Śulba-sutras ovat liitteet, Vedojen kuvataan säännöt tekevät uhrautuva alttareita tiettyjä Vedic rituaaleja . Tätä varten he esittävät lukuisia geometrisia rakenteita, jotka paljastavat monimutkaisen matemaattisen tiedon, etenkin sen, mitä me nykyään kutsumme Pythagoraan lauseeksi .
Śulba-Sūtrat ovat osa Kalpa-Sūtroja, käsikirjoja, jotka on omistettu vedillisille rituaalisille käytännöille, jotka muodostavat yhden kuudesta Vedangasta (Vedan liitteet), ja tarkemmin sanottuna Śrauta-Sūtroista, niistä käsikirjoista, jotka käsittelevät uhririittejä.
Śulba-Sūtrat on kirjoitettu sanskritiksi . Ne on kirjoitettu lyhyinä ja vaikeasti tulkittavina lauseina , joita kutsutaan sutriksi , mikä tarkoittaa kirjaimellisesti "sääntö" tai "ohje". Nämä sutrat ovat yleensä proosassa, mutta toisinaan ne voivat olla jakeessa.
Otsikko Śulba-sutrien tulee sanasta Sutra ja nimi śulba annettu jouset valmistamiseen käytetty alttareita. Se tarkoittaa etymologisesti "köyden sääntöjä".
Historioitsijat tunnistavat 8 tai 9 Śulba-Sūtraa, jotka kuuluvat seuraaville kirjoittajille: Baudhāyana, Mānava, Āpastamba, Kātyāyana, Laugāksi, Varāha, Vādhūla, Hiranyakeśin (ja Maitrāyayana). Neljä ensimmäistä muotoilevat omaa tutkielmaansa, kun taas toiset ovat vastaavien Śrauta-sūtrojen lukuja.
Arviot Śulba-Sūtran päivämäärästä ovat epävarmoja ja perustuvat yksinomaan kielellisiin argumentteihin (tyyli ja kielioppi). Ne olisi säveltänyt välillä 800-200 eKr. Vanhin voisi olla 800-500 eKr., Kun taas viimeinen olisi 350 eKr.
Śulba-sūtrat on tarkoitettu niiden Brahminien perheiden käyttöön, jotka ovat vastuussa isästä pojaan Vedin tärkeimmistä uhrirituaaleista. Ne kuvaavat alttarien ja tulisijaiden tiilirakennusta pakollisiin rituaaleihin ja erityistarkoituksiin.
Ei ole kuitenkaan selvää, miten Śulba-Sūtrasissa kuvatut rakenteet tehtiin käytännössä.
Śulba-Sūtroissa kuvatut erilaiset vedic-rituaalit ja näiden rituaalien avulla saavutettavat erilaiset tavoitteet liittyvät erimuotoisiin alttareihin (esimerkiksi alttari, joka on haukkamuotoinen saavuttaakseen taivaan, tai alttari, joka on muodoltaan alttari) tasakylkinen kolmio vihollisten tuhoamiseksi). Näiden alttarien muodot on tehtävä erittäin tarkasti ja vain köysien ja paalujen avulla, mikä vaatii geometrisen tiedon niiden rakentamiseksi.
On myös hyvin yleistä, että eri muotoisia, mutta saman pinta-alan alttareita on rakennettava, minkä historioitsijat ehdottavat selittävän joko sanomalla, että vastaavien alttarien on oltava samalla alueella, tai sanomalla, että sama määrä d pyhää energiaa nähtiin pystyvän ilmentymään eri tavoin. Tämä vaatimus vaatii alueen säilyttävien geometristen kuvioiden muuntamistekniikoita.
Śulba-Sūtras sisältää alttarien valmistuksen kuvauksissa monia sääntöjä geometristen kuvioiden rakentamiseksi. Seuraavat kohdat esittävät joitain niistä.
Piirustus itä-länsi-viivastaKoska kaikkien alttarien on oltava suunnattu tarkasti, ensimmäinen rakennettava rakennus on itä-länsi-linja. Tätä rakennetta ei ole kuvattu ensimmäisissä Śulba-Sūtroissa, mutta se on kuvattu Kātyāyanassa. Se tehdään seuraavasti:
Itä-länsi-linjalta voidaan vetää pohjoisesta etelään -viiva. Tätä rakennetta, joka vastaa nykyaikaisessa matemaattisessa terminologiassa segmentin kohtisuoran puolikkaan piirtämistä , kuvataan Kātyāyanan Śulba-Sutrassa seuraavasti:
Śulba-Sūtras kuvaa myös menetelmiä suorakulman piirtämiseksi. Yksi niistä on:
Tämä menetelmä perustuu ns. Pythagoraan lauseen käänteiseen ja sisältää Pythagoraan tripletin (5,12,13). Samanlaisia menetelmiä käytetään, mutta muiden kertoimien kanssa.
Neliön rakentaminenUseita menetelmiä neliön rakentamiseksi köysien ja paalujen avulla on kuvattu Śulba-Sūtrasissa. Suorakulmien rakentamiseen perustuvien lisäksi voidaan mainita:
Kuvamuunnokset ovat erityisen tärkeitä Śulba-Sūtroissa. Seuraavissa kappaleissa on joitain esimerkkejä.
Kahden neliön summa ja eroEnsimmäinen Śulba-Sūtrasissa kuvattu muunnos koostuu neliön muodostamisesta, joka on yhtä suuri kuin kahden muun neliön pinta-alojen summa. Tätä varten annettu menetelmä on:
Toinen muunnos koostuu neliön rakentamisesta, joka on yhtä suuri kuin kahden muun neliön pinta-alojen ero. Menetelmä on tällä kertaa:
Nämä kaksi sääntöä perustuvat niin kutsuttuun Pythagoraan lauseeseen.
Suorakulmion muuntaminen neliöksiToinen Śulba-Sūtrasissa kuvattu muunnos on suorakulmion muuntaminen saman pinta-alan neliöksi. Tässä on ehdotettu menetelmä:
Toinen alttarien rakentamisen edellyttämä muunnos on neliön muuttaminen saman alueen ympyräksi (neliön kiertokulma). Koska tätä ei voida tehdä tarkalleen köysien ja paalujen avulla, Śulba-sūtras sisältää säännön tämän rakenteen saavuttamiseksi suunnilleen:
Käänteinen muunnos, joka on ympyrän muuttuminen saman pinta-alan neliöksi ( ympyrän neliöiminen ), johtaa myös likimääräiseen rakenteeseen, vaikka sillä ei näytä olevan pyhiä sovelluksia:
Tällä säännöllä on muunnelmia, jotka perustuvat samaan periaatteeseen, mutta eri kertoimilla.
Muut muutoksetŚulba-Sūtras kuvaa myös seuraavat muunnokset: neliön muuntaminen suorakulmioksi, suorakulmion tai neliön muuttaminen puolisuunnikkaaksi ja päinvastoin, neliön muuttaminen tasakylkiseksi kolmioon ja päinvastoin, rombin muuttaminen suorakaiteeksi, yhdistämällä useita neliöitä samankokoisiksi neliöksi ja jaa neliö useiksi saman kokoisiksi neliöiksi.
Śulba-Sūtrasin kuvailemissa rakenteissa puuttuu monia matemaattisia ominaisuuksia. Jotkut, kuten ns. Pythagoraan lause, mainitaan nimenomaisesti, mutta useimmat eivät ole ja näkyvät vain implisiittisesti.
"Pythagoren lause"Sitä, mitä tänään kutsumme Pythagoraan lauseeksi, ja historioitsijat kutsuvat tässä yhteydessä paremmin diagonaalilauseen neliöksi, muotoillaan nimenomaisesti Śūlba-Sūtrasissa seuraavasti:
” Neliön lävistäjä on kaksinkertainen alue. »(Baudhāyanan Śulba-Sūtras - 1,9)
" Suorakulmion pituuden ja leveyden tuottamat alueet antavat yhdessä lävistäjän tuottaman alueen. »(Baudhāyanan Śūlba-Sūtras - 1.12)
Huomaa, että toisin kuin olemme tottuneet, tätä tulosta ei ilmoiteta suorakulmioille vaan neliöille ja suorakulmioille. Sitä käytetään esimerkiksi rakentamaan neliö, joka on yhtä suuri kuin kahden neliön summa tai ero.
Tämän lauseen kääntäjää ei ole muotoiltu nimenomaisesti, vaan sitä käytetään myös erityisesti suorakulmien rakenteissa.
Pinta-alan laskelmatŚulba-sūtrat todistavat tietyn määrän suhteita alueiden ja pituuksien välillä. Ne sisältävät erityisesti neliöalojen, tasakylkisten puolisuunnikkaiden, tasakylkisten kolmioiden, suorakulmioiden ja rombojen pinta-alojen määritykset.
Tasokuvien avaruusominaisuudetMonet implisiittisesti käytettyjen tasolukujen ominaisuudet löytyvät myös Śulba-Sūtrasta. Joissakin rakenteissa käytetään sitä tosiasiaa, että ympyrä on pisteiden sijainti samalla etäisyydellä tietystä pisteestä tai että suoran kohtisuora puolittaja on pisteiden sijainti samalla etäisyydellä sen kahdesta päästä. Tieto monista sivujen ja lävistäjien välisistä suhteista loistaa myös läpi, esimerkiksi leikkaavatko suorakulmion diagonaalit niiden keskipisteessä ja jakavatko ne neljään yhtä suureen osaan vai rombin diagonaalit leikkaavat keskikohdassaan suorassa kulmassa.
Samankaltaisten lukujen ominaisuudetŚulba-Sūtrat käyttävät samankaltaisten kuvioiden kahta tärkeää ominaisuutta, nimittäin, että toisiaan vastaavissa kuvioissa vastaavat sivut ja viivat ovat verrannollisia ja että samankaltaisten kuvioiden alueet ovat samassa suhteessa kuin niiden sivujen neliöt.
Jotkut luvujen muuntamista koskevat säännöt sisältävät esimerkiksi sen, mitä kutsumme tänään irrationaalisten numeroiden likiarvoiksi :
Śulba-Sūtrat todistavat edelleen tietoisuudesta siitä, että jotkut näistä likiarvoista ovat tarkempia kuin toiset. Ei ole mitään viitteitä siitä, miten nämä likiarvot saatiin, ei Śulba-Sūtroissa eikä niiden ympärillä olevissa teksteissä.
Neliön sivun ja saman alueen ympyrän halkaisijan suhteen suhde 13/15 ei ole kovin hyvä, virhe on yli 4%, mutta näyttää siltä, että sitä on käytetty eniten, l Toinen likiarvo on tarkempi, mutta virheen ollessa edelleen 1,7%, ja kummallakin tavalla summan kaksi ensimmäistä termiä antaisivat paremman likiarvon.
Neliön lävistäjän likiarvo on paljon parempi: meillä on √ 2 ≈ 1,4142136 jopa 10 −7 . Mutta mikään Śulba-Sūtras -lehdessä ei osoita, että tarkkuuden tavoittelu olisi ollut vaarassa, ja se on ainoa, joka löytyy tältä tarkkuustasolta. Siinä käytetään myös likiarvoa 1 + 5/12 .
On vain todistuksia tämän lähentäminen, sekä se, että ainakin Kātyāyana n Śulba-Sutra on täsmennetty, että se ei ole tarkka, tiettyjä historioitsijat tieteen , erityisesti lopulla 19th century ja Alussa XX : nnen luvulla on todettu, että järjettömyyden on kahden neliöjuuri tiedettiin laatijoiden Sulba-sutrien, mutta tämä näyttää tuskin puolusti tänään.
Monet historioitsijat ovat yrittäneet ehdottaa Śulba-Sūtroissa esitettyjen sääntöjen alkuperää. Tässä osassa mainitaan muutama, mutta tekstit eivät yksiselitteisesti vahvista yhtään.
Ensinnäkin voidaan havaita yhtäläisyyksiä Śulba-Sūtrojen ja Eukleidesen elementtien välillä : ns. Pythagoraan lause, joka mainitaan Śulba-Sūtrasissa, on alkuaineiden ehdotuksen I.47 aihe , ongelma Pinta-alojen kanssa yhtäläiset luvut ovat näiden kahden tutkimuksen ytimessä, ja geometristen kuvioiden rakentamista köydellä ja panoksella Śulba-Sūtrasiin voidaan verrata elementteihin, joissa on viivainta ja kompassia .
Näyttää kuitenkin siltä, että tietyt geometriset ominaisuudet, kuten lauseen sanoo Pythagoraan, olivat jo tiedossa kirjoitettaessa Vedic vanhempia tekstejä sutrien The brahmanas ja sahmitas , vaikka ne eivät ole välttämätön. Koska nämä tekstit ovat aikaisempia kuin ensimmäiset kreikkalaiset matemaattiset tekstit, tämä sulkisi pois sen, että Śulba-Sūtrasin geometria on peräisin näistä kreikkalaisista teksteistä. Kreikan alkuperä hylättiin myös toisesta syystä: Elements on abstrakti tutkielma, joka on tyyliltään ja menetelmiltään kaukana Śulba-Sūtras -perinteestä, ja jälkimmäisten kirjoittajien olisi ollut vaikea piirtää tietoja.
Historioitsijat ovat myös katsoneet, että jotkut matemaattiset tiedot Śulba-Sūtroista ovat saattaneet tulla Mesopotamiasta , koska ns. Pythagoraan lause todistetaan paleo-babylonialaisissa matemaattisissa teksteissä, jotka ovat peräisin toisen vuosituhannen alusta eKr. Tämä hypoteesi on hylätty, mutta myöhempi työ näyttää kumoavan siihen käytetyn väitteen. Kysymys näyttää siis pysyvän avoimena.
Viimeinen ehdotettu hypoteesi on, että arjalaiset , jotka olisivat hyökänneet Intiaan noin 1500 eKr., Toivat nämä geometriset rituaalit Lähi-idästä. Sumerilainen tieto voisi sitten olla Śulba-Sūtran, paleobabylonialaisen matematiikan ja pythagorealaisten yhteinen lähde, mutta tämä ei ole läheskään totta.
Mikään meille tullut sanskritin matemaattinen teksti ei salli Śulba-Sūtrojen liittämistä suoraan myöhempiin teoksiin, jotka on sävelletty ensimmäisen vuosituhannen puolivälistä. Joskus löydämme kuitenkin yhtäläisyyksiä näiden kahden ajanjakson matematiikan välillä, kuten niin sanotun Pythagoraan lauseen runsas käyttö tai samojen geometristen termien käyttö. Lisäksi myöhempien aikakausien arkkitehtoniset tutkielmat käyttävät menetelmiä, jotka ovat hyvin samanlaisia kuin Śulba-Sūtrasissa kuvatut.