Maltan risti (mekanismi)

Maltan risti on mekaaninen laite, joka muuntaa jatkuvan pyörivän liikkeen nykivä kierto. Sen nimi johtuu sen samankaltaisuudesta maltan ristillä (✠, Jerusalemin Pyhän Johanneksen ritarin tai Maltan suvereenin ritarikunnan symboli ), mutta sillä on pyöreät sivut. Englanniksi ja espanjaksi tämä mekanismi on saanut nimensä Geneven kaupungista ( Geneven asema , Rueda de Ginebra ) - mutta englanniksi käytetään myös termiä Maltan risti .

Mekaaninen laite koostuu nokasta, jota ohjaa "seuraaja", joka mahdollistaa indeksoinnin .

Historiallinen

Keksijä Jules Carpentier Ranskassa, joka työskenteli Lumière-veljien kanssa , ja Oskar Messter , yksi saksalaisen elokuvan edelläkävijöistä, patentoivat maltalaiset ristikkolaitteet jo vuonna 1896. Mutta se on Maltan risti neljälle Pierre-Victor Continsouzan oksalle. jota käytettiin silloin eniten elokuvaprojektiolaitteissa.

Käyttää

Sitä käytetään erityisesti elokuvissa (ei-digitaalisissa) projektorissa ja harvoin kameroissa elokuvan etenemiseen: elokuvan on pysähdyttävä jokaisessa kuvassa sulkimen edessä (kuvaus) tai lampun edessä (projektio).

Tämä mekanismi löytyy mekaanisista laskureista (auton mittarilukema, veden tai kaasun kulutus jne.), Joissa se takaa lukujen kohdistamisen ja niiden kallistumisen jokaisessa pidätyksessä. Sitä käytetään myös koneissa, jotka toteuttavat tuotesiirron ja tarvitsevat odotusaikaa, kun se otetaan käyttöön (mitä kiertokangen kampi ei salli). Esimerkiksi se löytyy pakkauskoneissa käytettävien liikkeiden pohjalta: tuotteet viedään ruokakauppaan ennalta määrätyn määrän (pysäytysvaihe) mukaisesti ja sitten kääritään siirtoliikkeen (liikkeen vaihe) aikana.

Operaatio

Maltan ristimekanismin toiminta on seuraava: kampi tai vetävä pyörä, sylinteri pyörii jatkuvasti, säännöllisellä nopeudella ja kantaa sormea. Sormi menee uraan Maltan ristissä (vetävä pyörä), mikä saa sen pyörimään 1 / n kierrosta, missä n on ristin urien lukumäärä ( n = 4 vastakkaisessa kuvassa, 6 l-animaatiossa yllä).

Sitten sormi tulee ulos urasta, moottorisylinteri jatkaa tietään, kun maltan risti pysyy liikkumattomana. Osittain ontto keskussylinteri täydentää maltan ristin pyöristämistä; tämä stabiloi laitteen asemaa, kun sormi ei ole kiinni urassa.

Urien lukumäärä voi saada parillisia tai parittomia arvoja, yleensä välillä 4-10.

Vaihtoehdot

Sisäinen Maltan risti.
Maltan sisäisen ristin käyttö.
Pallomainen Maltan risti.

Vaihtoehtoja on kaksi: sisäinen Maltan risti ja pallomainen Maltan risti "tulppaanissa" (järjestelmä, jossa on samanaikaiset akselit).

Sisäisen maltalaisen ristin tapauksessa moottorin akseli (vetävä pyörä) on asennettu ulokevarteen ( uloke , sitä pidetään vain toisella puolella). Akseli on sen vuoksi herkempi taivutukselle, mikä voi olla ongelma, jos kuorma on raskas.

Lisäksi ajoaika on pidempi kuin puoli jaksoa: kuluu yli puolet vetopyörästä, jotta vetävä pyörä pyörii yhdellä lisäyksellä. Harjoittelun kesto (moottoriaika) on siten pidempi kuin lepo, toisin kuin ulkoinen maltalainen risti. Näin ollen suurin kiihtyvyys on pienempi, mutta siinä on kuitenkin epäjatkuvuuksia liikkeen alussa ja lopussa.

Pallomaisen maltalaisen ristin tapauksessa puu on myös ulotettava. Harjoitteluaika on puoli jaksoa; harjoittelun kesto on yhtä suuri kuin levon kesto.

Tributes

Jotkut elokuvantekijät ovat osoittaneet kunnianosoitusta tälle mekanismille, joka on välttämätöntä kuvaamisen ja elokuvalle heijastamisen kannalta:

Wim Wenders , The American Friend (1977): lapsi, Jonathanin ja Marianne Zimmermannin poika, leikkii puisella maltalaisella ristillä; ja elokuvassa Au fil du temps (1976) "elokuvaa ei olisi olemassa ilman tätä keksintöä" Bruno Winterin, projektorikorjaajan päähenkilön mukaan.
Martin Scorsese teoksessa Hugo Cabret (2011): kun Georges Méliès viimeistelee automaatinsa, viimeinen hänen asettamansa kappale on maltalainen risti.

Maltan risti oli Cinemeccanica (it) -projektorimerkin logo . Nykyinen logo ja sen CineCloud-tuotemerkin logo ovat tyylitelty maltalainen risti (katso logo virallisella sivulla ).

Mekaaninen tutkimus

Geometriset rajoitteet

Kriittinen toimintakohta on, kun sormi tulee uraan. Tämä edellyttää suhdetta kammen R säteen, toisin sanoen etäisyyden välillä sormen keskipisteen ja sitä tukevan vetävän pyörän keskipisteen välillä, ja keskietäisyyden E, toisin sanoen etäisyyden keskipisteen välillä vetävän pyörän ja Maltan ristin keskiosan. Jotta iskuja ei tapahtuisi, nopeusvektorin on oltava uran akselilla.

Kutsumme α puoleksi käytetyn pyörän kiertokulmasta vetävän pyörän kierrosta kohti

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {n}}}

radiaaneina

anna $α = π / 4 = 45 °$ neljälle uralle ja $α = π / 6 = 30 °$ kuudelle uralle. Sitten keskietäisyyden E, vetävän pyörän R 1 säteen ja käytetyn pyörän R 2 säteen välillä on seuraavat suhteet :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alfa}

Välillä 0 ja $π / 4$ (0 ja 90 °) sinifunktio kasvaa ja kosinifunktio vähenee α: ssa. Päättelemme, että tietyn keskus etäisyys, sitä enemmän urien meillä on (suurempi n on), sitä pienempi α on siis pienempi R 1 ja suurempi R 2 .

Esittely

Edustakaamme järjestelmää sormen tullessa uraan. Sijoitamme linjan, joka yhdistää pyörien keskipisteet vaakatasoon. Ura muodostaa siten kulman a vaakatasoon nähden, nopeusvektori on kohtisuorassa liikeradan suuntaan; kun sormi kuvaa ympyrää, nopeusvektoria kuljettava viiva on siten tangentti ympyrää, toisin sanoen kohtisuorassa säteen suhteen tässä kohdassa. Meillä on siis suorakulmainen kolmio on hypotenuusan E, jonka yksi kulmat on $π / n$ ja jonka vastakkaisella puolella kulma on pituus R 1 . Joten meillä on:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

Maltan ristille rajatun ympyrän säde on myös suorakulmion viereisen sivun pituus, ts.

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alfa.}

Lisäksi uran nimellisleveyden on oltava yhtä suuri kuin sormen nimellishalkaisija 2 r : pienempi, sormi ei pääse sisään, liian suuri, seurauksena olisi isku. Käytännössä on leikkiä: uran on oltava hieman sormea leveämpi liikkumisen sallimiseksi. Iskujen rajoittamiseksi on mahdollista käyttää niin sanottua "liukuva ilman välystä" -säätöä tai tarkemmin "tarkkaa ohjausta", jota merkitään H7 / g6, mutta tämä on kallista saavuttaa.

Haarojen pään leveyden on oltava nollasta poikkeava. Se on itse asiassa tarpeen asettaa vähintään leveys e 1 , joka riippuu halutusta vastuksen. Tämä asettaa ajonestosylinterin enimmäissäteen. Lisäksi kosketuksen on oltava tehokas, joten on olemassa vähimmäissäde, nimittäin:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ vasen ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ oikea) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

ulottuvuus e 1 on paksuus, joka on haluttava pitää haaran päässä riittävän lujuuden saavuttamiseksi.

Esittely

Meillä on nimelliset kertoimet (olettaen, että puhdistuma on nolla):

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

Tarvittavan vapauden takia se on itse asiassa välttämätöntä

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

ero (R 1 - r - e 1 ) - R 3 on peli.

Yhteyden on oltava tehokasta, joten meillä on myös välttämättä:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ vasen ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha }} \ oikea) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

Uran L vähimmäispituus saadaan ottamalla huomioon asento, johon sormi on eniten kiinni. Sitten meillä on suuntaamalla pituudet vasemmalle:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ vasen (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ oikea) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

Suurin pituus on se, että jätetään tarpeeksi materiaalia Maltan ristille kestämään stressiä. Jos kutsumme r a Maltan ristin akselin säteeksi ja e 2 haluamamme materiaalin vähimmäispaksuudeksi, meillä on:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Kinemaattinen tutkimus

Oletetaan, että vetävä pyörä (kampi) pyörii tasaisella kulmanopeudella ω (tasainen pyörimisliike). Vastakkaisessa kuvassa on esitetty mekanismi toiminnassa. Jos huomaamme kuten aiemmin

n urien lukumäärä maltalaisessa ristissä (vetävä pyörä);
α = 2π / n kahden uran välinen kulma

ja että esitämme raportin

{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ frac {1} {\ sin \ alpha}}}

sitten huomaamme, että:

vetävän pyörän suurin kulmanopeus on ;
${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}$
suurin kulmakiihtyvyys kannattaa urien lukumäärästä riippuen:
- n = 4: α 0 ≃ 3,82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0,375 × ω 2 ,
- n = 8: α 0 ≃ 0,268 × ω 2 ;
alkukulma- ja lopullinen kiihtyvyys eivät ole nollia, mikä tarkoittaa, että vetävään pyörään kohdistuu äärettömän kulman ( dirac ) tärinää käytännössä, jota järjestelmän joustavuus ja kitka rajoittavat.

Nämä nykimishuiput eivät aiheuta ongelmaa, kunhan ne pysyvät alhaisilla nopeuksilla ja inertioilla. Toisaalta niistä tulee kohtuuttomia suurille nopeuksille ja suurille kuormituksille.

Esittely

Kutsumme sisääntulokulmaa ja merkitsemme, e , kulmaa, jonka säde kulkee sormen läpi x- akselin kanssa ja joka kuvaa vetävän pyörän suuntaa. Kutsumme lähtökulmalla, ja me ilmi θ s , kulma, jonka akselin uran suhteessa x -akselin , ja joka luonnehtii suuntautuminen vedettävän pyörän.

Tutkimus ajoittaisuudesta

Tulokulma changes e muuttuu tasaisesti

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

kulmanopeus ω on negatiivinen piirustuksessa. Syöttökulman tuntiyhtälö on siis kirjoitettu

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

missä $φ$ on mielivaltaisesti valittu kulma t = 0: ssa. Graafista esitystä varten valitsemme $φ$ siten, että sormi tulee uraan t = 0, ts.

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha}

Harjoittelun kesto $τ$ vastaa vetopyörän kiertymistä kulmasta $φ$ symmetriseen kulmaan - $φ$ , ts.

{\ displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alfa - \ pi.}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ alpha - \ pi} {\ omega}}.}

Kokonaisjakso on yhtä suuri kuin $T = -2π / ω$ , joten harjoitusvaihe on murto-osa kokonaisjakson arvosta

{\ displaystyle {\ frac {\ tau} {T}} = {\ frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}}.}

Myöhemmin yksinkertaisuuden vuoksi määritämme θ: t funktiona. E eikä t .

Kulmasuhteiden tutkimus

Tulokulma liittyy poistumiskulmaan sillä, että kahdella suorakulmalla on sama vastakkainen puoli h :

{\ displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Joten meillä on

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ kertaa {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operaattorin nimi {arctan} \ vasen ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ oikea)}

Liikkuvuuden lait

Aluksi lasketaan seuraavat johdannaiset:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

ja samalla tavalla

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

Vetävän pyörän kulmanopeus saadaan ohituksella. Ottakaamme jälleen ilmentymisen tan θ s . Jos johdamme vasemman rajan, meillä on

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ oikea)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ vasen ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ oikea)}

ja johtamalla oikea käsi:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vasen ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ oikea) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

Kirjoittamalla kahden jäsenen tasa-arvon saamme

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Johtamalla määritetään kulmakiihtyvyys:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Huomaa, että tämä kiihtyvyys häviää, kun θ e = 0, joten nopeus on suurin tässä kohdassa ja

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}

Alkuperällä meillä on θ e = φ ja siksi

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2 } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \ neq 0}

alkuperässä on siis ääretön ääliö. Symmetrisesti liikkeen lopussa on ääretön ääliö.

Johtamalla kiihtyvyys saadaan ääliö liikkeen aikana:

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ vasen (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} \ oikea) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {tasattu}}}

Kiihtyvyys on suurin, kun ääliö peruutetaan, mikä tarkoittaa ratkaisemista:

{\ displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

eli asettamalla x = cos θ e

{\ displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ teksti {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

mikä on ehdottomasti positiivisen syrjinnän asteikon yhtälö

{\ displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

Yhtälö myöntää siis kaksi todellista ratkaisua

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Saamme joillekin n : n arvoille :

ei	k	x 1	x 2	θ e	Acc. enint.
4	√2	0,980	1.33	-0.200 rad (-11.5 °)	3,82 × ω 2
6	2	0,921	1.17	-0,400 rad (-22,9 °)	0,675 × ω 2
8	2.61	0,851	1.04	-0,552 rad (-31,6 °)	0,268 × ω 2

Digitaalinen sovellus

Harkitse elokuvaprojektoria, jossa on neljä uraa sisältävä maltalainen risti. Joten meillä on:

vetopyörä, jonka pyörimistaajuus on N = 24 Hz (24 kuvaa sekunnissa) tai ω = 2π N * 151 rad / s ;
suhde $k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1,41$ ;

ja niin

co 0 - 364 rad / s ; N 0 = 57,9 rpm ;
α 0 ≃ 8,69 × 104 4 rad / s 2 .

Huomautuksia ja viitteitä

" Maltese Cross " , projektorilla.mip.free.fr (katsottu 30. kesäkuuta 2016 )

Katso myös

Bibliografia

(en) John H.Bickford , jaksottaisen liikkeen mekanismit , New York, Industrial Press inc.,1972, 264 Sivumäärä ( ISBN 0-8311-1091-0 , lue verkossa ) , luku . 9 (”Geneven mekanismit”) , s. 127-138

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoiset linkit

Maltan risti Nantesin yliopiston sivustolla ( Java- lapsi-animaatio )
Maltan risti : sivusto, joka liittyy elokuvakirjan historiaan aikakirjojen kautta