Modaalinen logiikka

In matemaattinen logiikka , joka on logiikka Modaalisen on eräänlainen muodollinen logiikka, joka ulottuu lause- logiikka , logiikka ensimmäisen kertaluvun tai korkeamman kertaluokan logiikan kanssa yksityiskohdista . Modaalisuus määrittelee totuuden ominaisuudet . Esimerkiksi ehdotusta, kuten "sataa", voi edeltää modaalisuus:

• On välttämätöntä, että sataa;
• Huomenna sataa;
• Christopher Columbus uskoo satavan;
• Osoitetaan, että sataa;
• On pakollista, että sataa.

On olemassa erilaisia ​​modaalilogiikoita, kuten ajallinen logiikka , episteeminen logiikka (tiedon logiikka). Vuonna tietojenkäsittelytiede , modaalilogiikan käytetään sen ilmaisuvoimaa ja algoritmisten näkökohtia. Esimerkiksi ajoituslogiikkaa käytetään ohjelmien määrittämiseen ja sitten niiden vahvistamiseen .

Eettinen modaalilogiikka

Eettisessä modaalilogiikassa (tai aristoteleisessa tai klassisessa) tunnistamme neljä modaliteettia:

• välttämätön (mikä ei voi olla totta), totesi ;◻{\ displaystyle \ Box}
• ehdollinen (mikä voi olla väärä), huomattu ;¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box}
• mahdollista (mikä voi olla totta), totesi ;◊{\ displaystyle \ Diamond}
• mahdotonta (mikä ei voi olla väärin), totesi.¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}

Nämä 4 tapaa on kytketty toisiinsa, vain yksi riittää määrittelemään muut kolme.

Intuitiivinen tulkinta (jota ei jaa koko filosofinen-logiikkayhteisö) on seuraava:

• Tarpeellinen ≡ ei mahdotonta;
• Kiintiö ≡ ei välttämätön ≡ ei ole mahdollista;
• Mahdollinen ≡ ei mahdotonta.
• Mahdotonta = ei mahdollista.

Siksi erotamme kaksi unaarista kaksoisliitintä toisistaan:

• Tarvittava  ;◻{\ displaystyle \ Box}
• Mahdollinen .◊{\ displaystyle \ Diamond}

◻{\ displaystyle \ Box}p tarkoittaa, että p on välttämättä totta, kun taas p tarkoittaa, että p on mahdollisesti totta, ts. yhteensopiva nykyisen tiedon kanssa. ◊{\ displaystyle \ Diamond}

Esimerkkejä:

• ¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box} työ: ei ole välttämätöntä, että oppilaat työskentelevät;
• ¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond} työ: oppilaat eivät voi työskennellä;
• ◻¬{\ displaystyle \ Box \ neg} trav: on välttämätöntä, että oppilaat eivät toimi;
• ◊¬{\ displaystyle \ Diamond \ neg} trav: on mahdollista, että opiskelijat eivät toimi.

Aattisessa modaalilogiikassa (tai aristoteleisessa, tai klassisessa) voimme ilmaista neljä operaattoria käyttämällä vain yhtä (tässä välttämättömyys) ja negaatiota. Joten:

• Mahdotonta on  ;◻¬{\ displaystyle \ neliö \ neg}
• Mahdollinen on .¬◻¬{\ displaystyle \ neg \ square \ neg}

Tarvittava ehdotus ei voi olla väärä ilman, että siihen viitataan ristiriitaa , ehdollisen ehdotuksen contrario , joka voi olla väärä ilman ristiriitaa.

Eri modaalilogiikat

Myös muita modaalilogiikkatyyppejä käytetään, joiden tilat ovat:

• episteeminen (liittyy tietoon):
  • agentin tiedossa , huomautettui{\ displaystyle i}VSi{\ displaystyle C_ {i}}
  • kyseenalainen
  • ulkopuolelle
  • uskottava
  • agenttien ryhmän yhteinen tuntemusG{\ displaystyle G}VSKG{\ displaystyle CK_ {G}}
  • jaettu tieto agenttiryhmästä, huomattu (kaikki tietävät)G{\ displaystyle G}EKG{\ displaystyle EK_ {G}}
• deontiikka (moraalinen):
  • pakollinen , totesi O
  • kielletty , totesi I
  • lupa , totesi P
  • valinnainen , merkitty F: llä
• ajallinen  :
  • aina , huomautettu tai G◻{\ displaystyle \ Box}
  • yksi päivä , huomautettu tai joskus F◊{\ displaystyle \ Diamond}
  • ei koskaan huomattu¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}
  • huomenna , huomautti X
  • kunnes , binäärioperaattori, jota merkitään U: lla
  • aina menneisyydessä , huomautti H
  • päivä kului , totesi P
• doxastinen (uskomuksista):
  • raaka , totesi B
  • tekijäryhmän yhteinen usko , havaittuG{\ displaystyle G}VSBG{\ displaystyle CB_ {G}}
• vastakohta  :
  • Jos A olisi totta , missä tiedämme, että A ei ole totta.
• dynamiikka (toimien vaikutus, huomautettu a , ehdotuksiin):
  • On olemassa suorittamisen siten, että sen jälkeen, kun , p on totta , huomattava ⟨klo⟩s{\ displaystyle \ langle a \ rangle p}
  • p on totta, kun mikä tahansa suorittamisen , huomattava .[klo]s{\ displaystyle [a] p}

Modaalilogiikan aksiomit

Jokainen modaalilogiikka on varustettu joukolla aksiomia, jotka määrittelevät modaliteettien toiminnan.

Voimme siten rakentaa erilaisia ​​järjestelmiä hyväksyttyjen aksiomien mukaan.

• Kripken suunnittelema K-järjestelmä, jota kutsutaan normaaliksi tai Kripke-järjestelmäksi. Hän myöntää seuraavat kaksi aksiomia:
  • (K) (Kripken jakauma-aksioma);◻(AT→B)→(◻AT→◻B){\ displaystyle \ Box (A \ rightarrow B) \ rightarrow (\ Box A \ rightarrow \ Box B)}
  • (RN) (tai (N) tai (NEC) ) Jos on lause, niin myös (välttämättömyyspäätössääntö).AT{\ displaystyle A}◻AT{\ displaystyle \ ruutu A}

• D-järjestelmä, joka on suunniteltu lisäämällä aksiomi (D) K-järjestelmään:
  • (D ) (aristoteleisessa logiikassa tämä ilmaisee, että välttämättömyys merkitsee mahdollisuutta ).◻P→◊P{\ displaystyle \ Box P \ rightarrow \ Diamond P}

• Robert Feysin vuonna 1937 suunnittelema T-järjestelmä lisäämällä aksiomi (T) K-järjestelmään:
  • (T) (tai (M) ): (Aristoteles-logiikassa tämä ilmaisee, että tosiasia merkitsee mahdollisuutta ).P→◊P{\ displaystyle P \ rightarrow \ Diamond P}

• Clarence Irving Lewisin määrittelemät S4- ja S5-järjestelmät .
  • S4: n muodostamiseksi lisätään järjestelmään T aksiomi (4)  :
    • (4) .◻s→◻◻s{\ displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Box \ Box p}
  • S5: n muodostamiseksi lisätään järjestelmään T aksiomi (5)  :
    • (5) (tai (E) ) .◊s→◻◊s{\ displaystyle \ Diamond p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

• Oskar Beckerin vuonna 1930 suunnittelema B (tai Brouwérien) -järjestelmä lisäämällä aksiomi (B) T-järjestelmään.
  • (B)  : .s→◻◊s{\ displaystyle p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

Sanomme, että yksi järjestelmä on heikompi kuin toinen, kun kaikki, mikä on esitetty ensimmäisessä järjestelmässä, esitetään toisessa, mutta ei päinvastoin.

Tämä asettaa etusijalle järjestelmät K, T, S4 ja S5 heikoista vahvimpiin. Samoin K on heikompi kuin D ja T on heikompi kuin B.

Järjestelmien sarja K - S5 muodostaa sisäkkäisen hierarkian, joka muodostaa normaalin modaalilogiikan ytimen. Aksiomia (D) puolestaan ​​käytetään pääasiassa deontisessa, doksastisessa ja episteemisessä logiikassa.

Modaalilogiikkamallit

Kripken mallit tai mahdollisten maailmojen mallit antavat sematiikan modaalilogiikalle. Kripke-malli on data:

• ei-tyhjä joukko mahdollisia maailmoja  ;W{\ displaystyle W}
• binaarinen suhde mahdollisten maailmojen välillä, jota kutsutaan saavutettavuuden suhteeksi;R{\ displaystyle R}
• arvosta, joka antaa totuusarvon kullekin väitemuuttujalle kussakin mahdollisessa maailmassa.V{\ displaystyle V}

Modaalisen operaattorin semantiikka määritellään esteettömyyssuhteesta seuraavasti: kaava on totta maailmassa w, ja vain, jos kaava on totta kaikissa maailmoissa, joihin yhteys on w: n kautta . ◻AT{\ displaystyle \ neliö A}AT{\ displaystyle A}R{\ displaystyle R}

Modaalilogiikkajärjestelmien luokitus

Modaalilogiikkajärjestelmät on järjestetty päättelysääntöjen ja niitä luonnehtivien aksiomien mukaan.

Klassinen modaalilogiikka

Klassiset modaalilogiikkajärjestelmät hyväksyvät seuraavan päättelysäännön:

(RE)AT↔B◻AT↔◻B{\ displaystyle (RE) {\ frac {A \ leftrightarrow B} {\ Box A \ leftrightarrow \ Box B}}}

On tavallista, että tällaiselle järjestelmälle annetaan tyypin kanoninen nimi , jossa ovat järjestelmän aksiomien nimet. Eξ1ξ2⋯ξei{\ displaystyle E \ xi _ {1} \ xi _ {2} \ cdots \ xi _ {n}}ξi{\ displaystyle \ xi _ {i}}

Monotoninen modaalilogiikka

Monotoniset modaalilogiikkajärjestelmät hyväksyvät RM: n päättelysäännön:

(RM)AT→B◻AT→◻B{\ displaystyle (RM) {\ frac {A \ B} {\ Box A \ to \ Box B}}}

Monotonisten järjestelmien sarja sisältyy tavanomaisten järjestelmien sarjaan.

Säännölliset modaalilogiikat

Säännölliset modaalilogiikkajärjestelmät hyväksyvät RR-päätelmäsäännön:

(RR)(AT∧B)→VS(◻AT∧◻B)→◻VS{\ displaystyle (RR) {\ frac {(A \ wedge B) \ to C} {(\ Box A \ wedge \ Box B) \ to \ Box C}}}

Säännöllisten järjestelmien joukko sisältyy monotonisten järjestelmien sarjaan.

Normaali modaalilogiikka

Normaalit modaalilogiikkajärjestelmät hyväksyvät RK: n päättelysäännön:

(RK)(AT1∧⋯ATei)→B(◻AT1∧⋯◻ATei)→◻B{\ displaystyle (RK) {\ frac {(A_ {1} \ wedge \ cdots A_ {n}) \ B = {(\ Box A_ {1} \ wedge \ cdots \ Box A_ {n}) \ to \ Laatikko B}}}

Normaalijärjestelmien sarja sisältyy tavallisten järjestelmien sarjaan.

Normaalijärjestelmien vastaava ja yleisempi määritelmä on seuraava: Modaalisen logiikkajärjestelmän sanotaan olevan normaali, jos sillä on aksiomi (K) ja se hyväksyy välttämättömyyssäännön (RN) päätelmäsääntönä:

(K)◻(AT→B)→(◻AT→◻B){\ displaystyle (K) \ Box (A \ to B) \ to (\ Box A \ to \ Box B)}

(REI)AT◻AT{\ displaystyle (RN) {\ frac {A} {\ ruutu A}}}

Normaalijärjestelmiä käytetään eniten, koska ne vastaavat Kripken semantiikkaa . On kuitenkin mahdollista löytää semantiikkaa ei-normaalille klassiselle logiikalle, mutta niillä on yleensä huonommat ominaisuudet.

Linkki muihin logiikoihin

Intuitionismi voidaan rakentaa logiikka alethic kuin modaalilogiikan. Modaalilogiikka on fragmentti ensiluokkaisesta logiikasta.

Huomautuksia ja viitteitä

1. Jacques Paul Dubucs "epätavanomainen logiikka", julkaisussa Encyclopaedia Universalis , 13. osa, Pariisi, 1990, s. 977-992.

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Kiintiö
• Dilemma
• Modaalinen fiktiivisyys
• Sahlqvist-kaava
• Todistettavuuden logiikka
• Deontinen logiikka
• Moniarvoinen logiikka
• Gödelin ontologinen todiste
• Kripke-semantiikka
• Löbin lause
• Dezert-Smarandache-teoria

Ulkoiset linkit

• (en) James Garson, Modal Logic , The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N.Zalta (toim.), 2007.
• (en) S4-sananlaskuri tableaux-menetelmällä , S4-sananlaskija
• (en) Ross Kirsling, Modal Logic Playground

Bibliografia

• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke ja Yde Venema, Modal Logic , Cambridge University Press, 2001
• (en) Brian F.Chellas, modaalilogiikka, johdanto , Cambridge University Press,1980[ yksityiskohdat painoksesta ]
• L. Fontaine, Modaalilogiikka ja antropologia. Säännöistä sanaan Kolumbian Amazonin jucuna-intiaanien keskuudessa . L'Homme , nro 184, 2007, 131-153.
• P. Gochet, P. Gribomont, A. Thayse, Logique, Voi. 3: menetelmät tekoälylle, Pariisi, Hermès-Lavoisier, 2000, 394p. (Erittäin täydellinen yhteenveto ranskaksi tärkeimmistä modaalilogiikoista).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">