vaikutusta voidaan vähentää korvaamalla tämä piste kiinteällä alustalla kaari (esimerkiksi hihnapyörän pyöreä pyörö ), riittävän pitkä jakamaan ja rajoittamaan kaapeliin paikallisesti kohdistettua taivutuskäyrää. Siten hyvin pieni määrä kiinteitä pylväitä riittää kaapelin kuljettamiseen ja kahden pylvään välisten erittäin suurten etäisyyksien ylittämiseen, yhden ketjun välillä, samalla kun pidetään pienempää kaapelin kireyttä, mikä lisää sen vastusta ja hyötykuormaa.
Suurjännitelinjojen ketju vaihtelee kuljetettavan energiamäärän ja sääolosuhteiden mukaan . Ampacity tarkoittaa nykyisen enimmäismäärä voidaan kuljettaa kerralla ilman kaapeli on liian lähellä lattiaa (johtuen lämpölaajenemisesta johtuen Joule-ilmiö ).
Ketjun muodon suorakulmainen yhtälö on:
,jossa cos tarkoittaa hyperbolista kosinia .
Parametri a =T Hwon suhde vaakasuuntaisen komponentin T H jännitteen T on lineaarinen tiheys w , massa pituusyksikköä kohden.
Tämä yhtälö riippuu yhdestä parametrista a (vakio, jonka fyysinen tulkinta on pituuden ulottuvuus). Yhtälökäyrä:
ei yleensä ole ketju tiukassa merkityksessä. Käyrän muoto ei kuitenkaan muutu lukuun ottamatta additiivivakiota (määritettäessä sen jännevälin korkeus), ja seuraavaa käyrää pidetään myös yleistyneenä ketjuna:
Se voidaan nähdä myös parametrisena yhtälönä:
Voi olla kätevää ottaa parametriksi jännite, joka kasvaa pisteen korkeuden mukana. Näissä olosuhteissa kaikkien akselien suhteen:
Käyrän määritelmä kohteen määritelmänä olettaa, että vaijerilla, köydellä tai ketjulla ei ole elastista taivutusvoimaa (eikä kitkaa ketjun lenkkien poikittaisilla kosketuspinnoilla) ja siksi ainoa siihen liittyvä voima on painovoima, joka kohdistuu tasaisesti koko pituudelle. Tässä määritelmässä oletetaan myös, että vaijerin tai sen minkä tahansa osan kokonaispituus pysyy muuttumattomana, kun kohdistetaan pituussuuntaisia vetovoimia (siksi kaapeliin ei kohdistu mitään venyvyyttä tämän pidon takia, mikä ei ole ihanteellinen tapaus johto, mutta erittäin hieno ketju, jossa ei ole muodonmuutoksia, joista kukin on hyvin lyhyt ketjun kokonaispituuteen verrattuna).
Jos viivan pidennystä ei voida jättää huomiotta, pienen elementin lepopituus dl joutuu jännitteeksi Hooken lain mukaan :
kanssa E Youngin moduuli ja osa linjan.
Pienen elementin vaaka- ja pystysuuntaiset projektiot, joita muokataan samoissa suhteissa, vastaavien parametristen yhtälöiden saamiseksi, on tarpeen erottaa kaksi edeltävää yhtälöä, kertoa tulokset kasvutekijällä ja integroida uudelleen. Kukin näistä yhtälöistä sisältää sitten toisen jäsenen, joka on korjattu jäykkyyteen EA päinvastoin verrannollinen termi, eikä tuloksena oleva käyrä ole enää ketju.
Jotta painovoima olisi tasainen, oletetaan, että kaikki saman pituiset kaapelin tai köyden osat ovat samanpainoisia, riippumatta tästä leikkauksen pituudesta (ihanteellisen ketjun tapauksessa elementaarilenkit ovat kaikki muodoltaan ja kooltaan samanlaiset, mutta myös samanlaiset massat, jotka on siis valmistettu kiinteästä materiaalista, jolla on homogeeninen tiheys). Toisaalta meidän on myös myönnettävä, että kullekin näistä osista kohdistuvat painovoimat ovat yhtä suuret (eivätkä siksi riipu osioiden sijainnista, mikä on mahdollista vain, jos niiden painopisteen ja maapallon keskipisteen välinen etäisyys painovoima on käytännössä sama minkä tahansa kahden osan välillä, ja siksi kaapelin kokonaispituus on merkityksetön verrattuna kaapelin keskikohdan ja maan keskipisteen väliseen etäisyyteen, joten maapallon painopisteen moduuli ja suunta ovat tällöin käytännössä vakiona ihanteellisen kaapelin tai ketjun koko pituudelta).
Lopuksi oletetaan, että ketjun muodosta riippumatta se pysyy rajoitettuna koko pituudeltaan tasoon, jonka muodostavat sen päiden sijainti ja painovoimakentän vakio suunta: kaikki vaikutus- tai reaktiovoimat kohdistuvat sitten tämä taso ilman ylimääräistä vääntövoimaa puuttumasta (tai tämän tason ulkopuolella kohdistuvat toimintavoimat ketjun missä tahansa osassa ovat kaikkialla ja jatkuvasti tasapainossa vääntövoimien reaktiolla, joka on yhtä suuri moduulissa ja vastakkainen toimintavoimien kanssa, joten kaikki vääntövoimat voimat, joustavat tai eivät, eivät tule esiin muodosta, joka on saatu ketjulta tällä tasolla: tapaus koskee lankoja, naruja ja kaapeleita, jotka on muodostettu säikeistä, jotka ovat sisäisesti altistuneet tällaisille vääntövoimille, jotka ovat tasapainossa vastavääntöjen avulla.
Ketjuteoria kuvaa tasapainokäyrän linjasta (ketju tai kaapeli), joka on ripustettu kahden, homogeenisen, venymättömän, taivutusjäykkyyden väliin, vain sen painolle. Tämä viimeinen ehto varmistaa, että koko käyrä sijaitsee pystytasossa koordinaattijärjestelmän ollessa luonnollisesti x vaakasuora, y pystysuora.
Tasapainotilojen luomiseksi me ajattelemme kuten materiaalien vastustuskyvyssä leikkaamalla ajatusviiva mielivaltaisessa pisteessä ja paljastamalla sitovia voimia. Taivutusjäykkyyden puuttuessa ei ole leikkausvoimaa eikä taivutusmomenttia, vaan vain yksi aksiaalinen voima T, jota kutsutaan jännitykseksi, a on sen kulma vaakatasoon nähden. Täten vaakakomponentti kirjoitetaan T cos α ja pystykomponentti T sin α .
Taivutusjäykkyyden puuttuminen toisaalta luo suuria muodonmuutoksia, jotka johtavat pienen pituuden d s tasapainon tutkimiseen . Voimatasapainoyhtälö antaa vaaka-akselin suuntaisesti .
Siksi siihen kohdistuu vakio vaakasuora voima suhteesta lähtien
ei ole kukaan muu kuin vaakakomponentin johdannainen, ja sen painolla w d s (missä w on paino pituusyksikköä kohti) sama pystysuora voima , joka johtaa differentiaaliyhtälöihin
Integrointi ensimmäinen yhtälö antaa T cos α = T H , integrointi vakio T H on vaakasuuntaisen komponentin voiman: vaakasuora komponentti voima on vakio missä tahansa kohdassa käyrän. Toinen antaa T sin a = w ( s - s 0 ) .
Tässä integraatiovakio, jonka arvo riippuu kaarevien abscissojen alkuperästä, vastaa käyrän alinta kohtaa, jossa kaareva abscissa ja kulma a molemmat muuttavat merkkiä.
Neliöittämällä ja summaamalla saadaan jännityksen vaihtelulaki kaarevan abscissan mukaan:
Jakamalla kaksi perusyhtälöä saadaan käyrän kaltevuus:
Johde x: n suhteen johtaa
Integraatio antaa . Kääntämällä se tulee:
Uusi integraatio antaa ketjun yhtälön:
Kaltevuudesta päätellään myös kaareva abscissa:
samoin kuin jännitteen pystykomponentti:
Tästä syystä itse jännite:
Vastakkaisesta kuvasta näkyy, että ketju kiristyy vaakasuuntaisen jännityksen kasvaessa .
Jos molemmat kiinnityskohdat ovat samalla korkeudella, osoitamme, että: L on kaapelin kokonaispituus ja h kaapelin taipuma.
Todistamme myös, että: ja:
missä H on kahden samalla korkeudella sijaitsevan kiinnityskohdan välinen etäisyys ("H" yllä olevassa kuvassa).
Soveltamisen ketjun käyrän rakentamiseen kaaria katsotaan johtuvan Englanti fyysikko Robert Hooke , yhteydessä jälleenrakentamiseen Pyhän Paulin katedraali Lontoossa , jossa hän viittasi köysirakenteena käyrä "), mutta hän tajusi vain" approksimaatio ".
Noin 1671 , Robert Hooke ilmoitti kuninkaalliselle seuralle, että hän oli ratkaissut kaaren optimaalisen muodon ongelman. Vuonna 1676 hän julkaisi ratkaisun kirjansa A helioskooppien kuvaus ja useita muita instrumentteja liitteessä . Hän kirjoitti löytäneensä "todellisen matemaattisen ja mekaanisen muodon kaikenlaisista kaarista rakennukselle" , ratkaisu salattu anagrammiksi . Hän ei toimittanut elinaikanaan sen latinankielistä käännöstä, jonka vain teloittaja antoi vuonna 1705 , kaksi vuotta kuolemansa jälkeen: " Ut continuum pendet flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum " , mikä tarkoittaa karkeasti "Aivan kuten taipuisa lanka roikkuu, joten kääntämällä löytyy kaaren vierekkäiset kappaleet ". Robert Hooke ymmärsi, että rakennusmateriaalit kestävät vain puristusvoimia eikä vetovoimia, toisin kuin yksinkertainen riippuva köysi, joka voi vastustaa pitoa, mutta voi deformoitua puristamalla.
Marquette Plaza Minneapolisissa.
Näkymä Riadiin ja Kingdom Centre -torniin .
Nubian holvi , Egypti.
Ctesiphonin kaari Taq-e Kisran palatsissa Bagdadissa, Irakissa.
Santa Maria del Fioren katedraalin kupoli Firenzessä.
Pantheonin kupoli Pariisissa.
ajojohto kaaria ja Casa Mila Barcelonassa.
ajojohdinjärjestelmään kaaria ja Masia Freixa, Terrassa, Espanja.
Écaussevillen ilmalaivan halli.
Gateway Arch Saint-Louis.
Gateshead Millennium -silta, pyörivä kävelysilta Gatesheadissa.
Sheffield Talvipuutarha Sheffieldissä.
Suojarakennusholvi, rakenteilla Tšernobylissä.
Catene kontteja , Le Havren satamassa.
Voimalle altistuva köysi voi olla muissa muodoissa: Näin on "hyppynarun käyrällä" , jolle ei ainoastaan kohdistu voimaa, joka jakautuu tasaisesti omaan painoonsa (mikä antaa sille ketjun muodon, kun sitä ei ole mutta myös suurempi keskipakovoima hyppynarun keskellä (kiertäessä) kuin sen päissä, joka muodostaa ketjun niin, että se saa terävämmän muodon tai jopa kolmion rajaan nopeudella äärettömään, koska köyden painoon liittyvät voimat ovat merkityksettömiä keskipakovoimaan verrattuna. Mitä nopeammin köysi kääntyy, sitä enemmän se deformoituu ja köyden yläosan ja alaosan välinen jännitysero kasvaa, tämä ero on suurin köyden pituuden keskellä (mikä on siten tässä, jos käännämme sitä liian nopeasti).
Ketjurakenteeseen kohdistuva voimakkain rasitus on sen keskipisteessä olevan enimmäispainon rasitus: näin on pyörivällä hyppynarulla, jossa sen pyörimiseen liittyvä keskipakovoima on suurin köyden keskellä. etäisyys pyörimisakselista on suurin) tai jos köysi tukee keskelle ripustettua painoa (kuten pyykkinarulla, jos emme kiinnitä viivalla käytettyjä vaatteita välttääksesi niiden kaikkien liukumista köyden keskelle) .
Kun erotamme kaksi aluksi vain saippualiuoksesta liitettyä ympyrää, näiden kahden profiilin väliin muodostetulla putkimaisella pinnalla on ketjuprofiili : se on katenoidi , jonka putken keskiakselilla on ketjun muotoinen muoto: katenoidiputken yläpinta (kohdistettu pituussuunnassa putken akselin suuntaan) on pienempi kuin alapinnan pinta ja selittää, miksi vesiputki rikkoutuu aina pohjasta, kun tämä erotusjännitys kasvaa suuremmaksi kuin saippuamolekyylit.
Tämän kysymyksen vähimmäispinnasta kysyi ja ratkaisi sveitsiläinen matemaatikko ja fyysikko Leonhard Euler vuonna 1744 .
Katenoidi on kuitenkin ihanteellinen muoto omaksumaan itsekantavalle rakenteelle, joka ottaa käyttöön ketjuprofiilin, koska on mahdollista kompensoida yläpintaan kohdistuvat puristusvoimat tämän pinnan esipuristuksella ja kompensoida alemman erotusvoimat putken pinta mahdollistaa suuremman joustavuuden. Tämä muoto on siis otettu käyttöön tukikaarien putkille.
Yhtä resistanssiketju on muoto, jonka 2 pisteen väliin ripustettu raskas joustava venymätön lanka, jonka poikkileikkauspinta-ala on tehty vaihtelemaan pituudeltaan, jotta se olisi kaikkialla verrannollinen paikalliseen jännitykseen, jotta saadaan tasainen vetojännitys ketju tai kaapeli.
Tätä käyrää kutsutaan myös nimellä "Coriolis catenary" tai "log sinisen käyrä" , ja englantilainen insinööri Davies Gilbert ( "yhtäläisen voimakkuuden kontaktiverkko" ) tutki sitä vuonna 1826 .
Ranskassa, se tutkitaan matemaatikko Gustave Coriolis liitettävällä julkaistiin 1836 , että lehden puhtaan ja sovelletun matematiikan .
Joustava ketju on muoto, jonka muodostaa joustava homogeeninen äärettömän ohut joustava raskas lanka, joka on ripustettu kahden pisteen väliin ja sijoitettu tasaiselle painopisteelle.
Tätä käyrää tutkivat matemaatikko ja geometri Étienne Bobillier vuonna 1826 ja matemaatikko M. Finck.
Riippumaton silta, joka koostuu yhdestä, melkein tasaisesta kaaresta ja jota kantaa vain sen kaksi päätä, muodostaa luonnollisesti ketjun muodon, jos siihen ei kohdistu mitään muuta pystysuoraa tai vaakasuoraa rasitusta kuin oma paino tai jos sen tukema kuorma on tasaisesti jaettuna sen pituudelta. Se on sama vaakasuoralle kehykselle, joka on sijoitettu kahden kantavan seinän kohdalle.
Apina silta on luonnollisesti muodon ketjun takia esiliina alennetaan sen yksinkertaiseen muotoon, mahdollisimman lähelle Briksdalsbreen jäätikkö on Norjassa .
Jalankulkijoiden ajojohdon silta , rakenne lähellä apina silta, antaa myös muodon ketjun, kuten suspensio jalankulkijoille Holzgau (ja) , rakennettu 2012 , vuonna Holzgau , vuonna Tyrol , ja Itävallassa , tai koska29. huhtikuuta 2021Pisin jalankulkijoiden köysirakenteena silta maailmassa, 516 Arouca (fi) kävelysilta kanssa jänneväli on 516 metriä vuonna Arouca vuonna Portugalissa .
Muita järjestelmiä on olemassa itsekantavien siltojen (rakennettu kuten käänteinen ketjukaari) rakentamisessa, jolloin ne pystyvät vastustamaan muita vaakasuoraan kohtisuorassa kaariin kohdistuvia rasituksia tai kaapeleita sillan akselilla (pääasiassa tuulen vaikutuksesta) tai pystysuunnassa sillan pinnalla (joko tuulen tai siellä kiertävien ajoneuvojen avulla: tätä rajoitusta on helpompi hallita, koska sillä on sama vaikutus kuin oman painonsa vaihtelulla ja se johtaa lyhentävään alueeseen); tämä edellyttää, että sillan päät voivat liikkua vaakasuunnassa, jotta vältetään murtuminen sillan keskellä lisäämällä pituussuuntaista jännitystä, jos tämä pituussuuntainen siirtymä estetään, mikä mahdollistaa ihanteellisen ketjuprofiilin säilymisen), ja ne voidaan saavutetaan siten, että molemmissa päissä olevat vyöhykkeet liukuvat vapaasti toistensa läpi sillan akselilla; Näiden liukuvien vyöhykkeiden etäisyyden tai lähentämisen jatkuva seuranta mahdollistaa itsekantavan rakenteen pituussuuntaisen jännityksen välittömän mittaamisen ja siten estää katkeamisen (tai sulkea liikenteen heti, kun turvallisuusrajat ylittyvät, esim. liian voimakkaat tuulet). Samaa järjestelmää käytetään vaakakehyksissä, jotka ovat hieman pitempiä kuin seinien tai pystysuorien tukipylväiden välinen etäisyys, ja toisinaan sitä kannetaan pyörivällä varrella, joka on nivelletty tukipylvään yläosaan, jolloin etäisyyden tasapainottaminen kummassakin päässä on mahdollista.
Ulkoinen video | |
---|---|
Ketjun: pituus ketjun puolesta YouTubessa ja Exo7Math |