Raja (topologia)

Vuonna topologia The rajalla on joukko (kutsutaan joskus myös "reunalla set") koostuu kohtia, intuitiivisesti, ovat "sijaitsee reunalla" Tästä, eli joka voidaan "lähestyä" sekä tämän sarjan sisä- että ulkopuolelta.

Määritelmä

Olkoon S olla osajoukko on topologinen avaruus ( E , T ).

On mahdollista määrittää S: n raja (usein merkitty ∂ S tai Fr S ) useilla vastaavilla tavoilla:

tarttuvuus ja S vailla sisätilojen ja S : $\ osittainen S = \ yliviiva {S} \ setminus {\ stackel {\ circ} {S}} ~;$
kaikki pisteet, jotka ovat kiinni sekä S: stä että sen täydentävistä : ${\ displaystyle \ osittainen S = {\ overline {S}} \ cap {\ overline {E \ setminus S}} ~;}$
joukko kaikki ”rajanylityspaikoilla” on S , eli pisteiden p ja E , joista saatavat naapurustossa on p - tai yksinkertaisesti kaikki ne on pohjan lähiöissä - on vähintään yksi piste S ja pisteen ulkopuolella S .

Ominaisuudet

Joukon raja on suljettu (toisen määritelmän mukaan kahden suljetun leikkauksena ).
Joukon raja on myös sen komplementaarinen (edelleen toisen määritelmän mukaan käyttämällä komplementaariseen siirtymän osallisuutta ).
Tarttuvuutta joukko on kokouksessa tämän kokoonpanon ja sen raja-: S = S ∪ ∂ S . Erityisesti joukko suljetaan vain ja vain, jos se sisältää sen rajan.
Sarjan sisätiloissa tämä sarja on riistetty sen reunasta. Erityisesti joukko on avoin vain ja vain, jos se on irti rajastaan.
Auki-kiinni ovat siis osia, jonka raja on tyhjä .
Avoimen (tai suljetun) raja on tyhjä sisustus. Todellakin, jos S on auki, ∂ S = S ∩ ( E \ S ) siksi int (∂ S ) ⊂ S ∩ int ( E \ S ) = ∅.
Äärellisen liiton raja sisältyy yleensä tiukasti rajojen liittoon, mutta jos A ja B ovat tarttumattomia - tai yleisemmin, jos A ∩ B = B ∩ A = ∅ - niin ∂ ( A ∪ B ) = ∂ ( A ) ∪ ∂ ( B ).

Esimerkkejä

Kun joukko todellisia lukuja kanssa tavanomaisten topologia :

${\ displaystyle \ osittainen \ vasen] 0.5 \ oikea [= \ osittainen \ vasen [0.5 \ oikea [= \ osittainen \ vasen] 0.5 \ oikea] = \ osittainen [0.5] = \ {0, 5 \}}$ ;
${\ displaystyle \ osittainen \ lakkaus = \ lakkaus}$ ;
${\ displaystyle \ osittainen \ mathbb {Q} = \ mathbb {R}}$ ;
${\ displaystyle \ osittainen (\ mathbb {Q} \ cap [0,1]) = [0,1]}$ .

Kaksi viimeistä esimerkkiä havainnollistavat, että tyhjän sisäosan raja on sen tarttuvuus.

Rajan raja

Kaikille ryhmille S SS sisältyy ∂S: ään, tasa-arvo tarkistetaan vain ja vain, jos ∂S on tyhjä sisustus.

Ryhmä suljettuna, ∂∂∂S = ∂∂S mille tahansa joukolle S. Rajaoperaattori tyydyttää siis heikon idempotenssin muodon .

Merkintä

erityistapauksessa on metrinen avaruus , pallot jonka keskipiste on p ja tiukasti positiivinen säde muodostavat perustan kaupunginosien s .