Elementit (Euclid)

Elementit (in antiikin Kreikan Στοιχεία / stoïkheïa ) on matemaattinen ja geometriset tutkielma , joka koostuu 13 kirjoja järjestäytyneen temaattisesti luultavasti kirjoittanut Kreikan matemaatikko Euclid noin 300 eaa. AD Se sisältää kokoelman määritelmiä, aksiomia , lauseita ja niiden esittelyä euklidisen geometrian ja primitiivisen lukuteorian aiheista .

Teos on vanhin tunnettu esimerkki geometrian aksiomaattisesta ja systemaattisesta käsittelystä , ja sen vaikutus länsimaisen logiikan ja tieteen kehitykseen on perustavanlaatuista. Tämä on luultavasti menestynein kokoelma historiassa: Elements oli yksi ensimmäisistä painetuista kirjoista ( Venetsia , 1482), ja sitä edeltää todennäköisesti vain Raamattu julkaistujen painosten lukumäärästä (reilusti yli 1000). Vuosisatojen ajan se on ollut osa yliopiston tavanomaista opetussuunnitelmaa.

Periaatteet

Euclidin menetelmä koostui hänen työnsä perustamisesta määritelmiin, "  vaatimuksiin  " (postulaatteihin), " tavallisiin käsitteisiin  " (aksioomiin) ja propositioihin (ongelmat ratkaistu, numeroita 470 kaikkiaan 13 kirjassa). Esimerkiksi kirja I sisältää 35 määritelmää ( piste , viiva , alue jne.), Viisi postulaattia ja viisi tavallista käsitettä.

Kirjan I postulaatit

1. Rivi segmentti voidaan tehdä liittämällä kahden pisteen.
2. Suora segmentti voidaan pidentää rajattomasti suoraksi .
3. Kun otetaan huomioon mikä tahansa viivasegmentti, ympyrä voidaan piirtää ottamalla tämä segmentti säteeksi ja yksi sen päistä keskipisteeksi .
4. Kaikki kulmat ovat yhtenevät .
5. Jos kaksi suoraa viivaa leikkaa kolmannen kanssa siten, että toisen sivun sisäkulmien summa on pienempi kuin kaksi suoraa kulmaa, nämä kaksi viivaa leikkaavat välttämättä tällä puolella.

Tavalliset käsitykset kirjasta I

1. Kaksi kolmatta yhtä suurta asiaa ovat myös keskenään samanarvoisia.
2. Jos lisätään yhtä suuria määriä muihin yhtä suuriin määriin, niiden summat ovat samat.
3. Jos yhtäläiset suuruudet vähennetään muista yhtä suurista, niiden erot ovat samat.
4. Jos päällekkäiset määrät sopeutuvat toiseen, ne ovat yhtä suuria.
5. Koko on suurempi kuin osa.

Jälkipolvi

Elementin menestys johtuu pääasiassa sen loogisesta ja organisoidusta esityksestä . Systemaattinen ja tehokas käyttö kehittyneiden todisteiden laatimiseksi supistetuista aksioomista pakotti niitä käyttämään viitekirjana vuosisatojen ajan.

Läpi historian on ollut erimielisyyksiä Euclidin aksioomista ja mielenosoituksista. Elementit ovat kuitenkin edelleen tieteen historian perustyö ja niillä oli huomattava vaikutusvalta. Tutkijat Euroopan Nikolaus Kopernikus , Johannes Kepler , Galileo Galilein ja varsinkin Isaac Newton olivat kaikki vaikutteita elementit ja hyödyntävät tietoa kirjan oman työnsä. Jotkut matemaatikot ( Bertrand Russell , Alfred North Whitehead ) ja filosofit ( Baruch Spinoza ) ovat myös yrittäneet kirjoittaa omia elementtejään , aksiomaattisia deduktiivisia rakenteita, joita sovelletaan omaan tieteenalaansa.

Viidestä pääperiaatetta totesi Book I , viimeinen, josta me päätellä olettamus yhtäläisyyksiä  : "ulkopuolisessa pisteessä suoraviivaisesti, vain yksi suora viiva kulkee, joka on samansuuntainen sen", on aina tuntunut yhtä ilmeinen kuin muut. Useat matemaatikot epäilivät, että se voidaan osoittaa muilta postulaateilta, mutta kaikki yritykset siihen epäonnistuivat. Kohti keskellä XIX E -luvulla, kävi ilmi, että tällainen mielenosoitus ei ole olemassa, että viides olettamus on riippumaton neljän muita ja että on mahdollista rakentaa yhtenäisen Epäeuklidinen geometriaa ottamalla sen negaatio.

Historia

Kirjallinen jälkiä käsitteet pituus ja ortogonaalisuuden näkyvät Mesopotamiassa ajan välisenä aikana 1900 ja 1600 BC. JKr " Pythagoraan lauseen  " tiedosta on paljon jälkiä  ainakin laskennan säännönä.

Vaikka suurin osa lauseista edeltää sitä, Elementit olivat riittävän täydellisiä ja tarkkoja peittääkseen niitä edeltäneet geometriset työt, ja eukleideista edeltävästä geometriasta tiedetään vähän. Jos esimerkiksi yksi uskoo Neoplatonist Proklos ( V th  -luvulla), Hippokrates Khioslainen pysyi V : nnen  vuosisadan  eaa. J. - C. , ensimmäinen tunnettu perinteen kirjoittaja, jolla on kirjoitettu geometrian elementtejä, mutta nämä eivät saavuttaneet meitä.

Sen kirjoittaja Euclid , aktiivinen noin 300 eaa. JKr . Näyttää vaikuttaneen Aristoteleen ( -384 - 322 eKr. ) . Hänen ja hänen tutkielmansa historiasta tiedetään vähän.

Teos käännettiin arabiaksi jälkeen annetaan arabeille jonka Bysantin ja sitten käännetty latina arabian tekstejä ( Adelard Bath vuonna XII : nnen  vuosisadan ottanut Campanus Novaran ). Sen ensimmäinen painettu painos on vuodelta 1482, ja kirja on sen jälkeen käynyt läpi arviolta yli tuhannen painoksen, jonka Raamattu todennäköisesti ylittää. Kopiot kreikankielinen teksti on edelleen olemassa, esimerkiksi Vatikaanin kirjasto tai Bodleian Library in Oxford , mutta nämä käsikirjoitukset ovat laatu vaihtelee ja aina epätäydellistä. Käännöksiä ja alkuperäisiä analysoimalla voitiin muotoilla hypoteeseja alkuperäisestä sisällöstä, josta ei ole jäljellä täydellistä kopiota.

Myöhempi aksiomatisaatio

Matemaatikot huomasivat ajan myötä, että Euclidin todisteet vaativat lisäoletuksia, joita ei ole määritelty alkuperäisessä tekstissä, kuten mitä Paschin aksioomaksi tuli . David Hilbert antoi vuonna 1899 aksiomaattisen kehityksen Euclidean taso- ja avaruusgeometriasta teoksessa Grundlagen der Geometrie ( Geometrian perusteet ). Aksioomat tehdään selkeästi ja esitetään järjestäytyneesti. Hilbert korostaa erityisesti rinnakkaisuuden (affiinirakenne), järjestyksen ja esiintyvyyden (projektiivinen rakenne) ja ortogonaalisuuden ("euklidinen" rakenne) aksioomien roolia.

Kirjat

Elementit ovat järjestetty seuraavasti:

• Kirjoissa I – IV käsitellään tasogeometriaa  :
  • Ensimmäinen kirja kuvaa perusominaisuudet geometria: Pythagoraan lause , yhtälöt kulmikas ja alueet ja rinnakkaisuuden , kulmien summa on kolmio , kolme tapausta yhtä kolmioita .
  • Toinen kirja on yhteiseltä nimeltään kirja geometrisen algebran , koska se on kirja sisältää yksinkertaista geometriaa tulkittava algebran, se ei ole aivan, mutta se oli ymmärtää ja käyttää arabian matematiikka algebran. Erityisesti hänen lausumansa lauseet vastaavat suurelta osin merkittäviä identiteettejämme . Annetaan myös erityistapaus toisen asteen yhtälöä vastaavasta ongelmasta .
  • Kolmas kirja käsittelee ympyrän ja sen ominaisuuksista: kehäkulma , Power Point , tangentti .
  • Neljäs kirja käsittelee rekisteröinnin ja vaalipiirin kolmioita tai säännöllisiä monikulmioita on ympyrä .

• Kirjoihin V - X sisältyy mittasuhteet  :
  • Viides kirja on sopimuksen osuuden kokoa.
  • Kirja VI on, että sovelluksen geometrian mittasuhteet: Thales teoreema , samanlaisia lukuja.
  • Seitsemäs kirja on omistettu aritmeettinen  : jaollisuus, alkulukuja , GCD , LCM .
  • Kahdeksas kirja käsittelee aritmeettinen mittasuhteet ja geometrinen sekvenssit .
  • Book IX koskee edellisen: äärettömään alkulukuja , summa a geometrinen sekvenssin , täydellinen numerot .
  • Kymmenes kirja on yritys luokittelu irrationaalinen suuruudet . Sen irrationaalisuus on osoitettu.2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}

• Kirjat XI - XIII käsittelevät avaruuden geometriaa  :
  • Kirja XI yleistää avaruudessa kirjoja I-VI: kohtisuoruus , rinnakkaisuus , volyymit ja parallelepipeds .
  • XII vertaa tai laskee alueilla ja volyymit käyttämällä sammumisen menetelmää: levy , käpyjä , pyramidit , sylinterit ja aloilla .
  • XIII Kirja on yleistys IV kirjan avaruudessa: kultainen leikkaus , viisi säännöllisesti polyhedra merkitty pallo.

Heathin käännökseen on liitetty kaksi apokryfikirjaa .

Huomautuksia ja viitteitä

1. Leonard Milodinow, Kompassin silmissä: Euklidinen geometria Einsteinille , s. 49. Katso myös Peyrardin käännös , hieman erilainen.
2. (sisään) Jöran Friberg , Huomattava kokoelma babylonialaisia ​​matemaattisia tekstejä: Käsikirjoitukset Schøyen-kokoelmassa: Cuneiform Texts I , New York, Springer-Verlag , al.  "Lähteet ja tutkimukset matematiikan ja fysiikan historiassa",2005, 533  Sivumäärä ( ISBN  978-0-387-34543-7 , lue verkossa )esitetään luettelo cuneiform tabletteja , jotka käyttävät tätä ”diagonaalinen sääntö” in A.8.6. Diagonaalinen sääntö matemaattisten kiilamuotoisten tekstien korpuksessa , s. 449-451.
3. Vrt. Thomas Little Heath , Kreikan matematiikan historia , voi.  1: Thalesista Euclidiin , CUP ,2013( 1 st  toim. 1921) ( ISBN  978-1-108-06306-7 , lukea verkossa ) , s.  182-202.
4. "  Euclid's" Elements "- Display - World Digital Library  " , osoitteessa www.wdl.org ( käyty 3. heinäkuuta 2020 )
5. (in) Carl Benjamin Boyer, A History of Mathematics , John Wiley & Sons ,1991, 2 nd  ed. ( ISBN  0-471-54397-7 ) , "Aleksandrian Euklidit " , s.  119

   ”  Elements of Euclid paitsi oli ensimmäinen merkittävä kreikkalainen matemaattista työtä tulemaan alas meidän, vaan myös vaikutusvaltaisin oppikirja kaikkina aikoina. [...] Elementtien ensimmäiset painetut versiot ilmestyivät Venetsiassa vuonna 1482, joka oli yksi varhaisimmista matemaattisista kirjoista, jotka oli asetettu tyyppiin; on arvioitu, että siitä lähtien on julkaistu ainakin tuhat painosta. Ehkä mikään muu kirja kuin Raamattu ei voi ylpeillä niin monilla painoksilla, eikä missään matemaattisessa työssä ole varmasti ollut vaikutusta, joka olisi verrattavissa Eukleidesin Elementtien vaikutukseen .  "

6. (in) Lucas Hendrik Nicolaas Bunt, Phillip S. Jones ja Jack D. Bedient, historiallisia juuria Elementary matematiikan , Dover Publications,1988, s.  142

   "  [...] Länsi-Eurooppa tunsi elementit arabien ja maurien kautta. Siellä Elementeistä tuli matemaattisen koulutuksen perusta. Elementeistä tunnetaan yli 1000 versiota. Todennäköisesti se on Raamatun vieressä länsimaiden sivilisaation yleisimmin levinnyt kirja.  "

7. (in) Menso Folkerts , Matematiikan kehitys keskiaikaisessa Euroopassa: arabit, Euclid, Regiomontanus , München, 1989 ( online ); edustaja Ashgate Variorum, 2006 ( ISBN  978-0-86078-957-4 ) .

Liitteet

Bibliografia