Looginen päättely on tyyppinen suhde, että törmäämme matemaattista logiikkaa . Se yhdistää ehdotuksia kutsuttu tiloissa on ehdotus nimeltä johtopäätös ja säilyttää totuus . Lähtökohdat ja johtopäätökset, jotka ovat siten yhteydessä vähennyssääntöön , varmistavat, että jos sääntö on pätevä ja jos tilat ovat totta , johtopäätös on myös totta. Sitten sanomme, että johtopäätös on seurausta tiloista, tai joskus, että johtopäätös tulee tiloista. Filosofinen analyysi esittää kysymyksiä, kuten "missä mielessä johtopäätös tapahtuu tiloista?" " Tai " Mitä tarkoittaa, että johtopäätös on seurausta tietyistä lähtökohdista? " . Filosofinen logiikka voidaan määritellä ymmärtämistä ja analysointia luonteesta looginen seurauksia ja looginen totuus .
Looginen johtopäätös määritellään sekä välttämättömäksi että muodolliseksi, ja se ilmaistaan nimenomaisesti sellaisilla aloilla kuin malliteoria , joka löytää matemaattisia universumeja, joissa suhde on hyödyllinen ja antaa merkityksen kaavoille, ja todisteiden teoria , joka tarjoaa teoreettisen kehyksen sen määritelmä syntaktisella tavalla . Kaava on seurausta joukosta muita kaavoja kielellä , vain ja vain, jos itse logiikkaa käyttäen (eli pyrkimättä käsittelemään kaavoja) kaavan on oltava totta, jos kaikki tilaryhmän kaavat ovat myös totta.
Logistiikat määrittelevät muodollisen kielen loogisen deduktion tarkasti rakentamalla deduktiivisen järjestelmän tälle kielelle tai muokkaamalla muodollisesti tämän kielen kaavojen tulkinnan , joka antaa heille muodollisen semantiikan . Alfred Tarski määritti kolme tärkeää ehtoa tai ominaisuutta, jotka loogisen seuraussuhteen on täytettävä:
Laajin näkemys siitä, miten vähennyksen ja loogisten seurausten suhde saadaan kiinni, on virallistaa ongelmasi eli edustaa sitä yksiselitteisessä ja mukautetussa muodollisessa järjestelmässä . Tällä tavoin sanominen, että lausuma tai tosiasia on muiden lausuntojen looginen seuraus, riippuu lauseen rakenteesta, jota kutsutaan myös loogiseksi muodoksi (en) , riippumatta sen merkityksestä.
Loogisen deduktiosuhteen ns. "Syntaktiset" muotoilut perustuvat joukkoon loogisia kaavoja , jotka määrittelevät matemaattisen maailmankaikkeuden, jolla aiomme työskennellä, ja joukko päätelmäsääntöjä , jotka sanelevat päätelmätyypit Toivon, että voimme esiintyä. Esimerkiksi kelvollisen argumentin looginen muoto on "Kaikki ovat ". Ne kaikki ovat . Siksi kaikki ovat . " Tämä argumentti on muodollisesti pätevä, koska kaikki instanssiargumentit , toisin sanoen muuttujien A, B ja C korvaaminen maailmankaikkeuden konkreettisissa logiikkakaavoissa, ovat päteviä.
Väitteen rakenne ei toisinaan riitä määrittämään sen pätevyyttä, esimerkiksi seuraavassa perustelussa: "Fred on François'n isän veli. Siksi hän on Fredin veljenpoika ” käyttää käsitteitä veli , veljenpoika , poika. Tämän päättelyn oikeellisuus riippuu niiden määritelmästä, jonka tiedämme kokemuksestamme, mutta jota emme ole antaneet tässä tarkkaa määritelmää. Oikein formalisoidussa järjestelmässä vähennyssuhteen on oltava itsessään riittävä ja todennettavissa ilman ennakkotietoa . Joten joillekin kirjoittajille siirrymme ns. Aineellisesta vähennyksestä muodolliseen vähennykseen .
Jos olemme varmoja, että siitä seuraa loogisesti , P: n ja Q: n tulkinnalla ei ole merkitystä. Empiirinen tietomme ei voi olla ristiriidassa tiedon kanssa, joka on seurausta . Pätevien deduktiivisten argumenttien voidaan osoittaa olevan päteviä ilman kokemuksen käyttämistä, joten on välttämätöntä, että ne ovat päteviä a priori . Pelkästään se, että perustelut esitetään muodollisesti, ei kuitenkaan takaa, että vähennys tehdään ilman ennakkoa . Päinvastoin päättely ilman a priori voidaan esittää ilman formalismi. Siksi voimme pitää formalismia ja a priori pätevyyttä toisistaan riippumatta.
Kaksi päätekniikkaa deduktiivisen suhteen määrittelemiseksi ilmaistaan todisteina ja malleina . Logiikan tutkiminen voidaan tehdä joko puhtaasti syntaktisilla termeillä, toisin sanoen antamatta merkitystä tämän logiikan kaavoille. Olemme tämän teorian puitteissa tämän logiikan esittelystä . Toinen lähestymistapa on kaavojen ymmärtäminen muiden matemaattisten formalismien avulla, sitten määritämme siihen liittyvän logiikan malliteorian .
Kaava on syntaktinen seuraus sisällä virallisen järjestelmän joukko kaavojen jos on muodollinen todiste on peräisin kaavoista on .
Tämän tyyppinen seuraus määritellään yrittämättä tietää mitä kaavat tarkoittavat. Ne eivät siis ole riippuvaisia muodollisen FS-järjestelmän tulkinnasta .
Tässä tapauksessa käytetään symbolia ⊢ .
Malliteoria antaa tavan ymmärtää loogisia kaavoja. Se yhdistää logiikan kaavat ja toisen muodollisen järjestelmän, jota kutsutaan malliksi , tulkinnan avulla , joka voi esimerkiksi saada loogisten kaavojen muuttujat vastaamaan mallijärjestelmän objekteja.
Kaava on semanttinen seuraus muodollisessa järjestelmässä joukko
vain ja vain, jos ei ole mallia , jossa kaikki kaavat ovat totta ja vääriä. Toisin sanoen, jos tulkintaryhmä, joka tekee kaikista kaavoista totta, on osajoukko tulkinnoista, jotka tarkistavat .
Tässä tapauksessa käytetään symbolia ⊨ .
Vähennyssuhteen eri modaaliset näkökohdat ovat muunnelmia, jotka perustuvat seuraavaan ajatukseen:
on totta vain ja vain, jos on välttämätöntä, että jos kaikki elementit ovat totta, niin se on myös totta.Vaihtoehtoisesti (voisimme puhua myös vastaavuudesta)
on totta, jos kaikkien elementtien on mahdotonta olla totta, kun se on väärä.Tällaisten näkökohtien sanotaan olevan modaalisia, koska ne vetoavat modaalisiin käsityksiin totuudesta ja mahdollisuudesta. "On välttämätöntä, että" ilmaistaan usein universaalina kvantifikaationa mahdollisten maailmojen joukossa , joten argumentit kääntävät:
on totta vain ja vain, jos ei ole maailmaa, jossa kaikki osat ovat totta ja väärää (tai ei totta).Tutkitaan nyt näitä edellisen esimerkin yksityiskohtia:
Johtopäätös on seurausta tiloista, koska ei voida kuvitella mahdollista maailmaa, jossa (1), (2) ja Kermit eivät ole vihreitä .
Määritetty päivämäärä kaikki ominaisuudet luonnehtivat yksitoikkoisia vähennyssuhteita (in) , toisin sanoen, ettei mikään toteutettavissa oleva vähennys askelperusteluun kyseenalaistaa aiemmin suoritetut vähennykset. Toisin sanoen, jos se on seurausta , niin se on myös seurausta mistä tahansa sisältävien tilojen joukosta . On myös epäklassisia suhdepohjaisia logiikoita, joilla ei ole tätä ominaisuutta, jota voidaan käyttää sääntöpoikkeuksien mallintamiseen. Esimerkiksi Tux osaa lentää johtuu tilaryhmästä{ Linnut voivat lentää , Tux on lintu }, mutta ei kokonaisuudesta { Useimmat linnut voivat lentää , Tux on lintu , Tux on pingviini }.