Säännöllinen monikulmio

In Euklidinen geometria , joka on säännöllinen monikulmio on monikulmio, joka on sekä tasasivuinen (kaikki sen sivut ovat yhtä pitkiä) ja equiangle (kaikki sen kulmat on sama toimenpide). Säännöllinen monikulmio on joko kupera tai tähti .

Kaikki säännölliset kuperat polygonit, joilla on sama määrä sivuja, ovat samanlaisia . Tähdellä merkittyjä säännöllinen monikulmio n sivut on kupera kuori on n puolta, joka on säännöllinen monikulmio. Kokonaisluku n on suurempi kuin tai yhtä kuin 3, koska on kupera säännöllinen monikulmio n puolin.

Joissakin yhteyksissä kaikki tarkastellut polygonit ovat kuperia ja säännöllisiä. Sitten on tapana viitata kahteen epiteettiin "säännöllinen kupera". Esimerkiksi yhtenäisen polyhedran kaikkien pintojen on oltava kuperat ja säännölliset, ja pintoja kuvataan yksinkertaisesti kolmiona , neliönä , viisikulmiona ...

Säännöllisten polygonien monet ominaisuudet ovat johtaneet niiden matemaattiseen tutkimukseen muinaisista ajoista lähtien ja erilaisiin symbolisiin , uskonnollisiin tai maagisiin tulkintoihin .

Yleiset ominaisuudet

Ominaisuudet

Monikulmio on säännöllinen vain ja vain, jos se on sekä tasasivuinen että kirjoitettavissa ( ympyrässä ).Tämän ympyrän keskipistettä ja sädettä kutsutaan sitten monikulmion keskukseksi ja säteeksi .

Monikulmio on säännöllinen vain ja vain, jos jokin kärki lähettää kiertymän seuraavalle.Tämä (ainutlaatuinen) kierto lähettää sitten myös molemmat puolet seuraavalle.

Siksi mikä tahansa säännöllinen monikulmio ei ole vain tasasivuinen ja tasasivuinen (määritelmän mukaan), vaan jopa sekä isotoksinen että isogonaalinen .

Monikulmio, jolla on n sivua, on säännöllinen vain ja vain, jos sen symmetriaryhmä on "mahdollisimman suuri": luokkaa 2 n .Tämä ryhmä on sitten dihedral ryhmä D n , koostuu kierrosten C n (jäljempänä kiertosymmetria ryhmä jotta n - jos n on parillinen, monikulmio on siis symmetrian keskipiste) ja n aksiaalisen symmetrian , joiden akselit läpi keskus. Jos n on tasainen, puolet näistä akseleista kulkee kahden vastakkaisen kärjen läpi ja toinen puoli kahden vastakkaisen puolen keskipisteiden läpi. Jos n on pariton, kukin akseli kulkee kärkipisteen ja vastakkaisen sivun keskipisteen läpi.

Muita ominaisuuksia

Mikä tahansa säännöllinen monikulmio on automaattinen .Todellakin, edellä mainittu kiertymä luonnehtii täysin polygonia ( läheisellä suoralla samankaltaisuudella ).

Säännöllinen polygoneja kanssa n kärkipisteet (harkita läheinen samankaltaisuus) ovat bijection kanssa prime kokonaislukuja ja n ja välillä 1 ja n / 2
(siis n > 2, on fi ( n ) / 2, jossa φ tarkoittaa indikaattorin Euler ) .Todellakin, kierto on järjestyksessä n niin, että sen kulma toimenpiteet $2 k π / n$ rad tietyn kokonaisluku k prime kanssa n . Lisäksi kaksi kulmaa antaa "saman" monikulmion vain ja vain, jos ne ovat yhtä suuret tai vastakkaiset.

Viivaimen ja kompassin rakenne

Säännöllinen monikulmio (kupera tai tähti), jossa n reunat voidaan rakennettu hallitsija ja kompassi jos ja vain jos n on tuote, joka saadaan 2: n potenssi , jonka eri Fermat'n alkulukuja ( katso artikkeli ” Lause Gauss-Wantzel ” ). Ainoat tiedossa olevat Fermat-alkuluvut ovat 3, 5, 17, 257 ja 65537.

Säännölliset kuperat polygonit

Säännöllinen kupera polygoni, jossa on n sivua, vastaa kiertokulmaa $2π / n$ .

Kulmat

Tavalliselle kuperalle polygonille, jossa on n sivua.

Kulma keskellä: Keskellä
olevat $n$ kulmaa ovat yhtä suuret ja niiden summa on 360 °. Keskellä olevalla kulmalla on siis arvo: $2π / ei$ radiaaneja tai $360 / ei$ astetta .
Ulkokulma :
Samalla perustelulla myös ulkokulman arvo on 360 ° / n .
Sisäinen kulma :
Se on lisäksi ulkoiseen kulma (tai kulma, keskellä) ja näin ollen on seuraava arvo: ${\ displaystyle 180 - {\ frac {360} {n}} = {\ frac {(n-2) \ kertaa 180} {n}}}$ astetta tai $( n - 2) π / ei$ radiaaneja tai jopa $( n - 2) / 2 n$ kääntyy .

Apothem ja säde

Monikulmion keskipisteen ja kunkin sivun välistä etäisyyttä kutsutaan apoteemiksi (tämä on kirjoitetun ympyrän säde ).

Yhden kolmesta pituudesta (sivu $a$ , säde $ρ$ tai apothem $h$ ) mahdollistaa kahden muun tuntemisen ja siten monikulmion karakterisoinnin.

Jos me ilmi $c = a / 2$ puoli sivu- säännöllisen monikulmion, jossa on $n-$ sivut, nämä pituudet ovat liittyvinä Pythagoraan lause :

h ^ {2} + c ^ {2} = \ rho ^ {2}

ja seuraavilla trigonometrian kaavoilla (kulmat ilmoitetaan radiaaneina):

{\ displaystyle h = \ rho \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ quad {\ rm {et}} \ quad c = \ rho \ sin \ left ({\ frac { \ pi} {n}} \ oikea) \ quad {\ rm {siksi}} \ quad c = h \ tan \ vasen ({\ frac {\ pi} {n}} \ oikea),}

josta päätämme vastaavasti:

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}, \ quad \ rho = {\ frac {a} {2 \ sin (\ pi / n)}} \ quad { \ rm {ja}} \ quad h = {\ frac {a} {2 \ tan (\ pi / n)}}.}

Kehä ja alue

Kehä P säännöllisen kuperan monikulmion $n$ sivut ( n ≥ 3), jonka pituus on on tietenkin yhtä kuin na . Kuten sen alue S , se on summa alueiden n kolmiot ( tasakylkinen ) korkeus $h$ (jäljempänä apoteema) ja pohja , siis:

{\ displaystyle P = na \ quad {\ text {et}} \ quad S = n {\ frac {ah} {2}} = {\ frac {Ph} {2}}}

Edeltävistä suhteista $a$ , $h$ ja polygonin säde $ρ$ , päätämme sitten:

{\ displaystyle P = 2n \ sin \ vasen ({\ frac {\ pi} {n}} \ oikea) \ rho \ quad {\ text {et}} \ quad S = {\ frac {na ^ {2}} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {n}} \ right)}} = {\ frac {n} {2}} \ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {n} } \ oikea) \ rho ^ {2}}

;

viimeinen tasa käyttää myös trigonometriset identiteettiä : . ${\ displaystyle \ sin x \ kertaa \ cos x = {1 \ yli 2} \ sin {2x}}$

Koska $sin x$ on yhtä ja $x$ kuin $x$ pyrkii 0, kehä pyrkii $2n ρ$ kuten $n$ pyrkii äärettömyyteen, ja alueen $fl ρ 2$ . Löydämme ympyrän kehän ja alue levyn .

Säännöllisillä kuperilla polygoneilla on merkittävä ominaisuus, joka tunnetaan kreikkalaisista lähtien . Kaikista polygoneista, joilla on sama sivujen määrä ja sama kehä, säännöllisellä kuperalla on suurin alue. Tämä alue, aina pienempi kuin saman säteen ympyrän alue, tulee lähemmäksi sitä, kun $n$ kasvaa. Näitä ominaisuuksia käsitellään artikkelissa " Isoperimetria ".

Numeeriset arvot

Sivut	Sukunimi	Tarkka alue, jos $a$ = 1	Puolet kehästä, jos $ρ = 1$
3	Tasasivuinen kolmio	${\ displaystyle {\ frac {3} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {3}} \ oikea)}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}}}$	2,5980762
4	Neliö	${\ displaystyle {\ frac {4} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {4}} \ oikea)}} = 1 \;}$	2.8284271
5	Säännöllinen viisikulmio	${\ displaystyle {\ frac {5} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {5}} \ right)}} = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}}$	2.9389263
6	Säännöllinen kuusikulmio	${\ displaystyle {\ frac {6} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {6}} \ right)}} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} }$	3.000000
7	Säännöllinen kuusikulmio	${\ displaystyle {\ frac {7} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {7}} \ oikea)}}}$	3.0371862
8	Säännöllinen kahdeksankulmio	${\ displaystyle {\ frac {8} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {8}} \ oikea)}} = 2 + 2 {\ sqrt {2}}}$	3.0614675
9	Säännöllinen Enneagone	${\ displaystyle {\ frac {9} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {9}} \ oikea)}}}$	3.0781813
10	Säännöllinen kolmio	${\ displaystyle {\ frac {10} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {10}} \ right)}} = {\ frac {5} {2}} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}}}$	3.0901699
11	Säännöllinen Hendecagon	${\ displaystyle {\ frac {11} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {11}} \ oikea)}}}$	3.0990581
12	Säännöllinen kaksikulmio	${\ displaystyle {\ frac {12} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {12}} \ right)}} = 6 + 3 {\ sqrt {3}}}$	3,1058285
13	Säännöllinen Tridecagon	${\ displaystyle {\ frac {13} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {13}} \ oikea)}}}$	3,1111036
14	Säännöllinen tetradekagon	${\ displaystyle {\ frac {14} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {14}} \ oikea)}}}$	3,1152931
15	Säännöllinen viisikulmio	${\ displaystyle {\ frac {15} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {15}} \ oikea)}}}$	3,1186754
16	Säännöllinen kuusikulmio	${\ displaystyle {\ frac {16} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {16}} \ oikea)}}}$	3.1214452
17	Säännöllinen heptadecagon	${\ displaystyle {\ frac {17} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {17}} \ oikea)}}}$	3.1237418
18	Säännöllinen kahdeksankulmio	${\ displaystyle {\ frac {18} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {18}} \ oikea)}}}$	3,1256672
19	Säännöllinen Enneadecagon	${\ displaystyle {\ frac {19} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {19}} \ oikea)}}}$	3,1272972
20	Säännöllinen Icosagon	${\ displaystyle {\ frac {20} {4 \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {20}} \ right)}} = 5 kertaa {\ frac {1 + {\ sqrt {5}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {1 + {\ sqrt {5}} - {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}}}}}$	3,1286893
30	Säännöllinen kolmikulmainen	${\ displaystyle {\ frac {30} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {30}} \ oikea)}} = {\ frac {15} {2}} \ kertaa {\ frac {{ \ sqrt {15}} + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {10 - {\ sqrt {20}}}}} {{\ sqrt {30 - {\ sqrt {180}}}} - {\ sqrt {5}} - 1}}}$	3,1358539
100	Säännöllinen suorakulmio	${\ displaystyle {\ frac {100} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {100}} \ oikea)}}}$	3.1410759
1000	Tavallinen Chiliagon	${\ displaystyle {\ frac {1000} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {1000}} \ oikea)}}}$	3.1415875
10000	Myriagone säännöllinen	${\ displaystyle {\ frac {10000} {4 \ tan \ vasen ({\ tfrac {\ pi} {10000}} \ oikea)}}}$	3.1415926

Huomaa, että jos säde on yhtä suuri kuin 1, puoliympyrä lähestyy yhä enemmän $π$ .

Säännölliset kuperat polygonit

Esimerkki tavallisesta tähtipolygonista (joka vastaa " ristissä olevaa säännöllistä " tai "ei-kuperaa säännöllistä") on pentagrammi , jolla on samat kärjet kuin tavallisella kuperalla viisikulmalla , mutta joka on yhdistetty vuorottelevilla kärjillä.

Ensimmäiset tähtipolygonit ovat:

Pentagrammi - {5/2}
Heptagrammit - {7/2}, {7/3}
Octagram (en) - {8/3}
Enneagrammit - {9/2}, {9/4}
Dekagrammi - {10/3}

Polyhedra

Yhtenäinen polyhedron on polyhedron säännöllisesti monikulmio kasvoja siten, että kunkin parin kärjet on olemassa isometria soveltamalla toistensa päälle. Sana monikulmio tulee sanasta poly (monet) ja mennyt (kulmat).

Huomautuksia ja viitteitä

(fr) Tämä artikkeli on osittain tai kokonaan otettu Wikipedian englanninkielisestä artikkelista " Regular polygon " ( katso tekijäluettelo ) .

On mukava ajatella Digon kuin kupera monikulmio , vaikka se ei ole edes yksinkertaista .
Farkkujen matematiikan sanasto .

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Ulkoiset linkit

(en) Säännöllisen monikulmion kuvaus interaktiivisella animaatiolla
( fr ) Tavallisen monikulmion kaiverrettu ympyrä interaktiivisella animaatiolla
( fr ) Säännöllisen monikulmion alue Kolme erilaista kaavaa interaktiivisella animaatiolla
Kukkien geometria, jossa on säännöllinen monikulmio Vastaavuus kuvioiden ja kukkien ääriviivojen välillä