Alembertilainen
D'Alembertian tai Alembertian operaattori , on yleistys käsite Laplace on Minkowskian metristä . Erityisesti sähkömagneettisuudessa näyttää kuvaavan sekä sähkömagneettisten aaltojen etenemistä että Klein-Gordon-yhtälöä .
Kaava
D'Alembertian, yleensä merkitty neliöllä , kirjoitetaan suorakulmaisessa koordinaatistossa ,
◻{\ displaystyle \ Box}![\Laatikko](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
◻=-(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)+1vs.2∂2∂t2{\ displaystyle \ Box = - \ left ({\ frac {\ osal ^ {2}} {\ osaa x ^ {2}}} + {\ frac {\ osaa ^ {2}} {\ osaa y ^ {2 }}} + {\ frac {\ osal ^ ^ {2}} {\ osaa z ^ {2}}} \ oikea) + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ osaa ^ {2}} {\ osittainen t ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ Box = - \ left ({\ frac {\ osal ^ {2}} {\ osaa x ^ {2}}} + {\ frac {\ osaa ^ {2}} {\ osaa y ^ {2 }}} + {\ frac {\ osal ^ ^ {2}} {\ osaa z ^ {2}}} \ oikea) + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ osaa ^ {2}} {\ osittainen t ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f3d56996f619b8e450ccf09e1e3840159343a1)
, missä c on
valon nopeus , joka voidaan kirjoittaa uudelleen
Laplacian funktiona seuraavasti:
◻=-Δ+1vs.2∂2∂t2{\ displaystyle \ Box = - \ Delta + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittainen t ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ Box = - \ Delta + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ osittainen ^ {2}} {\ osittainen t ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a2bb334ba11bb898479a4c6f9cd07a34a3bcb5)
.
Yleisemmin, alkaen Minkowskin metriikasta η ab , voimme kirjoittaa d'Alembertianuksen kaavan mukaisesti
◻=ημv∂∂xμ∂∂xv=∂xμ∂xμ=∂xμ∂xμ,{\ displaystyle \ Box = \ eta ^ {\ mu \ nu} {\ frac {\ partitali} {\ osaa x ^ {\ mu}}} {\ frac {\ osallinen} {\ osaa x ^ {\ nu}} } = \ osittain x _ {\ mu} \ osittain x ^ {\ mu} = \ osittain x ^ {\ mu} \ osittain x _ {\ mu},}![{\ displaystyle \ Box = \ eta ^ {\ mu \ nu} {\ frac {\ partitali} {\ osaa x ^ {\ mu}}} {\ frac {\ osallinen} {\ osaa x ^ {\ nu}} } = \ osittain x _ {\ mu} \ osittain x ^ {\ mu} = \ osittain x ^ {\ mu} \ osittain x _ {\ mu},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298868391212fe26709eaec2225d8b104b5a7f38)
missä suoritetaan summa kaikilla koordinaateilla t , x , y , z . Tämä määritelmä on kuitenkin riippuvainen metriikan merkkikäytännöstä , joten d'Alembertienin merkki riippuu joskus tekijöistä.
Sovellus
D'Alembertian näkyy aallon yhtälö sähkömagneettisen neljännesvaihe-potentiaali :
◻ATμ=0.{\ displaystyle \ Laatikko A ^ {\ mu} = 0.}![{\ displaystyle \ Laatikko A ^ {\ mu} = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2879c57d5ad5eea0a6509e9ecec72b66815ccc)
Klein-Gordon yhtälö liittyy myös operaattori:
(◻+m2)ψ=0.{\ displaystyle (\ Box + m ^ {2}) \ psi = 0.}![(\ Box + m ^ 2) \ psi = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0426fe3086118217c727d241451e00e62f22e70a)
Aiheeseen liittyvät artikkelit