Kokoonpanolaki

Vuonna matematiikassa , tarkemmin sanoen yleisen algebran , annettiin kaksi sarjaa E ja F , joka on koostumus laki (tai yksinkertaisesti laki ) päälle E on joko kartta on F × E in E , tai karttaa on E x F in E . Toisin sanoen, se on binäärioperaatio , jolle joukko E on vakaa .

Kokoonpanolakia on kahta tyyppiä:

jos F = E, puhumme sisäisestä kokoonpanolakista ;
jos F ≠ E, puhumme ulkoisesta kokoonpanolakista .

Käytännössä monet kirjoittajat käyttävät "kokoonpanolakia" synonyyminä sanalle "sisäisen kokoonpanon laki" (esim. Bourbaki ja Lang).

Sisäiset ja ulkoiset koostumuslakeja käytetään määrittelemään algebralliset rakenteet , joilla on etuoikeutettu paikka yleisessä algebrassa .

Yksityiskohtainen määritelmä

Koostumus laki * : E x F → G , jossa G = E tai G = F , on kartta päässä E x F ja G , joka liittää kunkin parin ( x , y ) on E x F , elementti G merkitään yleensä " x * y " (sen sijaan, että funktionaalisen merkintä "* ( x , y )"), ja jota kutsutaan yhdiste on x ja y , tai tuote on x ja y .

X ja Y ovat joskus luokitella operandeina , koska laki ei ole mitään muuta kuin binäärinen funktio , joten yksittäistapauksessa toiminnan (eli n-arvoisen toiminto).

G on oltava yhtä kuin E tai F . Tarkemmin :

jos E = F = G , lakia *: E × E → E kutsutaan sisäisen koostumuksen lakiksi E: ssä ;
jos E ≠ F ja G = F , laki *: E x F → F kutsutaan lakia ulkoisen koostumuksesta vasemmalla päälle F tai lakia ulkoisen koostumuksesta , ja E on sitten verkkotunnus toimijoiden ;
jos E ≠ F ja G = E , laki *: E x F → E kutsutaan lakia ulkoisen koostumuksen oikean päälle E toimialueen F .

Sisäisen kokoonpanon lait

yhteenveto

Sisäiset kokoonpanolakit (joskus kutsutaan "sisäisiksi laeiksi") ovat E × E → E: n sovelluksia . Niitä käytetään määrittelemään yleisessä algebrassa tutkitut algebralliset rakenteet : ryhmät , renkaat , kentät jne.

Sisäisellä koostumuslakilla voi olla erilaisia ominaisuuksia: kommutatiivisuus , assosiatiivisuus jne.

Esimerkkejä sisäisistä kommutatiivisista koostumuslakeista

Lisäksi on , , , tai $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
moninkertaistuminen in , , , tai . $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
mikä tahansa abelilaisten ryhmien laki
mikä tahansa renkaan additiivinen laki
mikä tahansa kentän additiivinen laki
mikä tahansa vektoritilan additiivinen laki
mikä tahansa kommutatiivisen renkaan moninkertaistuva laki
mikä tahansa kommutatiivisen kentän multiplikatiivinen laki

Muita esimerkkejä sisäisestä kokoonpanolakista

vähennys on , , tai $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
jako on , tai ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {C}} ^ {*}$
matriisitulo
koostumus toiminnot
mikä tahansa ryhmän laki
mikä tahansa renkaan moninkertaistuva laki
mikä tahansa elimen kerrottava laki

Ulkoiset kokoonpanolakit

yhteenveto

Lait ulkoinen koostumus (joskus kutsutaan "ulkoinen lait") ovat sovelluksia F × E → E . Niiden avulla määritellään myös yleisessä algebrassa tutkitut algebralliset rakenteet .

Mutta toisin kuin sisäinen kokoonpanolaki, ulkoinen kokoonpanolaki sisältää ulkopuolisia elementtejä, joita kutsutaan operaattoreiksi tai skalaareiksi . Ulkoista kokoonpanolakia voidaan siten pitää F : n operaationa E: ssä . Sitten sanomme, että " F toimii E: llä ".

Esimerkkejä ulkoisista kokoonpanolakeista

Kokonaisluku potenssiinkorotusta todellinen määrä on laki vuonna . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ kertaa \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {R}$
For K - vektoriavaruuden E , The kertominen vektorin skalaarilla on laki K × E in E .

Merkinnät

Kokoonpanolakeja on useita:

yleisin on infix- merkintä ; se edellyttää sulkujen käyttöä operaatioiden suorittamisjärjestyksen määrittämiseksi, jos niitä on useita:

{\ displaystyle x * y}

lain symboli jätetään joskus pois, kertolasku merkitään usein yksinkertaisella rinnakkain:

{\ displaystyle xy}

etuliite tai puola , merkinnät eivät tarvitse sulkeita:

{\ displaystyle * xy}

, joskus

{\ displaystyle * x, y}

pääte merkintä tai käänteinen puola , myös annostelee kanssa suluissa:

{\ displaystyle xy *}

, joskus

{\ displaystyle x, y *}

Katso myös

Huomautuksia

vrt. Bourbaki s. A I.1
vrt. Lang s. 3.

Viitteet

N. Bourbaki , Matematiikan elementit , voi. II: Algebra, luvut 1-3 , Berliini, Springer,1970( Repr. 2007), 2 th ed. ( ISBN 978-3-540-33849-9 , online-esitys ).
(en) Serge Lang , Algebra , New York / Berliini / Heidelberg jne., Springer, coll. "Matematiikan perustutkintotekstit",2002( Repr. 2010), 3 e ed. , 914 Sivumäärä ( ISBN 0-387-95385-X , lue verkossa ).