Vektorituote
On matematiikka , erityisesti geometria , vektori tuote on operaatio vector tehdään Euclidean tiloissa suuntautunut ja ulottuvuus 3. formalismia tällä hetkellä käytetty ilmestyi 1881 vektorianalyysikaavio manuaalinen kirjoittanut Josiah Willard Gibbs hänen opiskelijoille fyysinen. Hermann Günther Grassmannin ja William Rowan Hamiltonin työ on Gibbsin määrittelemän ristituotteen alkuperä.
Historia
yhteenveto
Perustaminen käsitteen vektorin tuote otetaan pois toisella puoli on XIX E -luvulla , vaikka Lagrangen käyttää vuonna 1773 määriä verrattavissa komponenttien ristitulo kahden vektorin. Mutta tämä käyttö rajoittuu kertakäyttöön. Vuonna 1843 Hamilton keksi kvaternionit, jotka mahdollistivat ristituotteen tuomisen luonnollisesti. Itsenäisesti ja samana aikana (1844) Grassmann määrittelee Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematikissa "geometrisen tuotteen" geometrisista näkökohdista; mutta siinä ei määritellä selvästi ristituotetta. Sitten Grassmann luki Hamiltonin ja sai työnsä innoittamana julkaista vuonna 1862 toisen selvityksensä, joka oli paljon selvempi. Samoin Hamilton lukee Grassmannin teoksia, kommentoi niitä ja arvostaa niitä. Myöhemmin Maxwell alkoi käyttää kvaternioniteoriaa soveltamaan sitä fysiikkaan. Maxwellin jälkeen Clifford muutti perusteellisesti vektorianalyysin muodollisuutta . Hän on kiinnostunut Grassmannin ja Hamiltonin työstä etusijalla selvästi edelliselle. Työssään Elements of Dynamic (1878) Clifford määrittelee kahden vektorin ristituotteen vektoriksi, joka on kohtisuorassa kahteen vektoriin nähden ja joiden suuruus on yhtä suuri kuin näiden kahden vektorin muodostaman suunnan alue. Vuonna 1881 Gibbs julkaisi fysiikan opiskelijoiden käyttöön järjestettyjä vektorianalyysin elementtejä inspiroimalla aiempia töitä, mukaan lukien Clifford ja Maxwell. Jos fyysikot käyttivät nopeasti Gibbsin formalismia, se hyväksyttiin matematiikassa vasta paljon myöhemmin ja useiden muutosten jälkeen.
Anekdootti
Peter Guthrie Tait kuvaa kvaternioneja käsittelevän tutkielmansa kolmannen painoksen esipuheessa Gibbsin luomaa uutta formalismia "hermafrodiittimonsterinä, joka koostuu Hamiltonin ja Grassmannin merkinnöistä" .
Luokitus
Ristituotteesta kilpailee useita merkintöjä:
Tässä artikkelissa käytetään ensimmäistä käytäntöä (vektorien nuolilla tai ilman).
Määritelmä
Olkoon E olla orientoitua vektori tilaa ulottuvuus 3. valinta, joka ortonormaali kanta , E voidaan tunnistaa tilan R 3 , mutta tämä tunnistaminen ei ole pakollista määritellä vektori tuote.
Vuodesta geometrinen näkökulmasta ,
ristitulo kahden vektorien ja on E ei samalla suoralla on määritelty yksittäistä vektoria siten, että:
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
- vektori on kohtisuorassa kahden annetun vektorin suhteen;w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
-
‖w→‖=‖u→‖‖v→‖|synti(u→,v→^)|{\ displaystyle \ | {\ vec {w}} \ | = \ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ | \ left | \ sin ({\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}}) \ oikea |} ;
- pohja on yksinkertainen ,(u→,v→,w→){\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}})}
ja kahden kollineaarisen vektorin ristitulo on määritelmän mukaan nolla .
Erityisesti :
- kaksi vektoria on kollineaarinen, jos (ja vain jos) niiden ristitulo on nolla;
- kaksi vektoria ovat kohtisuorassa vain ja vain, jos niiden ristituotteen normi on yhtä suuri kuin niiden normien tulo;
- ristituotteen moduuli on yhtä suuri kuin kahden vektorin ja .w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}
käsite voidaan ymmärtää tässä alkeellisella tavalla käyttämällä oikean käden sääntöä : peukalo, hakemisto ja kolmioina erotettu keskisormi osoittavat vastaavasti suunnan , ja . Tämä keskiasteen koulutuksessa käytetty määritelmä ei ole täysin tyydyttävä, mutta se on edelleen sovellettu ratkaisu, joka soveltuu erityisesti fysiikkaan (katso artikkelin suunta (matematiikka) teoreettisemmaksi).
u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
Määritelmä sekoitetulla tuotteella
Toinen määritelmä käyttää lähtökohtana determinanttien teoriaa ja sekoitetun tuotteen käsitettä . Sekoitettu tuote on kolme vektoria u , v , w , merkitään [ u , v , w ] on determinantti kolmen vektorit b ase o rtho n Ormee d irecte (BOND) yksi. Emäksen muutoskaava osoittaa, että tämä determinantti on riippumaton suoran emäksen valinnasta; geometrisesti se on yhtä suuri kuin suuntautunut tilavuus suuntaissärmiön tuettu vektorit u , v , w .
Kahden vektorin u ja v ristitulo on yksilöllinen vektori u ∧ v siten, että millä tahansa w : llä meillä on:
[u,v,w]=(u∧v)⋅w.{\ displaystyle [u, v, w] = (u \ wedge v) \ cdot w.}
Ristitulos tulkitaan suuntaissärmiön suunnatun tilavuuden vaihteluina kolmannen sivun funktiona.
Tällaisen määritelmän avulla on mahdollista määrittää ulottuvuuden n + 1 suuntautuneessa vektoritilassa n vektorin ristitulo.
Tämä määritelmä muotoillaan uudelleen turvautumalla euklidisten tilojen formalismiin . Vektori tuote u ∧ v on sitten kaksi vektoria ja lineaarinen kartta w : ⟼ [ u , v , w ] , annetaan Riesz edustuksen lause .
Komponenttien laskenta
Suora ortonormaalipohjan mielivaltainen valinta antaa tunnisteen E: stä ja . Merkitään koordinaatit u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) ja v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) .
R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}
Heidän ristituotteensa antaa:
u∧v=(u2v3-u3v2u3v1-u1v3u1v2-u2v1){\ displaystyle u \ wedge v = {\ begin {pmatrix} u_ {2} v_ {3} -u_ {3} v_ {2} \\ u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3} \\ u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1} \ end {pmatrix}}}.
Koska tämä kolmas määritelmä vastaa kahta edeltävää määritelmää, se on ulkoasulta huolimatta riippumaton suoran ortonormaalin perustan valinnasta, johon koordinaatit lasketaan.
Ominaisuudet
Algebralliset ominaisuudet
- Ristituote on jakelu-, kommutatiivinen tuote:
-
Jakelukyky suhteessa lisäykseen:
u∧(v+w)=u∧v+u∧w{\ displaystyle u \ wedge (v + w) = u \ wedge v + u \ wedge w},
- Yhteensopivuus skalaarilla kerrottamisen kanssa :
λ(u∧v)=λu∧v=u∧λv{\ displaystyle \ lambda (u \ wedge v) = \ lambda u \ wedge v = u \ wedge \ lambda v},
-
Antisymmetria :
u∧v=-v∧u{\ displaystyle u \ wedge v = -v \ wedge u}.
Nämä ominaisuudet johtuvat välittömästi sekoitetun tuotteen määrittelemästä ristituotteesta ja determinantin algebrallisista ominaisuuksista.
- Se ei ole assosiatiivista - toisin sanoen, että yleensä u ∧ ( v ∧ w ) ei ole yhtä suuri kuin ( u ∧ v ) ∧ w - ja tarkemmin sanottuna se tarkistaa kaksinkertaisen tuotevektorin yhtälöt :
u∧(v∧w)=(u⋅w)v-(u⋅v)wja(u∧v)∧w=(u⋅w)v-(v⋅w)u{\ displaystyle u \ wedge (v \ wedge w) = (u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w \ qquad {\ text {ja}} \ qquad (u \ wedge v) \ wedge w = ( u \ cdot w) v- (v \ cdot w) u}.
Todiste kaksinkertaisen ristituotteen yhtälöistä
Huomaa ensin, että molemmat yhtälöt johdetaan toisista antisymmetrian avulla ja että ne ovat välittömiä, kun suluissa olevat kaksi vektoria kaksoistuotteessa ovat yhteydessä toisiinsa. Mainitkaamme muutama monista menetelmistä toisen tai toisen osoittamiseksi, laskennallisimmasta tieteellisimpään.
- Voimme kehittää yhtälön kaksi jäsentä koordinaateina millä tahansa suoralla ortonormaalilla pohjalla ja nähdä, että nämä kaksi tulosta ovat samat.
- Tavallinen menetelmä on tehdä sama, mutta suoralla ortonormaalilla pohjalla, joka vastaa Gram-Schmidt-menetelmää (olettaen olevan vapaa), mikä yksinkertaistaa laskelmia.(u,v){\ displaystyle (u, v)}
- Voimme heti huomata, että on aina kaksi todellisia lukuja a , β siten, että
u∧(v∧w)=av+βw{\ displaystyle u \ wedge (v \ wedge w) = \ alfa v + \ beta w}
(todellakin, jos v ja w ovat toisistaan riippumattomia, niiden muodostama taso on ristitulon ortogonaali, mutta kaksoistulos kuuluu tähän kohtisuoraan) ja jopa (suorittamalla kahden jäsenen skalaarinen tulo u: lla ), että siellä on olemassa todellinen λ sellainen
u∧(v∧w)=λ((u⋅w)v-(u⋅v)w){\ displaystyle u \ wedge (v \ wedge w) = \ lambda ((u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w)}.
Osoitamme sitten, että λ on riippumaton u: sta , v: stä ja w: sta . Lopuksi lasketaan sen arvo yksinkertaisessa kokoonpanossa: Esimerkiksi, jos ( u , v ) on ortonormaali, u ∧ ( v ∧ u ) = v, siis λ = 1.
- Sen sijaan, että vertaisimme suoraan yhtälön kahta jäsentä, voimme verrata niiden pistetuloa mielivaltaiseen x- vektoriin käyttämällä Gramin determinantin ominaisuuksia :
(x⋅((u⋅w)v-(u⋅v)w))=(x⋅v)(u⋅w)-(x⋅w)(u⋅v)=Gramma(x,u;v,w)=((x∧u)⋅(v∧w))=[x,u,v∧w]=(x⋅(u∧(v∧w))).{\ displaystyle {\ begin {tasattu} (x \ cdot ((u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w)) & = (x \ cdot v) (u \ cdot w) - (x \ cdot w) (u \ cdot v) \\ & = \ operaattorin nimi {Gram} (x, u; v, w) \\ & = ((x \ wedge u) \ cdot (v \ wedge w)) \\ & = [x, u, v \ wedge w] \\ & = (x \ cdot (u \ wedge (v \ wedge w))). \ end {tasattu}}}
-
D.-J. Mercier, Esitystesti CAPES-matematiikassa, voi. 4 , Publibook, 2008 ( ISBN 978-2-74834110-2 ) , s. 301.
-
Korjattu harjoitus osoitteessa uel.unisciel.fr.
-
H. Muller, R. Weidenfeld ja A. Boisseau, Matematiikan MPSI , Bréal, 2008 ( ISBN 978-2-74950033-1 ) , s. 75 .
-
Lisätietoja on Wikikokoelman luvussa "Kaksinkertainen vektorituote" .
-
R. Ferréol, MPSI 09/10, harjoituksia euklidinen avaruus , liikunta 44.
-
P.Dupont , Johdatus geometriaan , De Boeck, 2002 ( ISBN 978-2-80414072-4 ) , s. 194, antaa tällä menetelmällä jopa yleiskuvan kaavasta missä tahansa ulottuvuudessa.
u∧(v∧w)+w∧(u∧v)+v∧(w∧u)=0{\ displaystyle u \ wedge (v \ wedge w) + w \ wedge (u \ wedge v) + v \ wedge (w \ wedge u) = 0}.
((bvs.′-b′vs.)2+(vs.klo′-vs.′klo)2+(klob′-klo′b)2)+(kloklo′+bb′+vs.vs.′)2=(klo2+b2+vs.2)(klo′2+b′2+vs.′2),{\ displaystyle \ vasen ((bc'-b'c) ^ {2} + (ca'-c'a) ^ {2} + (ab'-a'b) ^ {2} \ oikea) + (aa '+ bb' + cc ') ^ {2} = (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) (a' ^ {2} + b '^ {2} + c' ^ {2}),}
voimme helposti osoittaa tasa-arvon
‖u→∧v→‖2+(u→⋅v→)2=‖u→‖2‖v→‖2{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ wedge {\ vec {v}} \ | ^ {2} + ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) ^ {2} = \ | {\ vec {u}} \ | ^ {2} \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2}}
joka voidaan kirjoittaa myös muodossa:
(‖u→∧v→‖‖u→‖‖v→‖)2+(u→⋅v→‖u→‖‖v→‖)2=1,{\ displaystyle \ left ({\ dfrac {\ | {\ vec {u}} \ wedge {\ vec {v}} \ |} {\ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v }} \ |}} \ oikea) ^ {2} + \ vasen ({\ dfrac {{\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}} {\ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ |}} \ oikea) ^ {2} = 1,}
mikä vastaa trigonometristä identiteettiäsynti2(u→,v→^)+cos2(u→,v→^)=1{\ displaystyle \ sin ^ {2} ({\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}}) + \ cos ^ {2} ({\ widehat {{\ vec {u} }, {\ vec {v}}}}) = 1}ja mikä ei ole muuta kuin yksi tapa kirjoittaa Pythagoraan lause .
- Ensimmäiset yllä olevat algebralliset ominaisuudet ( bilineaarisuus ja kaksoisvektorituotekaava) tarjoavat ratkaisun vektorijako- ongelmaan u ∧ x = v , jossa tuntematon on vektori x ja data on kaksi vektoria u ja v , olettaen, että u ei ole nolla ja kohtisuorassa v: n suhteen (muuten resoluutio on välitön). Todellakin luvusta u ∧ ( v ∧ u ) = ║ u ║ 2 v päätellään, että x 0 = ( v ∧ u ) / ║ u ║ 2 on ratkaisu. Kuitenkin ydin lineaarisen kartan x ↦ u ∧ x on vektori linja R u , joten joukko ratkaisuja tämän lineaarinen yhtälö on x 0 + R u .
Invarianssi isometrian mukaan
Ristituote on muuttumaton suorien vektori-isometrioiden vaikutuksesta. Tarkemmin sanottuna kaikkien vektoreiden u ja v sekä E ja mistä tahansa kierto f on E , meillä on:
f[u∧v]=f(u)∧f(v).{\ displaystyle f \ left [u \ wedge v \ right] = f (u) \ wedge f (v).}
Tämä identiteetti voidaan todistaa eri tavalla lähestymistavasta riippuen:
Geometrinen määritelmä : Identiteetti on välitön ensimmäisen määritelmän kanssa, koska f säilyttää ortogonaalisuuden, suunnan ja pituudet.
Seostuote : Lineaarinen isomorfismi f jättää kolmen vektorin sekoitetun tuotteen invariantiksi. F ( u ): n , f ( v ): n , f ( w ): n sekoitetuote voidaan todellakin laskea kuvassa f suoralla ortonormaalilla perusteella, jolla lasketaan u: n , v: n ja w: n sekoitettu tuote . Itse asiassa edellinen identiteetti saadaan heti:
(f(u)∧f(v))⋅f(w)=[f(u),f(v),f(w)]=[u,v,w]=(u∧v)⋅w=f(u∧v)⋅f(w){\ displaystyle (f (u) \ kiila f (v)) \ cdot f (w) = [f (u), f (v), f (w)] = [u, v, w] = (u \ wedge v) \ cdot w \, = f (u \ wedge v) \ cdot f (w)}missä f ( w ) kulkee koko vektoriavaruuden, kun w kulkee sen läpi, koska f on bijektio, joten haluttu tasa-arvo.
Vaihtoehtoiset määritelmät
Lie
Mikä tahansa suora isometria ja R 3 on vektori kierto. Suorien isometrioiden joukko muodostaa klassisen Lie-ryhmän, jota kutsutaan nimellä SO (3) (toisin sanoen suljettu alaryhmä GL 3: sta ( R )). Sen Lie-algebra , jota merkitään niin (3), on gl 3: n ( R ) Lie-alialgebra, joka on määritelty SO (3): n tangenttitilaksi identiteetissä. Suora laskelma osoittaa, että se on kokoa 3 olevien antisymmetristen matriisien tila. Tämä tila on sitäkin vakaa Lie-koukulla.
Mikä tahansa koko 3 oleva antisymmetrinen matriisi A kirjoitetaan ainutlaatuisella tavalla
AT=(0-klo3klo2klo30-klo1-klo2klo10){\ displaystyle \ mathrm {A} = {\ begin {pmatrix} 0 & -a_ {3} & a_ {2} \\ a_ {3} & 0 & -a_ {1} \\ - a_ {2} & a_ {1} ja 0 \ loppu {pmatrix}}}
Tunnistamalla ja vektori , määritellään lineaarinen isomorphism välillä niin (3) ja R 3 . Lie koukku kuljetetaan tätä kautta isomorphism, ja R 3 perii Lien algebran rakenne. Kahden vektorin sulku [ u , v ] on tarkalleen u: n ja v: n ristitulo .
klo=(klo1,klo2,klo3){\ displaystyle a = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}
Todellakin, jos ja , niiden koukku lasketaan tuomalla vastaavat antisymmetriset matriisit ja :
u=(u1,u2,u3){\ displaystyle u = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}v=(v1,v2,v3){\ displaystyle v = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}U{\ displaystyle U}V{\ displaystyle V}
[U,V]=UV-VU=(0v1u2-u1v2v1u3-u1v3u1v2-v1u20v2u3-u2v3u1v3-v1u3u2v3-v2u30){\ displaystyle [\ mathrm {U}, \ mathrm {V}] = \ mathrm {U} \ mathrm {V} - \ mathrm {V} \ mathrm {U} = {\ begin {pmatrix} 0 & v_ {1 } u_ {2} -u_ {1} v_ {2} & v_ {1} u_ {3} -u_ {1} v_ {3} \\ u_ {1} v_ {2} -v_ {1} u_ {2 } & 0 & v_ {2} u_ {3} -u_ {2} v_ {3} \\ u_ {1} v_ {3} -v_ {1} u_ {3} ja u_ {2} v_ {3} - v_ {2} u_ {3} ja 0 \ end {pmatrix}}}Vastaavalla vektorilla, nimittäin , on siis koordinaatit
. Siksi tämä lähestymistapa määrittelee uudelleen ristituotteen.
[u,v]{\ displaystyle [u, v]}(u2v3-v2u3,u3v1-v3u1,u1v2-v1u2){\ displaystyle (u_ {2} v_ {3} -v_ {2} u_ {3}, u_ {3} v_ {1} -v_ {3} u_ {1}, u_ {1} v_ {2} -v_ {1} u_ {2})}
Jos noudatamme tätä lähestymistapaa, on mahdollista todistaa suoraan ristituotteen muuttumattomuus suorilla isometrialla.
f[u∧v]=f(u)∧f(v).{\ displaystyle f \ left [u \ wedge v \ right] = f (u) \ wedge f (v).}
Kuten Lie algebras, niin (3) on tunnistettu R 3 . The (lineaarinen) toiminta SO 3 ( R ) on R 3 on identifioitu toiminnan konjugaatio- niin (3). SO 3 ( R ) toimii siten Lie-algebrojen automorfismilla. Toisin sanoen yllä oleva identiteetti varmistetaan.
Kuvitteellisten kvaternionien tuotteena
Ristituote ja pistetuote on mahdollista löytää kahden puhtaan kvaternionin tuotteesta . Muistutuksena on, että kvaternionien H (ei-kommutatiivinen) kenttä on ulottuvuuden R ainutlaatuinen jatke. Sen kanoninen perusta on (1, i, j, k), jossa i: n , j: n ja k: n tuottama alatila muodostaa l puhdasta tilaa. quaternions, kanonisesti tunnistetaan R 3 . Nämä elementit varmistavat:
i2=j2=k2=ijk=-1{\ displaystyle {\ rm {i}} ^ {2} = {\ rm {j}} ^ {2} = {\ rm {k}} ^ {2} = {\ rm {ijk}} = - 1} ;
ij=-ji=k;jk=-kj=i;ki=-ik=j{\ displaystyle {\ rm {ij}} = - {\ rm {ji}} = {\ rm {k}} \ quad; \ quad {\ rm {jk}} = - {\ rm {kj}} = { \ rm {i}} \ quad; \ quad {\ rm {ki}} = - {\ rm {ik}} = {\ rm {j}}}.
Jos q 1 = a 1 i + b 1 j + c 1 k ja q 2 = a 2 i + b 2 j + c 2 k , tulo q 1 q 2 lasketaan välittömästi:
q1q2=-(klo1klo2+b1b2+vs.1vs.2)+(b1vs.2-b2vs.1)i+(vs.1klo2-vs.2klo1)j+(klo1b2-klo2b1)k.{\ displaystyle q_ {1} q_ {2} = - (a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2}) + (b_ {1} c_ {2} } -b_ {2} c_ {1}) {\ rm {i}} + (c_ {1} a_ {2} -c_ {2} a_ {1}) {\ rm {j}} + (a_ {1 } b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) {\ rm {k}}.}
Todellinen osa on lähimpään merkkiin q 1: n ja q 2: n skalaarituotto ; imaginaariosa on puhdas quaternion joka vastaa rajat tuotteen tunnistamisen jälkeen kanssa R 3 .
Tämä sattuma löytää selityksensä ryhmän SO (3) parametroinnista yksikkökvaterionien avulla.
Selittävät osat
Lineaarinen kartta lähettää 1-1, i ja -i , j ja -j, ja k on -k kutsutaan konjugaatio. Konjugaatti on quaternion q merkitään q . Kvaternioni on todellinen vain ja vain, jos se on yhtä suuri kuin sen konjugaatti. Sovellus määrittelee vektoritilassa H olevan sisäisen tuotteen . Kvaternionin sanotaan olevan yhtenäinen, kun sillä on normi 1. Tässä tapauksessa skalaarisen tuotteen määritelmästä seuraa, että se on käänteinen ja että sen käänteinen muoto on sen konjugaatti. Yksikkökvaterionien joukko, yksikköpallo S 3 , muodostaa kompaktin ja yksinkertaisesti yhdistetyn (Lie) ryhmän . Se vaikuttaa kuvitteellisten kvaternionien tilaan konjugaation avulla. Minkä tahansa yhtenäisen kvaternionin u ja minkä tahansa kuvitteellisen kvaternionin q suhteen :
(q,q′)↦qq′¯{\ displaystyle (q, q ') \ mapsto q {\ overline {q'}}} u⋅q=uqu¯=uqu-1.{\ displaystyle u \ cdot q = uq {\ overline {u}} = uqu ^ {- 1}.}
Tämä toiminta säilyttää standardin; toisin sanoen se on isometrian toiminta. Siksi se määrittelee ryhmien morfismin :
S3→SO(3){\ displaystyle S ^ {3} \ rightarrow SO (3)}Tämä morfismi on todellisuudessa SO-ryhmän universaali peite (3). Siksi se aiheuttaa isomorfismin Lie-algebrojen välillä.
S 3: n Lie-algebra on täsmälleen kuvitteellisten kvaternionien tila, joka on varustettu Lie-koukulla, joka saadaan kuvitteelliseksi osaksi kvaternionien tulosta. Tämä Lie-algebra on isomorfinen Lie-algebraan R 3 (ristituotteen mukana).
Tämä on perussyy siihen, miksi kahden kuvitteellisen kvaternionin kuvitteellinen osa identifioidaan ristituotteeseen.
Jälleen kerran on mahdollista perustella muuttumattomuus isometrialla. Mikä tahansa kuvitteellisten kvaternionien avaruuden isometria kirjoitetaan konjugaationa yhtenäisellä kvaternionilla. Jos q on yhtenäinen kvaternioni ja q 1 , q 2 ovat kuvitteellisia kvaternioneja, riittää huomata:
[qq1q¯].[qq2q¯]=q(q1q2)q¯{\ displaystyle \ left [qq_ {1} {\ overline {q}} \ right]. \ left [qq_ {2} {\ overline {q}} \ right] = q (q_ {1} q_ {2}) {\ yliviiva {q}}}päätellä ristituotteen isometrinen muuttumattomuus.
Tensorituotteella
Antaa olla kaksi vektoria u ja v, joiden 3 suorassa ortonormaalipohjassa olevia koordinaatteja on merkitty vastaavasti ja . Voimme määrittää tensorin, jonka 9 koordinaattia ovat
ui{\ displaystyle u_ {i}}vj{\ displaystyle v_ {j}} u⊗v{\ displaystyle u \ otimes v}
(u1v1u1v2u1v3u2v1u2v2u2v3u3v1u3v2u3v3){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u_ {1} v_ {1} & u_ {1} v_ {2} & u_ {1} v_ {3} \\ u_ {2} v_ {1} & u_ {2} v_ {2} & u_ {2} v_ {3} \\ u_ {3} v_ {1} & u_ {3} v_ {2} & u_ {3} v_ {3} \\\ end {pmatrix}}}joka kirjoitetaan tensorial-merkinnällä yksinkertaisesti .
(u⊗v)ij=uivj{\ displaystyle (u \ otimes v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j}}
Tämä tensori voidaan jakaa kahden tensorin puolisummaksi, joista toinen on täysin symmetrinen, jolla on 6 itsenäistä koordinaattia , ja toinen täysin anti-symmetrinen, jolla on 3 itsenäistä koordinaattia .
u⊙v=u⊗v+v⊗u{\ displaystyle u \ odot v = u \ otimes v + v \ otimes u}(u⊙v)ij=uivj+viuj{\ displaystyle (u \ odot v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j} + v_ {i} \, u_ {j}}u∧v=u⊗v-v⊗u{\ displaystyle u \ wedge v = u \ otimes vv \ otimes u}(u∧v)ij=uivj-viuj{\ displaystyle (u \ wedge v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j} -v_ {i} \, u_ {j}}
Voimme yhdistää ja vektorin z, jonka koordinaatit ovat:
u∧v{\ displaystyle u \ wedge v}
z1=(u∧v)23,z2=(u∧v)31,z3=(u∧v)12{\ displaystyle z_ {1} = (u \ wedge v) _ {23}, \; z_ {2} = (u \ wedge v) _ {31}, \; z_ {3} = (u \ wedge v) _ {12}}joka voidaan kirjoittaa käyttäen Levi-Civita-symbolia e{\ displaystyle \ varepsilon}zk=eijkuivj{\ displaystyle z_ {k} = \ varepsilon _ {ijk} \, u_ {i} \, v_ {j}}
Mukaan Einsteinin summaus yleissopimus , me rahasumman i ja j edellä olevassa kaavassa. Esimerkiksi k = 3 ( i ja j vaihtelee 1-3) ,.
z3=eij3uivj=e123u1v2+e213u2v1=u1v2-v1u2{\ displaystyle z_ {3} = \ varepsilon _ {ij3} \, u_ {i} \, v_ {j} = \ varepsilon _ {123} \, u_ {1} \, v_ {2} + \ varepsilon _ { 213} \, u_ {2} \, v_ {1} = u_ {1} \, v_ {2} -v_ {1} \, u_ {2}}
Koska tämä tasa-arvo säilyy suoran ortonormaalipohjan muutoksen aikana, z on todellakin u: n ja v: n ristitulo .
Huomautus: Edellä kirjoitettaessa tarkoittavat ulkotuotteena vektorien U ja v . Ristituotteen merkinnällä voimme kirjoittaa jne. mikä ei aiheuta ongelmia. Ranskalaisella ristituotteen merkinnällä saamme sen, mikä voi johtaa sekaannukseen.
u∧v{\ displaystyle u \ wedge v}×{\ displaystyle \ kertaa}(u×v)1=(u∧v)23{\ displaystyle (u \ kertaa v) _ {1} = (u \ wedge v) _ {23}}∧{\ displaystyle \ wedge}(u∧v)1=(u∧v)23{\ displaystyle (u \ wedge v) _ {1} = (u \ wedge v) _ {23}}
Yleensä tukiasema ei ole välttämättä suora tai normaali. Kuten ulompi tuote on määritelty luontaisesti (määritelmä tensor), ilmentyminen sen koordinaatit on muuttumaton: . Mutta se ei ole sama ristituotteelle. Minkä tahansa tukikohdan yleistämiseksi (aina dimensiossa 3) on tarpeen lisätä kovariaattiset ja ristiriitaiset koordinaatit sekä Levi-Civita-tensoriu∧v{\ displaystyle u \ wedge v}(u∧v)ij=uivj-viuj{\ displaystyle (u \ wedge v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j} -v_ {i} \, u_ {j}} η{\ displaystyle \ eta}
Sitten saamme tai vastaavalla tavallazk=ηijkuivj{\ displaystyle z_ {k} = \ eta _ {ijk} \, u ^ {i} \, v ^ {j}}zk=ηijkuivj{\ displaystyle z ^ {k} = \ eta ^ {ijk} \, u_ {i} \, v_ {j}}
Algebrallisista ominaisuuksista
Ristituotteen kuvaus mitassa 3
Lause: jos bilineaarinen kartta merkitty mukaan on E , E todellinen vektori tilaa ulottuvuus 3, täyttää kaikki :
∧{\ displaystyle \ wedge}E×E{\ displaystyle E \ kertaa E}u,v,w{\ displaystyle u, v, w}
- Vaihtosääntö: (u∧v)⋅w=u⋅(v∧w){\ displaystyle (u \ wedge v) \ cdot w = u \ cdot (v \ wedge w)}
- Kaksinkertainen tuotekaava: u∧(v∧w)=(u⋅w)v-(u⋅v)w{\ displaystyle u \ wedge (v \ wedge w) = (u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w \ qquad}
Sitten on olemassa suuntaus E , kuten on vektori tuote E .
∧{\ displaystyle \ wedge}
Esittelyn peräkkäiset vaiheet:
klo. Näytämme alkaen 1. ja sitten 2: sta.
‖u∧v‖2=‖u‖2‖v‖2-(u⋅v)2{\ displaystyle \ lVert u \ wedge v \ rVert ^ {2} = \ lVert u \ rVert ^ {2} \ lVert v \ rVert ^ {2} - (u \ cdot v) ^ {2}}‖u∧v‖2=(u∧v)⋅(u∧v){\ displaystyle \ lVert u \ wedge v \ rVert ^ {2} = (u \ wedge v) \ cdot (u \ wedge v)}
b. Siitä voidaan päätellä suoraan (tasa- arvo Cauchy-Schwarzin eriarvoisuudessa ) sitten laskemalla .
u∧v=0⇔(u,v) sidottu{\ displaystyle u \ wedge v = 0 \ Vasen nuoli (u, v) {\ text {linkitetty}}}u∧v=-v∧u{\ displaystyle u \ wedge v = -v \ wedge u}(u+v)∧(u+v){\ displaystyle (u + v) \ wedge (u + v)}
vs. Antaa olla kaksi ortogonaalista normalisoitua vektoria, sitten käyttämällä 1. ja a. osoitamme, että se on ortonormaali, sitten se ja .
e1,e2{\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}}e3=e1∧e2{\ displaystyle e_ {3} = e_ {1} \ kiila e_ {2}}(e1,e2,e3){\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}, e_ {3})}e2∧e3=e1{\ displaystyle e_ {2} \ kiila e_ {3} = e_ {1}}e3∧e1=e2{\ displaystyle e_ {3} \ kiila e_ {1} = e_ {2}}
d. Ilmaisemalla u ja v tässä suorassa ilmoitetussa perustassa laskemme koordinaatit , jotka osoittavat sitten, että ”ristitulos” todellakin on.
u∧v{\ displaystyle u \ wedge v}∧{\ displaystyle \ wedge}
Toinen luonnehdinta missä tahansa ulottuvuudessa a priori
Kutsutaan vektori tuote on euklidinen avaruus V bilineaarinen kartoitus merkitty x vaihtelee välillä V x V ja V , jolla on seuraavat ominaisuudet:
(x,y)↦x×y{\ displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ mapsto \ mathbf {x} \ kertaa \ mathbf {y}}
x⋅(x×y)=(x×y)⋅y=0{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) = (\ mathbf {x} \ kertaa \ mathbf {y}) \ mathbf {\ cdot y} = 0} (ortogonaalisuus),
ja:
|x×y|2=|x|2|y|2-(x⋅y)2{\ displaystyle | \ mathbf {x} \ kertaa \ mathbf {y} | ^ {2} = | \ mathbf {x} | ^ {2} | \ mathbf {y} | ^ {2} - (\ mathbf {x } \ cdot \ mathbf {y}) ^ {2}} (standardien välinen suhde),
missä ( x · y ) on pistetulo ja | x | on vektorin x normi . Samanarvoisesta koostumuksesta, käyttäen kulma θ vektorin välistä, on:
|x×y|=|x||y|syntiθ,{\ displaystyle | \ mathbf {x} \ kertaa \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | \ sin \ theta,}mikä on suunnan ( x: n ja y : n tasossa olevan ) suunnan alue, jolla on kaksi vektoria sivuille. On myös mahdollista osoittaa, että seuraava lauseke vastaa kahta edellistä:
|x×y|=|x||y| jos (x⋅y)=0{\ displaystyle | \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | ~ {\ mbox {si}} \ \ vasen (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} \ oikea) = 0}.
Todistamme sitten, että ei-triviaali ristituote voi olla olemassa vain mitoissa kolme ja seitsemän; lisäksi kolmiulotteisuudessa tämä ristituote on ainutlaatuinen merkkiä lukuun ottamatta.
Sovellukset
Mekaaninen
Määritämme rotaatio- operaattorin seuraavasti:
röyhtäyttää→ u→=∇→∧u→=|i→j→k→∂x∂y∂zuxuyuz|.{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operaattorin nimi {rot}}} \ {\ vec {u}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {u}} = {\ begin {vmatrix} {\ vec {i}} ja {\ vec {j}} ja {\ vec {k}} \\\ osittain _ {x} ja \ osittain _ {y} ja \ osittain _ {z} \\ u_ {x} ja u_ {y} & u_ {z} \ end {vmatrix}}.}
In solid-state-mekaniikka , se on toiminnassa hyvin paljon käytetty erityisesti suhde Varignon , joka sitoo kaksi vektori alalla on torsor . Toisaalta, Maxwellin yhtälöt on sähkömagnetismiin on ilmaistu pyöri- operaattori, sekä yhtälöitä nesteen mekaniikka , erityisesti Navier-Stokes .
Hetki voima määritellään ristitulo tämän voiman vektorin kytkemällä sen pisteen soveltamisen kääntöakseliin P huomioon:
F→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {F}}}}ATP→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {AP}}}}M→F/P→=F→∧ATP→=PAT→∧F→.{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {M}}} _ {\ vec {\ mathrm {F / P}}} = {\ vec {\ mathrm {F}}} \ kiila {\ vec {\ mathrm {AP }}} = {\ vec {\ mathrm {PA}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {F}}}.}
Se on peruskäsite kiinteässä mekaniikassa.
Tasoyhtälö avaruudessa
Olkoon A , B ja C avaruudessa kolme kohdistamatonta pistettä, joiden avulla voimme muodostaa tason ( ABC ).
M ( x , y , z ) kuuluu ryhmään ( ABC ) vain ja vain, jos M: n koordinaatittäyttävät yhtälön ( ABC ).
( ABC ): n suorakulmainen yhtälö on muodon ax + mukaan + cz + d = 0 , jossa a , b , c ja d ovat reaalilukuja ja on vektori, joka on normaali ( ABC ): lle, eli että sen skalaaritulos vektorin kanssa tai vektorin kanssa tai sen kanssa on nolla, joten si on vektori, joka on ortogonaalinen kahteen ( ABC ) ei-kollineaariseen vektoriin .
w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}ATB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}ATVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}BVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {BC}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}
Reals , b ja c ovat sen vuoksi vastaavat komponentit x , y ja z- vektorin , rajat tuote kaksi ei-samalla suoralla vektorit tason ( ABC ), esimerkiksi ja .
w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}ATB→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}ATVS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AC}}}
Tasogeometria
Olkoon ABCD suunnikas , eli meillä on suhde
ATB→=D.VS→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = {\ overrightarrow {DC}}}.
Kuten edellä määritelmässä todettiin, tämän suuntaisen pinta-ala on yhtä suuri kuin kahden vektorin ristitulon normi, johon se perustuu:
‖ATB→∧ATD.→‖{\ displaystyle \ left \ | {\ overrightarrow {AB}} \ wedge {\ overrightarrow {AD}} \ right \ |}.
Huomautuksia ja viitteitä
Huomautuksia
-
Kaikki kolmiulotteiset orientoidut euklidiset vektoritilat ovat kaksi kerrallaan isomorfia ; isomorfismi on hyvin määritelty isometria koostumukseen kiertämällä .
-
7-ulotteisissa tiloissa on itse asiassa mahdollista määritellä operaatio, jolla on samanlaiset ominaisuudet; katso " Vektorituote mitassa 7 ".
-
Voimme myös määrittää ristitulo n -1 vektorien suunnatulla vektori tilaa ulottuvuus n .
-
Toinen haittapuoli on, että ristituote ei ole assosiatiivinen eikä kommutatiivinen, mutta se koskee myös ei-assosiatiivisissa algebroissa olevia "tuotteita" .
-
Katso osio Määritelmä # Lie-tuotteena .
-
Tämän määritelmän ja edellisen vastaavuus osoitetaan esimerkiksi Wikikorkeakoulun oppitunnissa "Vektorituote" .
-
Saat esittelyä, katso esimerkiksi oppitunnin "vector tuote" on Wikiopisto .
Viitteet
-
Crowe 1994 .
-
Jean-Paul Collette, Matematiikan historia , t. 2, Vuibert, 1979 ( ISBN 0-7767-0164-9 ) , s. 244 .
-
Joseph-Louis Lagrange, " Analyyttiset ratkaisut joihinkin kolmion muotoisiin pyramideihin liittyviin ongelmiin ", Kuninkaallisen tiedeakatemian ja Belles-Lettresin uudet muistelmat ,1773, uusintapainos julkaisussa Serret, Œuvres de Lagrange , voi. 3, Gauthier-Villars ,1869( lue verkossa ) , s. 661-692
-
Jean Dieudonné (toim.), Abrégé d'histoire des mathematiques 1700-1900 [ yksityiskohtainen painos ], 1986, s. 107 .
-
Crowe 1994 , s. 85.
-
(in) William Clifford, Elements of Dynamic: Johdatus Study of Motion ja Rest in Kiinteät ja nestemäiset elimet , MacMillian ja Co (Lontoo)1878, s. 95
-
Cajori 1993 , s. 134 ja 136.
-
Cajori 1993 , s. 138.
-
" Vektorituote "
-
Kolmiulotteisen tavallinen ranskankielinen merkintä on , mutta kirjallisuudessa ei näytä olevan mitään mainintaa yleisestä tapauksestax∧y{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}}
-
(sisään) WS Massey, " Vektorien ristituotteet korkeamman ulottuvuuden euklidisissa tiloissa " , American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America , voi. 90, n ° 10,1993, s. 697–701 ( DOI 10.2307 / 2323537 , lue verkossa )
-
Massey (1993) ja (in) Robert B Brown ja Alfred Gray, " Vector cross products " , Commentarii Mathematici Helvetici , Birkhäuser Basel, voi. 42,1967, s. 222–236 ( DOI 10.1007 / BF02564418 , lue verkossa ) pyydä, että sovellus on kaksisuuntainen.
-
määritelmä kulman tilaan, jonka ulottuvuus n annetaan yleensä käyttäen pistetulo, olevan arvoinen
. Siksi ja soveltamalla Pythagoraan lauseen normien väliseen suhteeseen
, synti on aina positiivinen tällä aikavälillä. View (en) Francis Begnaud Hildebrand, Applied Mathematics Methods , Courier Dover Publications ,θ=(x⋅y)^=arccos(x⋅y|/(x||y|)), klovevs. 0≤θ≤π{\ displaystyle \ theta = {\ widehat {(\ mathbf {x \ cdot y})} = = arccos (\ mathbf {x \ cdot y} | / (\ mathbf {x} || \ mathbf {y} | )), \ \ mathrm {ja} \ 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}|x×y|=|x||y|syntiθ{\ displaystyle | \ mathbf {x} \ kertaa \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | \ sin \ theta}1992, Prentice-Hallin 1965 uusintapaino, 2. painos. , 362 Sivumäärä , tasku ( ISBN 978-0-486-67002-7 , lue verkossa ) , s. 24
-
(en) Pertti Lounesto , Cliffordin algebrat ja spinorit , Cambridge, Iso-Britannia, Cambridge University Press ,2001, 2 nd ed. , 338 Sivumäärä , tasku ( ISBN 978-0-521-00551-7 , LCCN 2001025396 , lue verkossa ) , s. 96-97.
-
(sisään) MG Kendall , N-ulottuvuuksien geometriakurssi , Courier Dover Publications ,2004, 63 Sivumäärä , tasku ( ISBN 978-0-486-43927-3 , LCCN 2004047769 , lue verkossa ) , s. 19
-
(in) ZK Silagadze, moniulotteinen vektorituote ,2002, " Math.RA / 0204357 " , vapaasti käytettävissä tekstiä puolesta arXiv ..
Mainitut teokset
-
(en) Florian Cajori , Matemaattisten merkintöjen historia [ yksityiskohdat painoksista ], 1993
- (en) Michael J. Crowe, Vektorianalyysin historia (en) : Vektorijärjestelmän idean kehitys , Dover ,1994, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1985), 270 s. ( ISBN 0-486-67910-1 , lue verkossa )
Katso myös
Aiheeseen liittyvät artikkelit
Bibliografia
Marcel Berger , Geometria [ yksityiskohdat painoksista ]
Ulkoinen linkki
www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf . "Ristituote, pseudoristituote ja antisymmetriset endomorfismit". 9 sivua.
QCM Prod , ilmainen python-ohjelma vektorituotteiden koulutukseen.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">