Kiertoradan nopeus

Ratanopeus on taivaallisten esineen , useimmiten planeetan , joka on luonnollinen satelliitti , An keinotekoinen satelliitti tai kaksoistähti , on nopeus, jolla se kiertää ympäri massakeskipisteen ja kahden kehon järjestelmä, joka on siis useimmiten ympärille enemmän massiivinen runko. Ilmaisua voidaan käyttää kuvaamaan kehon keskimääräistä kiertoradan nopeutta sen kiertoradalla tai hetkellistä kiertoradan nopeutta tietyssä pisteessä. Se ilmaistaan periaatteessa m / s , mutta usein km / h .

Kiertoradan hetkellinen nopeus

Hetkellinen ratanopeuden voidaan määrittää toinen laki on Kepler , nimittäin kiinteän ajan, segmentin oikea yhdistää painopisteen kehon kuvaa pinnan jatkuva, riippumatta osan kiertoradalla, että elin liikkuu tänä aikana. Tämän seurauksena kehon menee nopeammin lähellä sen periastron kuin apoastric .

Yleinen tapaus

Kiertoradan nopeus liittyy elävän voiman yhtälöön .

Kiertoradan nopeus saadaan:

v_ {o} = {\ sqrt {2 \ vasen ({\ mu \ yli {r}} + {\ varepsilon} \ oikea)}}

tai:

$\ mu$ on vakiopainoparametri ;
$r$ on kiertorungon ja kiertoradan keskipisteen välinen etäisyys;
$\ varepsilon$ on spesifinen kiertorataenergia .

Elliptisen kiertoradan tapaus

Kun spesifinen kiertorataenergia on negatiivinen, sekundaarirungon kiertorata on elliptinen ja sen kiertoradan nopeus saadaan:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ vasen ({2 \ yli {r}} - {1 \ yli {a}} \ oikea)}}

tai:

$\ mu$ on vakiopainoparametri ;
$r$ on toissijaisen rungon ja päärungon välinen etäisyys;
$klo$ on toissijaisen kappaleen kiertoradan puoli-pääakseli .

Kun toinen runko on tällä periastron, arvo , huomattava , saadaan , missä ja ovat osittain pääakselin ja epäkeskisyys kiertoradan toisen rungon. Toissijaisen rungon kiertoradan nopeus periastronissa saadaan seuraavasti: $r$ $r _ {{\ mathrm {per}}}$ $r _ {{\ mathrm {per}}} = a (1-e)$ $klo$ $e$ $v _ {{\ mathrm {per}}}$

v _ {{\ mathrm {per}}} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu (1 + e)} {a (1-e)}}}}

Kun toinen runko on tällä apoastric, arvo , huomattava , saadaan , missä ja ovat osittain pääakselin ja epäkeskisyys radan toisen rungon. Toissijaisen rungon kiertoradan nopeus apoastrolla saavutetaan seuraavasti: $r$ $r _ {{\ mathrm {ap}}}$ $r _ {{\ mathrm {ap}}} = a (1 + e)$ $klo$ $e$ $v _ {{\ mathrm {ap}}}$

v _ {{\ mathrm {ap}}} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu (1-e)} {a (1 + e)}}}}

Pyöreä kiertorata

Pyöreä kiertorata on määritelmän mukaan kiertorata, jolla ei ole epäkeskisyyttä.

Toissijaisen rungon kiertorata kiertoradalla saadaan:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ yli {r}}}

tai:

$\ mu$ on vakiopainoparametri;
$r$ on toissijaisen rungon ja päärungon välinen etäisyys.

Parabolisen liikeradan tapaus

Kun spesifinen kiertoradan energia on nolla, toissijaisen rungon liikerata on parabolinen ja sen kiertoradan nopeus saadaan:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ vasen ({2 \ yli {r}} \ oikea)}}

tai:

$\ mu$ on vakiopainoparametri ;
$r$ on toissijaisen rungon ja päärungon välinen etäisyys.

Hyperbolisen liikeradan tapaus

Kun spesifinen kiertorataenergia on positiivinen, toissijaisen rungon liikerata on hyperbolinen ja sen kiertoradan nopeus saadaan:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ vasen ({2 \ yli {r}} + {1 \ yli {a}} \ oikea)}}

tai:

$\ mu$ on vakiopainoparametri;
$r$ on toissijaisen rungon ja päärungon välinen etäisyys;
$klo$ on toissijaisen kappaleen kiertoradan puoli-pääakseli.

Hetkellinen nopeusvektori

Elliptisen kiertoradan tapauksessa olemme kiinnostuneita nopeusvektorista, koska se ilmaistaan keskirunkoon kiinnitetyssä (ei-Galilean) viitekehyksessä valitsemalla akseli Ox, joka osoittaa periastronin (Ox on siten pääakselin suuntainen ja suunnattu kohti kiertoradaa lähinnä olevaa pistettä).

Vektorin sijainti ja nopeus ovat lähtöolosuhteita, jotka ovat välttämättömiä dynamiikan perussuhteen integroimiseksi .

Kun tiedetään tietyllä hetkellä kehon sijainti kiertoradallaan, on kyse vastaavan nopeusvektorin määrittämisestä . ${\ displaystyle {\ vec {r}} = (r_ {x}, r_ {y})}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {x}, v_ {y})}$

Periapsiin tai apoastroon ratkaisu on yksinkertainen, koska nopeusvektori on kohtisuorassa sijaintivektoriin nähden näissä pisteissä.

Seuraavat suhteet ovat yleisempiä:

{\ displaystyle v_ {x} = - {\ frac {a} {r}} {\ frac {1} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} r \ {y} \ {\ piste {M }}}

{\ displaystyle v_ {y} = {\ frac {a} {r}} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ (r_ {x} + a \ e) \ {\ piste {M}} }

missä on keskimääräisen poikkeaman johdannainen ajan suhteen, toisin sanoen keskimääräinen liike : $\ piste M$

{\ displaystyle {\ dot {M}} = {\ sqrt {\ frac {G (m_ {1} + m_ {2})} {a ^ {3}}}}}

Merkintä :

Kun kiertoradan massa ei ole vähäinen keskimassaan verrattuna , sijainti- ja nopeusvektorit tulisi edustaa barycenteriin kiinnitetyssä inertiaalisessa viitekehyksessä. Edelliset suhteet ovat kuitenkin voimassa: m2{\ displaystyle m_ {2}} $m_ {2}$ m1{\ displaystyle m_ {1}} $m_1$ r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} $\ vec r$ v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}} ${\ vec v}$
- Nämä vektorit, jotka nähdään barycenteristä (samoin kuin ), ovat verrannollisia vektorien kanssa, jotka nähdään keskimassasta kerrannaissuhteella , ja yhtälöt ovat homogeenisia. $klo$ ${\ displaystyle m_ {1} / (m_ {1} + m_ {2})}$
- Toisaalta, koska keskimääräinen poikkeama ei muutu, väliintuleva osapuoli on määritelmässään edelleen ellipsin puolisuuri akseli, jonka painopiste on keskirunko. $M$ $klo$

Todiste

Havaitun todellisen poikkeaman määritelmän mukaan voimme ilmaista sijaintivektorin $\alasti$

{\ displaystyle r_ {x} = r \ cos (\ nu)}

{\ displaystyle r_ {y} = r \ sin (\ nu)}

Toisaalta, todellinen epäkohta liittyy eksentrinen anomalia totesi , että suhteet $E$

{\ displaystyle \ cos (\ nu) = {\ frac {a} {r}} (\ cos (E) -e)}

{\ displaystyle \ sin (\ nu) = {\ frac {a} {r}} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin (E)}

missä ja säde liittyvät $E$ $r$

{\ displaystyle r = a \ (1-e \ cos (E))}

Sitten voimme ilmaista sijainnin käyttämällä epäkeskoista poikkeamaa

{\ displaystyle r_ {x} = a \ (\ cos (E) -e)}

{\ displaystyle r_ {y} = a \ {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ \ sin (E)}

johdetaan sitten nämä suhteet ajan suhteen nopeuden saamiseksi

{\ displaystyle v_ {x} = - a \ \ sin (E) \ {\ piste {E}}}

{\ displaystyle v_ {y} = a \ {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ cos (E) \ {\ piste {E}}}

Kyse on nyt abstraktista siitä, kuka liittyy havaittuun keskimääräiseen poikkeavuuteen , keplerin yhtälön mukaisesti : $E$ $M$

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin (E) = M}

ja jonka aikajohdannainen on kirjoitettu

{\ displaystyle (1-e \ cdot \ cos (E)) \ {\ dot {E}} = {\ piste {M}}}

tai

{\ displaystyle {\ dot {E}} = {\ frac {a} {r}} \ {\ dot {M}}}

Lopuksi riittää, että vaihdetaan ja vedetään vastaavasti suhteisiin ja otetaan ne käyttöön suhteissa ja . ${\ displaystyle \ sin (E)}$ ${\ displaystyle \ cos (E)}$ ${\ displaystyle r_ {x}}$ ${\ displaystyle r_ {y}}$ $v_ {x}$ $v_ {y}$

Pieni laskelma antaa myös mahdollisuuden löytää yllä ilmoitetun nopeuden moduulin ilmaisu:

{\ displaystyle v_ {o} = \ | {\ vec {v}} \ | = {\ sqrt {\ mu \ vasen ({2 \ yli {r}} - {1 \ yli {a}} \ oikea)} }}

Keskimääräinen kiertoradan nopeus

Pyöreän kiertoradan tapaus

Keskimääräinen kiertoradan nopeus määritetään joko tietämällä sen kiertorata ja kiertoradan puolisuuri akseli tai kahden kappaleen ja puoli-pääakselin (joka on tässä ympyrän säde) massoista :

v_ {o} = {2 \ pi a \ yli T}

v_ {o} = {\ sqrt {MG \ yli r}}

missä v o on keskimääräinen kiertoradan nopeus, a on puoli-akselin pituus, r on kiertoradan ympyrän säde (= a ), T on kiertorata, M on kehon massa, jonka ympäri se kiertorata, jonka nopeuden haluamme laskea ja G on painovoiman vakio . Toisessa suhteessa tunnistamme kiertoradan ympyrän kehän ja matka-ajan välisen suhteen. Tämä on vain arvio, joka varmistetaan, kun kiertävän rungon massa on huomattavasti pienempi kuin keskirungon massa.

Kun kiertävän ruumiin massa ei ole vähäpätöinen verrattuna toiseen kehoon, on kyse siitä, että otetaan huomioon se tosiasia, että nämä kaksi kehoa liikkuvat toisiaan kiertoradoillaan. Tässä tapauksessa haluttu keskinopeus on se nopeus, joka mitataan barycenteriin kiinnitetystä Galilean vertailukehyksestä. Sen antaa suhde:

{\ displaystyle v_ {o} = {\ sqrt {m_ {1} ^ {2} \ G \ over (m_ {1} + m_ {2}) \ r}}}

jossa m 1 on massa keskirungon, m 2 tarkasteltavan kehon, ja r säde näiden kahden elimen. Tämä on jälleen erityistapaus, jossa kahden ruumiin kiertoradat ovat pyöreät .

Todiste

Antaa olla etäisyys kahden rungon ja etäisyys tarkasteltavan rungon ja barycenter. Kyse on keskimääräisen nopeuden arvioimisesta $r$ $R$

{\ displaystyle v_ {o} = {2 \ pi R \ yli T}}

Kun kahden kappaleen ongelma , on osoitettu, että

{\ displaystyle R = {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ r}

Käyttämällä Keplerin 3. laki , Isaac Newton osoitti suhde

{\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} a ^ {3}} {G (m_ {1} + m_ {2})}}}

jossa tässä on yhtä suuri kuin . $klo$ $r$

Saamme tuloksen korvaamalla tämän viimeisen suhteen. $T$

Elliptisen kiertoradan tapaus

Tässä tapauksessa riittää määrittämään ellipsin kehä (tai ympärysmitta) , mutta sitä ei voida ilmaista yksinkertaisilla funktioilla; on suositeltavaa hyödyntää toisenlaista elliptistä integraalitoimintoa . On kuitenkin olemassa likiarvoja; ensimmäinen (Keplerin takia) osoittaa oletusarvon ja toinen (Eulerin takia) antaa ylimääräisen arvon: $L$

{\ displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {ab}} \ leq L \ leq \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}}

a ja b ovat vastaavasti ellipsin kaksi puoliakselia, jotka on kytketty epäkeskeisyyteen e suhteen . Voimme päätellä $b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}$

{\ displaystyle {\ frac {m_ {1} ^ {2} \ G \ {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {(m_ {1} + m_ {2}) \ a}} \ leq v_ {o} ^ {2} \ leq {\ frac {m_ {1} ^ {2} \ G (1-e ^ {2} / 2)} {(m_ {1} + m_ {2}) \ a }}}

Huomautuksia:

Nämä ilmaisut liittyvät nopeuteen, joka mitataan barycenteriin kiinnitetystä vertailukehyksestä.
Suhteellinen ero vastaavien rajojen välillä on alle niin kauan kuin e on alle 0,1. $10 ^ {- 5}$
Tarkempi arvio saadaan ottamalla näiden kahden rajan juurien keskiarvo.

Esimerkki paradoksista

Kansainväliseltä avaruusasemalta (ISS) manuaalisesti maata kohti heitetyn pallon nopeus on lähes sama kuin avaruusaseman eli yli seitsemän kilometriä sekunnissa ja melkein yhdensuuntainen maapallon pinnan kanssa, joten se seuraa kiertorataa hyvin lähellä asemalle, tuskin elliptinen. Pallo lähestyy aluksi maata, siirtyy sitten poispäin ja puolen kiertoradan jälkeen ylittää ISS: n. Koko kiertoradan lopussa pallo liittyy teoriassa avaruusasemaan. Pallo ei siis putoa maapallolle.

Huomautuksia ja viitteitä

(in) " Miksi pallo heitetään maahan kiertoradalta" Boomerang ". Voivatko astronautit lyödä maata pallolla, nuolella tai luodilla? | Science 2.0 ” , www.science20.com ,2. joulukuuta 2015(käytetty 5. elokuuta 2020 ) .