Jean-Robert Argand

Jean-Robert Argand Elämäkerta

Syntymä	18. heinäkuuta 1768 Geneve
Kuolema	13. elokuuta 1822(54-vuotiaana) Pariisi
Kansalaisuus	Geneve , sitten sveitsiläinen vuodesta 1815
Toiminta	Matemaatikko

Muita tietoja

Alueet	Monimutkainen numero , kirjapaino ( d ) , poliitikko

Jean-Robert Argand , syntynyt18. heinäkuuta 1768vuonna Genevessä ja kuoli13. elokuuta 1822Pariisissa, on sveitsiläinen (amatööri) matemaatikko .

Elämäkerta

Vuonna 1806 hän toimi Pariisissa pitämällä kirjakauppaa ja julkaisi monimutkaisten numeroiden geometrisen tulkinnan tason pisteinä, jotka sopivat yhteen numeron kanssa (jossa i on yksi –1: n kahdesta neliöjuuresta, toinen - i) ainutlaatuisen pisteen. ja koordinaattien ( , b ) ( isomorfismi ). Tästä syystä tasoa, jota pidetään kompleksilukujen joukona, kutsutaan joskus Argand-tasoksi . Argand tunnetaan myös tiukasta todisteesta d'Alembert-Gaussin lauseesta , joka julkaistiin vuonna 1814. ${\ displaystyle \, a + ib}$

Kompleksit Argandin mukaan

Hänen tutkielma Essee tapa esittää kuvitteellinen määrät geometrisia kuvioita , Argand alkaa liittämällä kukin positiivinen numero vaakasuora viiva KA , suunnattu oikealle ja pituuden . Sitten hän huomaa, että hän voi liittää jokaiseen negatiivinen luku - b vaakasuora viiva KB ' , suuntautuu vasemmalle ja pituus b . Summa koostuu rivien sijoittamisesta loppuun. Toiminnan tuotteen ja neliöjuuren koostuvat työskentelee proportionalities :

( a , b ) on verrannollinen kohtaan ( c , d ), jos suhteet a ⁄ b ja c ⁄ d ovat identtiset (sama absoluuttinen arvo ja sama merkki)

Siksi a: n tulosta b tulee luku ab siten, että (1, a ) ja ( b , ab ) ovat verrannollisia. Suhteellisen neljänneksen geometrinen rakenne on tunnettu jo kauan. Joten Argand osaa rakentaa viivan :

{\ displaystyle {\ overline {KC}} = {\ overline {KA}} \ kertaa {\ overline {KB}}}

X: n neliöjuuri (positiivinen) on luku y (positiivinen) siten, että (1, y ) ja ( y , x ) ovat verrannollisia. Tämä rakenne on myös toteutettavissa (katso rakennettavissa oleva numero ). Jos KA liittyy 1: een, KP liittyy y: hen ja KM liittyy x: ään , sanomme, että:

KM on KP: lle, mikä KP on KA: lle .

Saamme:

{\ displaystyle {\ frac {KM} {KP}} = {\ frac {KP} {KA}}}

tai:

{\ displaystyle {\ overline {KM}} = {\ overline {KP}} \ kertaa {\ overline {KP}}.}

Seuraava ongelma on rakentaa neliöjuuri –1. Jos KC on useita liittyy -1, kyse on löytää linjan KB siten, että

KB on KA: lle mikä KC on KB: lle .

Tätä ei voida saavuttaa pysymällä oikealla. Siksi Argand jättää linjan ja sanoo, että KB on KA: lle mikä KC on KB: lle, kun pituussuhteet ovat samat ja kulmat AKB ja BKC ovat samat .

Tämä sijoittaa pisteen B pystysuoraan pisteeseen K etäisyydellä 1. Viiva KB edustaa sitten kuvitteellista $i: tä$ (merkitty hetkellä $\sqrt -1$ ).

Sitten hän luo ”suunnattujen viivojen” joukolle lisäyksen (joka on samanlainen kuin mitä kutsumme tänään Chasles-suhteeksi ) ja tuotteen.

Tuote :

{\ displaystyle {\ overline {KM}} \ kertaa {\ overline {KN}}}

on viiva KP sellainen, että KP on KN: lle, mikä KM on KA: lle .

Suunnitelmassa annetulla suhteellisuuden määritelmällä tämä tarkoittaa sitä

${\ displaystyle {\ frac {KP} {KN}} = {\ frac {KM} {KA}}}$ ;
kulmat NKP ja AKM ovat yhtä suuret.

Sitten hän osoittaa, että suunnattujen viivojen tulo vastaa pituuksien ja kulmien summan tuloa.

Sitten se yhdistää jokaisen kompleksin, suunnatun linjan ja näyttää vastaavuuden operaatioiden välillä. Jokaisella suunnatulla viivalla on siis kaksi mahdollista esitystä:

sen suorakulmaisten koordinaattien ( a , b ) avulla, jotka viittaavat kompleksiin $a + i b$ ,
sen polaariset koordinaatit : linjan pituus ja suunta (tai kulma) linjan.

Jos kompleksi on $a + i b$ , viivan pituus on $\sqrt a 2 + b 2$ , pituus, jota Argand kutsuu kompleksin moduuliksi, koska se on yksikkö, jolla se on jaettava suuntansa löytämiseksi .

Tarjoamalla tämän kompleksien esityksen geometrisessa muodossa, Argandin tavoite on kaksinkertainen:

todistaa niiden kompleksien todellisuus , joita tuon ajan ihmiset pitävät edelleen kuvitteellisina ja yksinkertaisina laskutoimituksina;
antaa geometrinen työkalu, joka voi yksinkertaistaa huomattavasti algebrallisten ongelmien ratkaisua.

Tämän työkalun ansiosta se tarjoaa jopa todistuksen algebran (epätäydellinen) peruslauseesta .

Hänen esseensä seuraukset

Tämä essee julkaistiin vuonna 1806, jonka julkaisi merkittävä muukalainen, ja tämä essee joutui nopeasti unohduksiin. Argand oli toimittanut kopion Legendrelle kritiikkiä varten, mutta tämä ei ollut reagoinut, paitsi François Françaisille lähetetyssä kirjeessä . Tämän kirjeen löysi Jacques Frédéric Français , edellisen veli, Imperiumin tykistö- ja teknillisen korkeakoulun professori, joka kehitti saman käsitteen, lisäsi siihen hyödynnettävän merkinnän ja teki siitä artikkelin Gergonnen Annales de matematiikassa. vuonna 1813. Hän tunnistaa, että idea ei ole hänen oma, ja etsii kirjoittajaa. Sitten seuraa kahden miehen välinen kirjeenvaihto, Argand pyrki turhaan antamaan algebrallisen esityksen ulottuvuuden kolmesta avaruudesta.

Tämä algebrallisen työkalun geometrinen käsitys on kuitenkin ristiriidassa eräiden aikojen matemaatikkojen loogisen mielen kanssa, jotka pitävät sitä vain laskennan taidona. Sillä välin muut matemaatikot kehittävät itsenäisesti saman idean. Vasta kun Gauss ja varsinkin Cauchy tarttuivat tähän ajatukseen, tämä käsitys sai aateliskirjeensä ja siitä tuli ponnahduslauta, joka antoi Hamiltonille mahdollisuuden luoda kvaternioneja .

Argandin eriarvoisuus

Argand työskenteli algebran peruslauseen käsittelemällä d'Alembertin (epätäydelliset) todisteet pystymättä toimittamaan täydellisiä todisteita. Hänen päättelynsä perustuu lähestymistapaan, joka sisältyy tulokseen, jota joskus kutsutaan Argandin eriarvoisuudeksi:

Lause - Olkoon P olla ei-vakio polynomi , jossa on monimutkainen kertoimia . Sitten kaikilla komplekseilla c, jotka eivät ole P: n juuria , on sellainen kompleksi c ' , että

{\ displaystyle | P (c ') | <| P (c) |.}

Esittely

Argandin esittely oli geometrinen. Tässä on moderni, algebrallinen todiste.

Käydään läpi seuraavat lemman: anna k olla ei-nolla positiivinen kokonaisluku, ja jossa b ei-nolla monimutkainen ja R polynomi peruuttamalla ulos 0. On sitten olemassa monimutkainen z siten, että . ${\ displaystyle Q (z) = 1 + bz ^ {k} + z ^ {k} R (z)}$ ${\ displaystyle | Q (z) | <1}$

Olkoon r todellakin monimutkainen sellainen . Sitten meillä on: ${\ displaystyle br ^ {k} = - 1}$

{\ displaystyle \ forall t \ in [0,1] \ quad Q (rt) \ leqslant \ left | 1-t ^ {k} \ right | + \ left | r ^ {k} t ^ {k} R ( rt) \ oikea | = 1-t ^ {k} + t ^ {k} \ vasen | r ^ {k} R (rt) \ oikea |}

ja R : n jatkuvuuden perusteella on olemassa t ∈] 0, 1] sellainen, että siten: ${\ displaystyle \ vasen | r ^ {k} R (rt) \ oikea | <1,}$

{\ displaystyle Q (rt) <1-t ^ {k} + t ^ {k} = 1.}

Riittää sitten soveltaa lemmaa polynomiin

{\ displaystyle Q (z) = {\ frac {P (c + z)} {P (c)}}}

saadaksesi halutun tuloksen.

Toimii

Essee tapa kuvitella suuria määriä geometrisissa rakenteissa verkossa ja kommentoida bibnum- sivustoa.
Essee tapaa kuvitella suuria määriä geometrisissa rakenteissa , Gauthier-Villars, Pariisi, 1874 - Argandin ensimmäinen teksti, samoin kuin sarja hänen viestintöjään Annales de Gergonnen komplekseista.

Huomautuksia ja viitteitä

Dominique Flament, Kompleksilukujen historia , CNRS Éditions , s. 164 .
François-Joseph Servois ( 1768-1847 ).
Caspar Wessel , julkaistu vuonna 1799, mutta ei huomannut.
Adrien-Quentin Buée vuonna 1806 ( Muistelmat kuvitteellisista määristä ).
John Warren (1796-1852) vuonna 1828 Englannissa ( Tutkimus negatiivisten määrien neliöjuurien geometrisestä esityksestä) .
Claude-Victor Mourey vuonna 1828 Ranskassa ( Negatiivisten ja oletettavasti kuvitteellisten suureiden todellinen teoria ).
Jean-Robert Argand, " Matemaattinen filosofia. Heijastuksia kuvitteiden uudesta teoriasta, jota seurasi soveltaminen analyysilauseen esittelyyn ”, Annales de Gergonne , voi. 5, 1814, s. 197-209.
Odile Kouteynikoff, " " Argandin osoittama algebran peruslause " ", Bulletin de l ' APMEP , nro 462, 2006, s. 122-137 .
Algebrallisemmin, kun merkitään r k R ( rt ) = a 1 t + a 2 t 2 +… + a m t m , riittää, että valitaan t (∈] 0, 1]) tarkasti vähemmän kuin summan käänteinen (mahdollisesti nolla) taivutusvastukset j .

Ulkoiset linkit

Auktoriteettitiedot :