Symmetrinen elementti

On matematiikka , käsite symmetrisen elementin yleistää käsitteet vastakkainen suhteessa lisäksi ja käänteinen suhteessa kertolasku.

Määritelmä

Olkoon E joukko, jonka sisäinen koostumuslaki antaa neutraalin elementin . Mieti kaksi elementtiä ja on E . ∗{\ displaystyle *} e∈E{\ displaystyle e \ sisään E}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}

• Jos , on mainittu symmetrinen elementti vasemmalle ja ja on mainitun symmetrinen elementti oikealle ja .klo∗b=e{\ displaystyle a * b = e}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}b{\ displaystyle b}klo{\ displaystyle a}
• Jos , sanotaan olevan symmetrinen elementti on .klo∗b=b∗klo=e{\ displaystyle a * b = b * a = e}klo{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}

E- elementin, joka hyväksyy ainakin yhden oikean symmetrisen, sanotaan olevan symmetroitavissa oikealle  ; jos se myöntää ainakin yhden symmetrisen vasemmalla puolella, sen sanotaan olevan symmetroitavissa vasemmalla  ; jos se sallii ainakin yhden symmetrisen elementin, sen sanotaan olevan symmetroitavissa .

Ominaisuudet

Jos on monoidi (ts. Jos se on assosiatiivinen ja jos E: llä on neutraali e tälle laille), meillä on seuraavat ominaisuudet: (E,∗){\ displaystyle (E, *)}∗{\ displaystyle *}

• jos elementillä b on symmetrinen vasen a, niin b on säännöllinen vasemmalla, koska∀x∈Eklo∗(b∗x)=(klo∗b)∗x=e∗x=x{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad a * (b * x) = (a * b) * x = e * x = x}(ja samalla tavalla korvaamalla kaikki vasemmalta oikealle);
• jos elementillä a on sekä vasen symmetrinen b että oikea symmetrinen c , niin b = c (ja symmetrinen on siksi ainutlaatuinen), koskab = b • e = b • ( a • c ) = ( b • a ) • c = e • c = c  ;
• E: n symmetroitavat elementit muodostavat ryhmän .

Esimerkkejä

• Millä tahansa reaaliluvulla on symmetrinen lisäys , merkitty . Millä tahansa reaaliluvulla, joka ei ole nolla, on kertolasymmetrinen merkintä .x{\ displaystyle x}-x{\ displaystyle -x}1x{\ displaystyle {\ tfrac {1} {x}}}
• Jos on yhtenäinen rengas, niin se on monoidi, jonka symmetroitavien elementtien ryhmää kutsutaan renkaan invertoimattomien ryhmäksi ja merkitään tai .(E,+,×){\ displaystyle (E, +, \ kertaa)}(E,×){\ displaystyle (E, \ kertaa)}U(E){\ displaystyle U (E)}E×{\ displaystyle E ^ {\ kertaa}}
• Jos E on kiinteän kokoisten neliömatriisien rengas, jonka kertoimet ovat kentässä , sen käänteisryhmä on lineaarinen ryhmä , joka koostuu matriiseista, joissa ei ole nolla- determinanttia . Jos matriisin determinantti on nolla, sillä ei ole symmetriaa vasemmalla tai oikealla puolella; symmetrian olemassaolo vasemmalle tai oikealle tarkoittaa tässä tapauksessa symmetrisen olemassaoloa.
• Yleensä neliömatriisi kommutatiivisessa renkaassa A on käännettävissä vain ja vain, jos sen determinantti on käänteinen A: ssa .

Katso myös

Käänteinen (selvitys)