Trigonometrinen identiteetti
Trigonometriset identiteetti on suhteessa mukana trigonometriset funktiot , tarkistetaan kaikki mahdolliset arvot muuttujien mukana suhteessa. Näitä identiteettejä voidaan käyttää yksinkertaistamaan lauseketta trigonometrisillä funktioilla tai muuttamaan sitä antivivatiivin laskemiseksi. Ne ovat siis hyödyllinen "työkalupakki" ongelmanratkaisussa.
Trigonometriset funktiot määritellään geometrisesti tai analyyttisesti . Niitä käytetään paljon integraatio , integroida ”ei-trigonometriset” toiminnot: tavanomainen prosessi käsittää suorittamiseksi muutoksen muuttujan avulla trigonometristen, ja sitten yksinkertaistaa kiinteä saatu trigonometriset identiteetit.
Merkintä : jos ƒ on trigonometrinen funktio, ƒ 2 tarkoittaa funktiota, joka mihin tahansa todelliseen x: ään yhdistää of ( x ): n neliön . Esimerkiksi: cos 2 x = (cos x ) 2 .
Trigonometristen toimintojen väliset suhteet
Trigonometristen funktioiden väliset suhteet johtuvat toisaalta määritelmistä
rusketusθ=syntiθcosθ,kustannusθ=cosθsyntiθ,...{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}, \ quad \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}, \ neliö \ ldots}![\ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}, \ quad \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}, \ quad \ ldots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2beae692b4e0fe0ccf7fe790a7e2b68fa139d5cf)
ja toisaalta Pythagoraan lauseen soveltaminen , erityisesti:
cos2θ+synti2θ=1rusketus2θ+1=1cos2θ,kustannus2θ+1=1synti2θ.{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1 \ quad \ tan ^ {2} \ theta +1 = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta }}, \ quad \ cot ^ {2} \ theta +1 = {\ frac {1} {\ sin ^ {2} \ theta}}.}![\ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1 \ quad \ tan ^ {2} \ theta +1 = {\ frac 1 {\ cos ^ {2} \ theta}}, \ quad \ cot ^ {2} \ theta +1 = {\ frac 1 {\ sin ^ {2} \ theta}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9431027cbff50b2d0a51a0e6cdb46954a8562f61)
Ensimmäisen kvadrantin ( ) trigonometristen funktioiden väliset suhteet , jotka eivät välttämättä ole voimassa 0: ssa tai0⩽θ⩽π2{\ displaystyle 0 \ leqslant \ theta \ leqslant {\ tfrac {\ pi} {2}}}
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
|
cos
|
synti
|
rusketus
|
kustannus
|
kuiva
|
csc
|
---|
cos
|
|
cosθ=1-synti2θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}
|
cosθ=11+rusketus2θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}}
|
cosθ=kustannusθ1+kustannus2θ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ cot \ theta} {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}}}}
|
cosθ=1kuivaθ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {1} {\ sec \ theta}}}
|
cosθ=csc2θ-1cscθ{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}} {\ csc \ theta}}}
|
---|
synti
|
syntiθ=1-cos2θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}
|
|
syntiθ=rusketusθ1+rusketus2θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ tan \ theta} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}}
|
syntiθ=11+kustannus2θ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ pinnasänky ^ {2} \ theta}}}}
|
syntiθ=kuiva2θ-1kuivaθ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}} {\ sec \ theta}}}
|
syntiθ=1cscθ{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {1} {\ csc \ theta}}}
|
---|
rusketus
|
rusketusθ=1-cos2θcosθ{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}} {\ cos \ theta}}}
|
rusketusθ=syntiθ1-synti2θ{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}}
|
|
rusketusθ=1kustannusθ{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {1} {\ cot \ theta}}}
|
rusketusθ=kuiva2θ-1{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}
|
rusketusθ=1csc2θ-1{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}}
|
---|
kustannus
|
kustannusθ=cosθ1-cos2θ{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}}
|
kustannusθ=1-synti2θsyntiθ{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}} {\ sin \ theta}}}
|
kustannusθ=1rusketusθ{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}}}
|
|
kustannusθ=1kuiva2θ-1{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}}}
|
kustannusθ=csc2θ-1{\ displaystyle \ cot \ theta = {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}
|
---|
kuiva
|
kuivaθ=1cosθ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}}
|
kuivaθ=11-synti2θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}}}
|
kuivaθ=1+rusketus2θ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}
|
kuivaθ=1+kustannus2θkustannusθ{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}} {\ cot \ theta}}}
|
|
kuivaθ=cscθcsc2θ-1{\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {\ csc \ theta} {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}}
|
---|
csc
|
cscθ=11-cos2θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}}
|
cscθ=1syntiθ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}}
|
cscθ=1+rusketus2θrusketusθ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}} {\ tan \ theta}}}
|
cscθ=1+kustannus2θ{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}}}
|
cscθ=kuivaθkuiva2θ-1{\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {\ sec \ theta} {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}}
|
|
---|
Trigonometriseen ympyrään liittyvät ominaisuudet
Symmetriat, pariteetti
Pariteetti - akselin heijastus ( θ = 0 )
|
Akselin heijastus ( θ = π / 4 )
|
Akselin heijastus ( θ = π / 2 )
|
---|
synti(-θ)=-syntiθcos(-θ)=+cosθrusketus(-θ)=-rusketusθkustannus(-θ)=-kustannusθ{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ sin (- \ theta) & = - \ sin \ theta \\\ cos (- \ theta) & = + cos \ theta \\\ tan (- \ theta) & = - \ tan \ theta \\\ pinnasänky (- \ theta) & = - \ cot \ theta \ end {tasattu}}}
|
synti(π2-θ)=+cosθcos(π2-θ)=+syntiθrusketus(π2-θ)=+kustannusθkustannus(π2-θ)=+rusketusθ{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ cos \ theta \\\ cos ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ sin \ theta \\\ tan ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ cot \ theta \\\ cot ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta) & = + \ tan \ theta \ end {tasattu}}}
|
synti(π-θ)=+syntiθcos(π-θ)=-cosθrusketus(π-θ)=-rusketusθkustannus(π-θ)=-kustannusθ{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ sin (\ pi - \ theta) & = + \ sin \ theta \\\ cos (\ pi - \ theta) & = - \ cos \ theta \\\ tan (\ pi - \ theta) & = - \ tan \ theta \\\ pinnasänky (\ pi - \ theta) & = - \ cot \ theta \\\ end {tasattu}}}
|
Huomaa: Kaikkia näitä kaavoja voidaan käyttää myös kulmien lisäämiseen, ota vain päinvastoin: esimerkiksi . Sitten riittää, että sovelletaan vastaavaa ensimmäisen sarakkeen yksinkertaistamiskaavaa.
synti(π2+θ)=synti(π2-(-θ))=cos(-θ){\ displaystyle \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} + \ theta) = \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} - (- - theta)) = \ cos (- \ theta )}![{\ displaystyle \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} + \ theta) = \ sin ({\ tfrac {\ pi} {2}} - (- - theta)) = \ cos (- \ theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d59d4973319d2236424c762acba27b8092e166)
Säännöllisyys, muutokset
Π / 2 vuoroa
|
Siirtyminen π (Toimenpiteen tan ja cot)
|
2π: n siirtymä (synnin ja cos-jakso)
|
---|
synti(θ+π2)=+cosθcos(θ+π2)=-syntiθrusketus(θ+π2)=-kustannusθkustannus(θ+π2)=-rusketusθ{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ sin (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {2}}) & = + \ cos \ theta \\\ cos (\ theta + {\ tfrac {\ pi} { 2}}) & = - \ sin \ theta \\\ tan (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {2}}) & = - \ cot \ theta \\\ cot (\ theta + {\ tfrac { \ pi} {2}}) & = - \ tan \ theta \ end {tasattu}}}
|
synti(θ+π)=-syntiθcos(θ+π)=-cosθrusketus(θ+π)=+rusketusθkustannus(θ+π)=+kustannusθ{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ sin (\ theta + \ pi) & = - \ sin \ theta \\\ cos (\ theta + \ pi) & = - \ cos \ theta \\\ tan (\ theta + \ pi) & = + \ tan \ theta \\\ pinnasänky (\ theta + \ pi) & = + \ pinnasänky \ theta \\\ loppu {tasattu}}}
|
synti(θ+2π)=+syntiθcos(θ+2π)=+cosθrusketus(θ+2π)=+rusketusθkustannus(θ+2π)=+kustannusθ{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ sin (\ theta +2 \ pi) & = + sin \ theta \\\ cos (\ theta +2 \ pi) & = + cos \ theta \\\ tan ( \ theta +2 \ pi) & = + \ tan \ theta \\\ pinnasänky (\ theta +2 \ pi) & = + \ cot \ theta \ end {tasattu}}}
|
Trigonometriset yhtälöt
Joitakin edellä mainituista suhteista vahvistavat seuraavat vastaavuudet:
cosVastaanottaja=cosb⇔Vastaanottaja=b+2kπMissäVastaanottaja=-b+2kπ(k∈Z){\ displaystyle \ cos a = \ cos b \ Vasen oikeanpuoleinen nuoli a = b + 2k \ pi \ quad {\ text {tai}} \ quad a = -b + 2k \ pi \ qquad (k \ in \ mathbb {Z}) }
syntiVastaanottaja=syntib⇔Vastaanottaja=b+2kπMissäVastaanottaja=π-b+2kπ(k∈Z){\ displaystyle \ sin a = \ sin b \ Vasemmanpuoleinen nuoli a = b + 2k \ pi \ quad {\ text {tai}} \ quad a = \ pi -b + 2k \ pi \ qquad (k \ in \ mathbb {Z })}
rusketusVastaanottaja=rusketusb⇔Vastaanottaja=b+kπ(k∈Z){\ displaystyle \ tan a = \ tan b \ Vasen palkki a = b + k \ pi \ qquad (k \ sisään \ mathbb {Z})}
Lisäys- ja erotuskaavat
Kaksi pääkaavaa ovat kosinin ja sinin lisäyskaavat:
cos(Vastaanottaja+b)=cosVastaanottajacosb-syntiVastaanottajasyntib{\ displaystyle \ cos (a + b) = \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b}
synti(Vastaanottaja+b)=syntiVastaanottajacosb+cosVastaanottajasyntib{\ displaystyle \ sin (a + b) = \ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b}
Korvaamalla b sen vastakohdalla saadaan myös erotuskaavat:
cos(Vastaanottaja-b)=cosVastaanottajacosb+syntiVastaanottajasyntib{\ displaystyle \ cos (ab) = \ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b}
synti(Vastaanottaja-b)=syntiVastaanottajacosb-cosVastaanottajasyntib{\ displaystyle \ sin (ab) = \ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b}
Nopein tapa osoittaa ne on kosinin ja sinin analyyttisestä määritelmästä käyttää Eulerin kaavoja .
On olemassa monia muita mahdollisia todisteita, joissa käytetään sointuominaisuuksia ympyrässä, kulman kosinin ja pistetulon välistä suhdetta (arvioimalla vektorien (cos a , sin a ) ja (cos b , sin b ) , alla olevan koordinaatistojärjestelmän muutoksen ominaisuus tai matriisivedos.
Matriisin esittely
käyttää tasokierron matriisin ilmaisua ( suorassa ortonormaalipohjassa ) kosinin ja sen kulman sinin funktiona :
Rθ=(cosθ-syntiθsyntiθcosθ).{\ displaystyle R _ {\ theta} = {\ aloita {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \\\ end {pmatrix}}.}
Taso vektori kierto kulman + b on yhdiste rotaatioiden kulmien ja b niin sen matriisi on tuote matriisien R ja R b :
(cos(Vastaanottaja+b)...synti(Vastaanottaja+b)...)=RVastaanottaja+b=RVastaanottajaRb=(cosVastaanottaja-syntiVastaanottajasyntiVastaanottajacosVastaanottaja)(cosb...syntib...)=(cosVastaanottajacosb-syntiVastaanottajasyntib...syntiVastaanottajacosb+cosVastaanottajasyntib...){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (a + b) & \ ldots \\\ sin (a + b) & \ ldots \\\ end {pmatrix}} = R_ {a + b} = R_ {a } R_ {b} = {\ aloita {pmatrix} \ cos a & - \ sin a \\\ sin a & \ cos a \\\ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ cos b & \ ldots \ \\ sin b & \ ldots \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b & \ ldots \\\ sin a \ cos b + \ cos a \ sin b & \ ldots \ \\ end {pmatrix}}}
.
Kaavat saadaan sitten tunnistamalla.
Johdamme tangentin ja kotangentin summaus- ja erotuskaavat. Esimerkiksi lisäykselle:
rusketus(Vastaanottaja+b)=rusketusVastaanottaja+rusketusb1-rusketusVastaanottajarusketusbetkustannus(Vastaanottaja+b)=kustannusVastaanottajakustannusb-1kustannusVastaanottaja+kustannusb{\ displaystyle \ tan (a + b) = {\ frac {\ tan a + \ tan b} {1- \ tan a \ tan b}} \ quad {\ rm {ja}} \ quad \ cot (a + b) = {\ frac {\ cot a \ cot b-1} {\ cot a + \ cot b}}}![{\ displaystyle \ tan (a + b) = {\ frac {\ tan a + \ tan b} {1- \ tan a \ tan b}} \ quad {\ rm {ja}} \ quad \ cot (a + b) = {\ frac {\ cot a \ cot b-1} {\ cot a + \ cot b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a476c89ccc6a95af7f4f6da4ba3c40654de503f)
.
Esimerkki
rusketus(x+π/4)=1+rusketusx1-rusketusx{\ displaystyle \ tan (x + \ pi / 4) = {\ frac {1+ \ tan x} {1- \ tan x}}}![{\ displaystyle \ tan (x + \ pi / 4) = {\ frac {1+ \ tan x} {1- \ tan x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511c5e162658d92620d08b3d1f443b91aa2850c0)
.
Yleisemmin n kulman summan tangentti (tai kotangentti) ilmaistaan näiden kulmien tangenttien (resp. Kotangenttien) funktiona:
rusketus(θ1+...+θei)=σ1-σ3+σ5-...1-σ2+σ4-...(rusketusθ1,...,rusketusθei)etkustannus(θ1+...+θei)=σei-σei-2+σei-4-...σei-1-σei-3+σei-5-...(kustannusθ1,...,kustannusθei){\ displaystyle \ tan (\ theta _ {1} + \ ldots + \ theta _ {n}) = {\ frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3} + \ sigma _ {5} - \ ldots} {1- \ sigma _ {2} + \ sigma _ {4} - \ ldots}} (\ tan \ theta _ {1}, \ ldots, \ tan \ theta _ {n}) \ quad {\ rm {et}} \ quad \ cot (\ theta _ {1} + \ ldots + \ theta _ {n}) = {\ frac {\ sigma _ {n} - \ sigma _ {n-2} + \ sigma _ {n-4} - \ ldots} {\ sigma _ {n-1} - \ sigma _ {n-3} + \ sigma _ {n-5} - \ ldots}} (\ cot \ theta _ {1} , \ ldots, \ cot \ theta _ {n})}![{\ displaystyle \ tan (\ theta _ {1} + \ ldots + \ theta _ {n}) = {\ frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {3} + \ sigma _ {5} - \ ldots} {1- \ sigma _ {2} + \ sigma _ {4} - \ ldots}} (\ tan \ theta _ {1}, \ ldots, \ tan \ theta _ {n}) \ quad {\ rm {et}} \ quad \ cot (\ theta _ {1} + \ ldots + \ theta _ {n}) = {\ frac {\ sigma _ {n} - \ sigma _ {n-2} + \ sigma _ {n-4} - \ ldots} {\ sigma _ {n-1} - \ sigma _ {n-3} + \ sigma _ {n-5} - \ ldots}} (\ cot \ theta _ {1} , \ ldots, \ cot \ theta _ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fd525dca58bebe19a42e08adb28db534992160c)
missä σ k (kun 0 ≤ k ≤ n ) ovat elementaarisia symmetrisiä polynomeja . Ja pariton n , se on sama järkevä osa ; esimerkiksi n = 3 :
rusketus(Vastaanottaja+b+vs.)=F(rusketusVastaanottaja,rusketusb,rusketusvs.)etkustannus(Vastaanottaja+b+vs.)=F(kustannusVastaanottaja,kustannusb,kustannusvs.)Vastaanottajavevs.F(u,v,w)=u+v+w-uvw1-(uv+uw+vw).{\ displaystyle \ tan (a + b + c) = F (\ tan a, \ tan b, \ tan c) \ quad {\ rm {ja}} \ quad \ cot (a + b + c) = F ( \ cot a, \ cot b, \ cot c) \ quad {\ rm {kanssa}} \ quad F (u, v, w) = {\ frac {u + v + w-uvw} {1- (uv + uw + vw)}}.}![{\ displaystyle \ tan (a + b + c) = F (\ tan a, \ tan b, \ tan c) \ quad {\ rm {ja}} \ quad \ cot (a + b + c) = F ( \ cot a, \ cot b, \ cot c) \ quad {\ rm {kanssa}} \ quad F (u, v, w) = {\ frac {u + v + w-uvw} {1- (uv + uw + vw)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa552a2f6d959ad71fc93c1abab0749b6131d3)
Toinen mielenkiintoinen seuraus synnin lisäyskaavasta on, että se sallii sinin ja kosinin lineaarisen yhdistelmän pienentämisen siniksi:
asyntix+βcosx=a2+β2 synti(x+φ){\ displaystyle \ alpha \ sin x + \ beta \ cos x = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2}}} ~ \ sin (x + \ varphi)}
tai
φ=Vastaanottajarvs.tVastaanottajaei(β/a){\ displaystyle \ varphi = {\ rm {arctan}} (\ beta / \ alfa)}
jos α on positiivinen ja jos ei.φ=Vastaanottajarvs.tVastaanottajaei(β/a)+π{\ displaystyle \ varphi = {\ rm {arctan}} (\ beta / \ alfa) + \ pi}
Päällekkäiset ja puolikulmaiset kaavat
Kaksinkertaisen kulman kaavat
Jota kutsutaan myös "kaksinkertainen kulma kaavoja", ne voidaan saada, kahden ensimmäisen, korvaamalla ja b , jonka x on lisäksi kaavoissa tai käyttämällä Moivre kaava jossa n = 2. Seuraavat kaksi päätellään identiteetin cos 2 x + syn 2 x = 1 .
synti2x=2syntixcosx,cos2x=cos2x-synti2x=2cos2x-1=1-2synti2x,rusketus2x=2rusketusx1-rusketus2x=2kustannusxkustannus2x-1=2kustannusx-rusketusx.{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ sin 2x & = 2 \ sin x \ cos x, \\\ cos 2x & = \ cos ^ {2} x- \ sin ^ {2} x = 2 \ cos ^ { 2} x-1 = 1-2 \ sin ^ {2} x, \\\ tan 2x & = {\ frac {2 \ tan x} {1- \ tan ^ {2} x}} = {\ frac { 2 \ cot x} {\ cot ^ {2} x-1}} = {\ frac {2} {\ cot x- \ tan x}}. \ End {tasattu}}}
Neliön pienennyskaavat
Nämä kaavat antavat mahdollisuuden kirjoittaa cos 2 x ja sin 2 x , joten myös tan 2 x kaksinkulman kosinin mukaan:
cos2x=1+cos(2x)2,synti2x=1-cos(2x)2etrusketus2x=1-cos(2x)1+cos(2x).{\ displaystyle \ cos ^ {2} x = {\ frac {1+ \ cos (2x)} {2}}, \ quad \ sin ^ {2} x = {\ frac {1- \ cos (2x)} {2}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ tan ^ {2} x = {\ frac {1- \ cos (2x)} {1+ \ cos (2x)}}.}
Puolikulma kaavat
|cos(θ2)|=1+cosθ2,|synti(θ2)|=1-cosθ2{\ displaystyle \ left | \ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ theta} {2}}}, \ qquad \ left | \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right | = {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}}}
rusketus(θ2)=syntiθ1+cosθ=1-cosθsyntiθ{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}![\ tan \ left ({\ frac \ theta 2} \ right) = {\ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} = {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ sin \ teeta}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b052457d78bf8d9dccac80b5072d75ef5f8fefe3)
Esittely
Kaksi ensimmäistä identiteettiä päätetään neliökaavojen pelkistyksestä korvaamalla x luvulla θ / 2 .
Kolmas saadaan kirjoittamallarusketus(θ2)=synti(θ/2)cos(θ/2)=2cos(θ/2)2cos(θ/2)synti(θ/2)cos(θ/2)=syntiθ1+cosθ,{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin (\ theta / 2)} {\ cos (\ theta / 2)}} = {\ frac {2 \ cos (\ theta / 2)} {2 \ cos (\ theta / 2)}} {\ frac {\ sin (\ theta / 2)} {\ cos (\ theta / 2)}} = { \ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}},}
missä lopullinen tasa-arvo tulee kaksinkulma kaavoista.
Viimeinen (jossa sin θ oletetaan olevan ei-nolla) on johdettusynti2θ=1-cos2θ=(1-cosθ)(1+cosθ).{\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta = 1- \ cos ^ {2} \ theta = (1- \ cos \ theta) (1+ \ cos \ theta).}
Kaavat, joissa on "puolikaaren tangentti"
Jos asetamme, x ≠ π + 2 k π ,
t=rusketus(x/2){\ displaystyle t = \ tan (x / 2)}![{\ displaystyle t = \ tan (x / 2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e6bea30e6a7ecfbe1066f3424ce10414bc13e8)
,
meillä on
cosx=1-t21+t2etsyntix=2t1+t2doeivs.{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ sin x = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \ quad {\ rm {siksi}}}
rusketusx=2t1-t2.{\ displaystyle {} \ quad \ tan x = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}.}
Jos muuttujaa muutetaan integraatiossa , lisätään suhde:
dx=2dt1+t2{\ displaystyle \ mathrm {d} x = {\ frac {2 \, \ mathrm {d} t} {1 + t ^ {2}}}}
.
Nämä kaavat mahdollistavat trigonometristen laskelmien yksinkertaistamisen pelkistämällä rationaalisten murtolukujen laskelmat. Ne mahdollistavat myös yksikköympyrän rationaalisten pisteiden joukon määrittämisen .
Tuotteiden muuntaminen summiksi tai linearisointi
cosVastaanottajacosb=cos(Vastaanottaja+b)+cos(Vastaanottaja-b)2{\ displaystyle \ cos a \ cos b = {\ frac {\ cos (a + b) + \ cos (ab)} {2}}}
syntiVastaanottajasyntib=cos(Vastaanottaja-b)-cos(Vastaanottaja+b)2{\ displaystyle \ sin a \ sin b = {\ frac {\ cos (ab) - \ cos (a + b)} {2}}}
syntiVastaanottajacosb=synti(Vastaanottaja+b)+synti(Vastaanottaja-b)2{\ displaystyle \ sin a \ cos b = {\ frac {\ sin (a + b) + \ sin (ab)} {2}}}
cosVastaanottajasyntib=synti(Vastaanottaja+b)-synti(Vastaanottaja-b)2 {\ displaystyle \ cos a \ sin b = {\ frac {\ sin (a + b) - \ sin (ab)} {2}} \}![{\ displaystyle \ cos a \ sin b = {\ frac {\ sin (a + b) - \ sin (ab)} {2}} \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc8e7aa5757a7cb9a2105e6dc82b1030c9134c1)
(vastaa edellistä kääntämällä
a ja
b ).
Nämä kaavat voidaan osoittaa laajentamalla niiden oikeanpuoleisia jäseniä lisäys- ja erotuskaavojen avulla .
Summien muuntaminen tuotteiksi tai anti-linearisointi
coss+cosq=2coss+q2coss-q2{\ displaystyle \ cos p + \ cos q = 2 \ cos {\ frac {p + q} {2}} \ cos {\ frac {pq} {2}}}
coss-cosq=-2syntis+q2syntis-q2{\ displaystyle \ cos p- \ cos q = -2 \ sin {\ frac {p + q} {2}} \ sin {\ frac {pq} {2}}}
syntis+syntiq=2syntis+q2coss-q2{\ displaystyle \ sin p + \ sin q = 2 \ sin {\ frac {p + q} {2}} \ cos {\ frac {pq} {2}}}
syntis-syntiq=2coss+q2syntis-q2{\ displaystyle \ sin p- \ sin q = 2 \ cos {\ frac {p + q} {2}} \ sin {\ frac {pq} {2}}}![{\ displaystyle \ sin p- \ sin q = 2 \ cos {\ frac {p + q} {2}} \ sin {\ frac {pq} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3568726ca1d40f6a9ee377295eaf7679b01161)
(vastaa edellisen korvaamalla
q kanssa
q ).
Riittää, kun tilalle mennessäp + q/2ja b mennessäp - q/2tuotteen muunnoskaavoissa summa. Johdamme kulmapuoliskon tangentin kaavojen yleistämisen :
rusketuss+q2=syntis+syntiqcoss+cosq=-coss-cosqsyntis-syntiq{\ displaystyle \ tan {\ frac {p + q} {2}} = {\ frac {\ sin p + \ sin q} {\ cos p + \ cos q}} = - {\ frac {\ cos p- \ cos q} {\ sin p- \ sin q}}}![{\ displaystyle \ tan {\ frac {p + q} {2}} = {\ frac {\ sin p + \ sin q} {\ cos p + \ cos q}} = - {\ frac {\ cos p- \ cos q} {\ sin p- \ sin q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f15d5e9fdb35479d53e2bb5d31ecc8e3246e10)
.
Lisäksi olemme päätellä suoraan lisäämällä kaavan varten sin :
rusketuss+rusketusq=synti(s+q)cosscosq{\ displaystyle \ tan p + \ tan q = {\ frac {\ sin (p + q)} {\ cos p \, \ cos q}}}![\ tan p + \ tan q = {\ frac {\ sin (p + q)} {\ cos p \, \ cos q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2073f2b5e451b6da9a646016cd076041c565f6bb)
.
Eulerin kaavat
cosx=eix+e-ix2=coshix{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} = \ cosh {\ rm {i}} x}
syntix=eix-e-ix2i=-isinhix{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2 {\ rm {i}}}} = - {\ rm {i}} \ sinh {\ rm {i}} x}![{\ displaystyle \ sin x = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2 {\ rm {i}}}} = - {\ rm {i}} \ sinh {\ rm {i}} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ffa6a6fabf0c86e8095d6a425013e07f20008d6)
jossa i on imaginääriyksikkö . Päätämme sen
rusketusx=i(1-e2ix)1+e2ix=-itanhix{\ displaystyle \ tan x = {\ frac {{\ rm {i}} \ vasen (1 - {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} x} \ oikea)} {1+ { \ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} x}}} = - {\ rm {i}} \ tanh {\ rm {i}} x}![{\ displaystyle \ tan x = {\ frac {{\ rm {i}} \ vasen (1 - {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} x} \ oikea)} {1+ { \ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} x}}} = - {\ rm {i}} \ tanh {\ rm {i}} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0e32774938bcc09323096b1ffa80b50aa687f2)
Moivre-kaava ja monikulmakaavat
Moivre kaava on:
cos(eix)+isynti(eix)=(cosx+isyntix)ei{\ displaystyle \ cos (nx) + {\ rm {i}} \ sin (nx) = (\ cos x + {\ rm {i}} \ sin x) ^ {n}}![{\ displaystyle \ cos (nx) + {\ rm {i}} \ sin (nx) = (\ cos x + {\ rm {i}} \ sin x) ^ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c90f8210c21b20a5fd12aaa24e3d65f5a8993ff)
.
Jonka binomisen kaavan , se vastaa:
cos(eix)=∑0≤k≤ei2(-1)k(ei2k)cosei-2kx synti2kxjasynti(eix)=∑0≤k≤ei-12(-1)k(ei2k+1)cosei-2k-1x synti2k+1x{\ displaystyle \ cos (nx) = \ summa _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n} {2}}} (- 1) ^ {k} {n \ valitse 2k} \ cos ^ {n- 2k} x ~ \ sin ^ {2k} x \ quad {\ text {et}} \ quad \ sin (nx) = \ summa _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n-1} {2}} } (- 1) ^ {k} {n \ valitse 2k + 1} \ cos ^ {n-2k-1} x ~ \ sin ^ {2k + 1} x}![{\ displaystyle \ cos (nx) = \ summa _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n} {2}}} (- 1) ^ {k} {n \ valitse 2k} \ cos ^ {n- 2k} x ~ \ sin ^ {2k} x \ quad {\ text {et}} \ quad \ sin (nx) = \ summa _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n-1} {2}} } (- 1) ^ {k} {n \ valitse 2k + 1} \ cos ^ {n-2k-1} x ~ \ sin ^ {2k + 1} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d2c88d15b3506e83ff68cf23eaec5d1fb9d7e82)
.
Kun otetaan huomioon sin 2 x = 1- cos 2 x , jos asetamme
Tei=∑0≤k≤ei2(-1)k(ei2k)Xei-2k(1-X2)kjaUei=∑0≤k≤ei-12(-1)k(ei2k+1)Xei-2k-1(1-X2)k{\ displaystyle T_ {n} = \ summa _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n} {2}}} (- 1) ^ {k} {n \ valitse 2k} X ^ {n-2k} (1-X ^ {2}) ^ {k} \ quad {\ text {ja}} \ quad U_ {n} = \ summa _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n-1} {2} }} (- 1) ^ {k} {n \ valitse 2k + 1} X ^ {n-2k-1} (1-X ^ {2}) ^ {k}}![{\ displaystyle T_ {n} = \ summa _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n} {2}}} (- 1) ^ {k} {n \ valitse 2k} X ^ {n-2k} (1-X ^ {2}) ^ {k} \ quad {\ text {ja}} \ quad U_ {n} = \ summa _ {0 \ leq k \ leq {\ frac {n-1} {2} }} (- 1) ^ {k} {n \ valitse 2k + 1} X ^ {n-2k-1} (1-X ^ {2}) ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b48ff6e3c3ef6102ac2f980722b3485f8eec3c0)
,
meillä on cos ( nx ) = T n (cos x ) ja sin (( n +1) x ) = sin ( x ) U n (cos x ) .
Polynomi T n (vast. U n ) on n- th Chebyshev polynomi ensimmäisen (vast. Second) laji.
Esimerkiksi
cos3x=4cos3x-3cosx,synti3x=syntix(4cos2x-1)=-4synti3x+3syntix{\ displaystyle \ cos 3x = 4 \ cos ^ {3} x-3 \ cos x, \, \ sin 3x = \ sin x (4 \ cos ^ {2} x-1) = - 4 \ sin ^ {3 } x + 3 \ sin x}![{\ displaystyle \ cos 3x = 4 \ cos ^ {3} x-3 \ cos x, \, \ sin 3x = \ sin x (4 \ cos ^ {2} x-1) = - 4 \ sin ^ {3 } x + 3 \ sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d629f1b63c9f57cd1ef6b65623a75af3cf082b29)
.
Moivren kaava mahdollistaa myös rusketuksen ( nx ) ilmaisemisen rusketuksen x funktiona suhteella
rusketuseix=Olen(1+irusketusx)eiD.(1+irusketusx)ei{\ displaystyle \ tan nx = {\ frac {{\ text {Im}} (1 + i \ tan x) ^ {n}} {{\ text {Re}} (1 + i \ tan x) ^ {n }}}}![{\ displaystyle \ tan nx = {\ frac {{\ text {Im}} (1 + i \ tan x) ^ {n}} {{\ text {Re}} (1 + i \ tan x) ^ {n }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70428e3f22eaf3d485998355599903152211fea2)
.
Esimerkiksi
rusketus3x=rusketus3x-3rusketusx3rusketus2x-1{\ displaystyle \ tan 3x = {\ frac {\ tan ^ {3} x-3 \ tan x} {3 \ tan ^ {2} x-1}}}![{\ displaystyle \ tan 3x = {\ frac {\ tan ^ {3} x-3 \ tan x} {3 \ tan ^ {2} x-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0a9443711cb69aafe193e5b206f26b3154f4f5)
.
Lineaarisointi
Lausekkeen cos p x sin q x linearisoimalla pyritään ilmaisemaan se lineaarisena yhdistelmänä eri cos ( nx ) (jos q on parillinen) tai sin ( nx ) (jos q on pariton) - esimerkiksi en antivatiivisen laskemiseksi . Voidaan käyttää joko tuotteiden muuntamisen kaavoja yllä olevina summina tai Eulerin kaavoja :
cossxsyntiqx=(eix+e-ix2)s(eix-e-ix2i)q.{\ displaystyle \ cos ^ {p} x \ sin ^ {q} x = \ left ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e} } ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} \ oikea) ^ {p} \ vasen ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2 {\ rm {i}}}} \ oikea) ^ {q}.}
Sitten vain
- kehittää molemmat tekijät Newtonin binomikaavan avulla ,
- kehittää saatujen kahden summan tuote ( jakelulla ),
- yksinkertaistaa termejä käyttämällä sitäeikxeiℓx=ei(k+ℓ)x,{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} kx} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ ell x} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} (k + \ ell) x},}
- sitten ryhmitellä ne yhteen tietäen sen eieix+e-ieix=2cos(eix)eteieix-e-ieix=2isynti(eix).{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} nx} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} nx} = 2 \ cos (nx) \ quad {\ rm {ja}} \ quad {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} nx} - {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} nx} = 2 { \ rm {i}} \ sin (nx).}
Jos toinen eksponenteista p tai q on nolla, kutsumalla toisen asteen arvoa, meillä on:
Asteen 2 tai 3 linearisointikaavat
Aste 2 linearization kaavat ovat ”potenssiin kavennuskaavoja” nähdä edellä .
cos3Vastaanottaja=3cosVastaanottaja+cos(3Vastaanottaja)4{\ displaystyle \ cos ^ {3} a = {{3 \ cos a + \ cos (3a)} \ yli 4}}
synti3Vastaanottaja=3syntiVastaanottaja-synti(3Vastaanottaja)4{\ displaystyle \ sin ^ {3} a = {{3 \ sin a- \ sin (3a)} \ yli 4}}
rusketus3Vastaanottaja=3syntiVastaanottaja-synti(3Vastaanottaja)3cosVastaanottaja+cos(3Vastaanottaja){\ displaystyle \ tan ^ {3} a = {{3 \ sin a- \ sin (3a)} \ yli {3 \ cos a + \ cos (3a)}}}![\ tan ^ {3} a = {{3 \ sin a- \ sin (3a)} \ yli {3 \ cos a + \ cos (3a)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e9778a906e79feda48b1454efb9fb4f7c6dc4f)
Minkä tahansa asteen linearisointikaavat
cos2eix=(eix+e-ix2)2ei=122ei((2eiei)+∑k=0ei-1((2eik)eixke-ix(2ei-k)+(2ei2ei-k)eix(2ei-k)e-ixk))=14ei((2eiei)+2∑k=0ei-1(2eik)cos(2(ei-k)x))cos2ei+1x=(eix+e-ix2)2ei+1=122ei+1∑k=0ei((2ei+1k)eixke-ix(2ei+1-k)+(2ei+12ei+1-k)eix(2ei+1-k)e-ixk)=14ei∑k=0ei(2ei+1k)cos((2(ei-k)+1)x)=14ei∑ℓ=0ei(2ei+1ei-ℓ)cos((2ℓ+1)x)∙ x←x-π2synti2eix=14ei((2eiei)-2∑ℓ=0ei-1(-1)ℓ(2eiei-1-ℓ)cos(2(ℓ+1)x))synti2ei+1x=14ei∑ℓ=0ei(-1)ℓ(2ei+1ei-ℓ)synti((2ℓ+1)x){\ displaystyle {\ begin {aligned} \ cos ^ {2n} x & = \ left ({\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e} } ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} \ oikea) ^ {2n} \\ & = {\ frac {1} {2 ^ {2n}}} \ vasen ({{2n} \ valitse n} + \ summa _ {k = 0} ^ {n-1} {\ vasemmalle ({{2n} \ valitse k} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} xk} { \ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x (2n-k)} + {{2n} \ valitse {2n-k}} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i }} x (2n-k)} {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xk} \ oikea)} \ oikea) \\ & = {\ frac {1} {4 ^ {n }}} \ vasen ({{2n} \ valitse n} +2 \ summa _ {k = 0} ^ {n-1} {{{2n} \ valitse k} \ cos \ vasen (2 (nk) x \ oikea)} \ oikea) \\\ cos ^ {2n + 1} x & = \ vasen ({\ frac {{\ \ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} x} + {\ rm {e }} ^ {- {\ rm {i}} x}} {2}} \ oikea) ^ {2n + 1} \\ & = {\ frac {1} {2 ^ {2n + 1}}} \ summa _ {k = 0} ^ {n} {\ vasemmalle ({{2n + 1} \ valitse k} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} xk} {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x (2n + 1-k)} + {{2n + 1} \ valitse {2n + 1-k}} {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i} } x (2n + 1-k)} {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xk} \ oikea)} \\ & = {\ frac {1} {4 ^ {n}} } \ summa _ {k = 0} ^ {n} {{2n + 1} \ valitse k} \ cos \ vasen ((2 (nk) +1) x \ oikea) \\ & = {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ summa _ {\ ell = 0} ^ {n} {{2n + 1} \ valitse {n- \ ell}} \ cos \ left ((2 \ ell +1) x \ oikea) \\\ bullet ~ x \ vasen nuoli & x - {\ frac {\ pi} {2}} & \\\ sin ^ {2n} x & = {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ vasemmalle ({{2n} \ valitse n} -2 \ summa _ {\ ell = 0} ^ {n-1} {(- 1) ^ { \ ell} {{2n} \ valitse {n-1- \ ell}} \ cos \ vasen (2 (\ ell +1) x \ oikea)} \ oikea) \\\ sin ^ {2n + 1} x & = {\ frac {1} {4 ^ {n}}} \ summa _ {\ ell = 0} ^ {n} (- 1) ^ {\ ell} {{2n + 1} \ valitse {n- \ ell }} \ sin \ vasen ((2 \ ell +1) x \ oikea) \ end {tasattu}}}
Summat ja seuraavat suljetut lausekkeet :VSei=∑k=0eicos(kθ+φ){\ displaystyle C_ {n} = \ summa _ {k = 0} ^ {n} \ cos (k \ theta + \ varphi)}
Sei=∑k=0eisynti(kθ+φ){\ displaystyle S_ {n} = \ summa _ {k = 0} ^ {n} \ sin (k \ theta + \ varphi)}
θ≠0mod2π{\ displaystyle \ theta \ neq 0 \ mod 2 \ pi}![{\ displaystyle \ theta \ neq 0 \ mod 2 \ pi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec5a1c300fd4f1a8708d47cb14dbd991de0ce0c)
VSei=synti((ei+1)θ2)syntiθ2cos(eiθ2+φ), Sei=synti((ei+1)θ2)syntiθ2synti(eiθ2+φ){\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2} }}} \ cos \ vasen (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right), \ S_ {n} = {\ frac {\ sin \ left ((n + 1) {\ frac {\ theta} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ theta} {2}}}} \ sin \ left (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right )}
.
Todistamme nämä kaavat huomaamalla sen ja käyttämällä geometristen sekvenssien summia tai kertomalla ja linearisoimalla.
VSei+iSei=eiφ∑k=0ei(eiθ)k{\ displaystyle C_ {n} + iS_ {n} = e ^ {\ rm {i \ varphi}} \ summa _ {k = 0} ^ {n} (e ^ {i \ theta}) ^ {k}}
syntiθ2{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}![{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2606b670d56d534e573bb46276605e8b9427921)
Päätämme sen .
SeiVSei=rusketus(eiθ2+φ){\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {C_ {n}}} = \ tan \ vasen (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right)}![{\ displaystyle {\ frac {S_ {n}} {C_ {n}}} = \ tan \ vasen (n {\ frac {\ theta} {2}} + \ varphi \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb17244dfec6e3d905ac69b725f292379ff0aeb)
Varten , .
θ=0mod2π{\ displaystyle \ theta = 0 \ mod 2 \ pi}
VSei=(ei+1)cosφ,Sei=(ei+1)syntiφ{\ displaystyle C_ {n} = (n + 1) \ cos \ varphi, \, S_ {n} = (n + 1) \ sin \ varphi}![{\ displaystyle C_ {n} = (n + 1) \ cos \ varphi, \, S_ {n} = (n + 1) \ sin \ varphi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897731f43ef7fc5be05189c7a1675973cbb05405)
Nämä kaavat mahdollistavat Dirichlet-ytimen D n ilmaisemisen, jonka määrittelee funktio:
kaikille todellisille
x: lle ,
D.ei(x)=1+2cos(x)+2cos(2x)+2cos(3x)+⋯+2cos(eix)=synti((ei+12)x)synti(x/2){\ displaystyle D_ {n} (x) = 1 + 2 \ cos (x) +2 \ cos (2x) +2 \ cos (3x) + \ cdots +2 \ cos (nx) = {\ frac {\ sin \ vasen (\ vasen (n + {\ frac {1} {2}} \ oikea) x \ oikea)} {\ sin (x / 2)}}}
Konvoluutio tuote tahansa integrable neliön funktiona ajan 2π kanssa Dirichlet'n ytimen sattuu yhteen n- järjestyksessä summa sen Fourier-sarjan .
Vastavuoroiset trigonometriset toiminnot
Nämä ovat sini-, kosini- ja tangenttitoimintojen vastavuoroiset toiminnot.
y=arcsiinix⇔x=syntiykanssay∈[-π2,π2]{\ displaystyle y = \ arcsin x \ Leftightarrow x = \ sin y \ quad {\ text {with}} \ quad y \ in \ left [{\ tfrac {- \ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ oikea]}
y=arccosx⇔x=cosykanssay∈[0,π]{\ displaystyle y = \ arccos x \ Vasen nuoli x = \ cos y \ quad {\ text {with}} \ quad y \ sisään \ left [0, \ pi \ right]}
y=arktaanix⇔x=rusketusykanssay∈]-π2,π2[{\ displaystyle y = \ arctan x \ Leftightarrow x = \ tan y \ quad {\ text {with}} \ quad y \ in \ left] {\ tfrac {- \ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}} \ oikea [}
Jos sitten
x>0{\ displaystyle x> 0}![x> 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0)
arktaanix+arktaani1x=π2{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan {\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ pi} {2}}}![{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan {\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ pi} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287ef288698a31462aa07fedda9d3c6ecc913629)
.
Jos sitten
x<0{\ displaystyle x <0}![x <0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a4dbbf970b2d2863dcab589eafe006f08e727d7)
arktaanix+arktaani1x=-π2{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan {\ frac {1} {x}} = - {\ frac {\ pi} {2}}}![{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan {\ frac {1} {x}} = - {\ frac {\ pi} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f118133a2e9029633a2c6c4034fe4eb8476d288)
.
Meillä on myös seuraava identiteetti:
arktaanix+arktaaniy=arktaanix+y1-xy+kπ{\ displaystyle \ arctan x + \ arctan y = \ arctan {\ frac {x + y} {1-xy}} + k \ pi}
tai
k=0josxy<1{\ displaystyle k = 0 \ quad {\ text {si}} \ quad xy <1}
k=1josxy>1jax>0{\ displaystyle k = 1 \ quad {\ text {si}} \ quad xy> 1 \ quad {\ text {ja}} \ quad x> 0}
k=-1josxy>1jax<0{\ displaystyle k = -1 \ quad {\ text {si}} \ quad xy> 1 \ quad {\ text {ja}} \ quad x <0}![k = -1 \ quad {\ text {si}} \ quad xy> 1 \ quad {\ text {ja}} \ quad x <0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d9f4196a6b614bb19cab5bcc75f063540a37f9)
.
Paljon seuraavaa muistuttavia identiteettejä voidaan saada Pythagoraan lauseesta .
Käänteisten trigonometristen funktioiden välinen suhde x > 0: lle
|
arccos
|
arcsiini
|
arktaani
|
arccot
|
---|
arccos
|
|
arccosx=π2-arcsiinix{\ displaystyle \ arccos x = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin x}
|
arccosx=arktaani1-x2x{\ displaystyle \ arccos x = \ arctan {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x}}}
|
arccosx=arccotx1-x2{\ displaystyle \ arccos x = \ operaattorin nimi {arccot} {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
|
---|
arcsiini
|
arcsiinix=π2-arccosx{\ displaystyle \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arccos x}
|
|
arcsiinix=arktaanix1-x2{\ displaystyle \ arcsin x = \ arctan {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}}
|
arcsiinix=arccot1-x2x{\ displaystyle \ arcsin x = \ operaattorin nimi {arccot} {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x}}}
|
---|
arktaani
|
arktaanix=arccos11+x2{\ displaystyle \ arctan x = \ arccos {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}}
|
arktaanix=arcsiinix1+x2{\ displaystyle \ arctan x = \ arcsin {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}}
|
|
arktaanix=arccot1x{\ displaystyle \ arctan x = \ operaattorin nimi {arccot} {\ frac {1} {x}}}
|
---|
arccot
|
arccotx=arccosx1+x2{\ displaystyle \ operaattorin nimi {arccot} x = \ arccos {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
|
arccotx=arcsiini11+x2{\ displaystyle \ operaattorinimi {arccot} x = \ arcsin {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
|
arccotx=arktaani1x{\ displaystyle \ operaattorin nimi {arccot} x = \ arctan {\ frac {1} {x}}}
|
|
---|
Metriset ominaisuudet missä tahansa kolmiossa
Al-Kashin lause tai kosinien laki
Olkoon ABC kolmio, jossa käytämme tavanomaisia merkintöjä: toisaalta α , β ja γ kulmien mittaamiseen ja toisaalta a , b ja c vastaavien sivujen pituuksille nämä kulmat (katso vastakkaista kuvaa). Joten meillä on:
vs.2=Vastaanottaja2+b2-2Vastaanottajab cos y.{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ \ cos \ \ gamma.}![c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ \ cos \ \ gamma.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b90e8324100a081e8edca236637d8ea46d8c5d)
Sinus-kaava
Toteamalla lisäksi S kolmion pinta-ala ja R säde sen sidotun ympyrän (katso kuva vastapäätä), meillä on:
Vastaanottajasyntia=bsyntiβ=vs.syntiy=Vastaanottajabvs.2S=2R.{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc } {2S}} = 2R.}![{\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {abc } {2S}} = 2R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ab1318fde858e3be57480509d408e88948b108)
Toisaalta, S on puolikehän p = tuloa + b + c/2säteen r on sisään piirretyn ympyrän .
Kaava sivujen eroja varten
Vastaanottaja-bvs.=syntia-β2cosy2etVastaanottaja+bvs.=cosa-β2syntiy2{\ displaystyle {\ frac {ab} {c}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}} } \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {a + b} {c}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ sin { \ frac {\ gamma} {2}}}}}![{\ displaystyle {\ frac {ab} {c}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ cos {\ frac {\ gamma} {2}}} } \ quad {\ rm {et}} \ quad {\ frac {a + b} {c}} = {\ frac {\ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ sin { \ frac {\ gamma} {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1a6af8888c5a7b0965f173a842ddb6797450bf)
.
Vastaanottaja-bVastaanottaja+b=rusketusa-β2rusketusa+β2{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}}![{\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724cf6ac58c7642486b0e4792125371dee05238a)
.
kustannusa2=s-Vastaanottajar{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ frac {pa} {r}}}![{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ frac {pa} {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313017350ee82ca9571258f8f0cff5d2ad47f692)
.
Kulmien väliset suhteet
Käyttämällä sitä, että saamme monia trigonometrisiä suhteita, mukaan lukien esimerkiksi:
a+β+y=π{\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi}![{\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8826e762da74a89d1b77b8a4bc864a58ace34b)
rusketusa+rusketusβ+rusketusy=rusketusarusketusβrusketusy{\ displaystyle \ tan \ alpha + \ tan \ beta + \ tan \ gamma = \ tan \ alpha \ tan \ beta \ tan \ gamma}
synti2a+synti2β+synti2y=4syntiasyntiβsyntiy{\ displaystyle \ sin 2 \ alpha + \ sin 2 \ beta + \ sin 2 \ gamma = 4 \ sin \ alpha \ sin \ beta \ sin \ gamma}
Identiteetit ilman muuttujia
cos20∘⋅cos40∘⋅cos80∘=18{\ displaystyle \ cos 20 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 40 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 80 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {8}}}![{\ displaystyle \ cos 20 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 40 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 80 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e139a4affdf6e4a4c62d629618d775f22a76c22d)
.
Tällainen identiteetti on esimerkki identiteetistä, joka ei sisällä muuttujaa; se saadaan tasa-arvosta:
∏j=0k-1cos(2jx)=synti(2kx)2ksyntix{\ displaystyle \ prod _ {j = 0} ^ {k-1} \ cos (2 ^ {j} x) = {\ frac {\ sin (2 ^ {k} x)} {2 ^ {k} \ synti x}}}![{\ displaystyle \ prod _ {j = 0} ^ {k-1} \ cos (2 ^ {j} x) = {\ frac {\ sin (2 ^ {k} x)} {2 ^ {k} \ synti x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d0492af59c96ebdf87f47cf14cc8007f7a1913)
.
cos36∘+cos108∘=cosπ5+cos3π5=12.{\ displaystyle \ cos 36 ^ {\ circ} + \ cos 108 ^ {\ circ} = \ cos {\ frac {\ pi} {5}} + \ cos 3 {\ frac {\ pi} {5}} = {\ frac {1} {2}}.}
cos24∘+cos48∘+cos96∘+cos168∘=cos2π15+cos22π15+cos42π15+cos72π15=12.{\ displaystyle \ cos 24 ^ {\ circ} + \ cos 48 ^ {\ circ} + \ cos 96 ^ {\ circ} + \ cos 168 ^ {\ circ} = \ cos {\ frac {2 \ pi} { 15}} + \ cos 2 {\ frac {2 \ pi} {15}} + \ cos 4 {\ frac {2 \ pi} {15}} + \ cos 7 {\ frac {2 \ pi} {15} } = {\ frac {1} {2}}.}
cos2π21+cos22π21+cos42π21+cos52π21+cos82π21+cos102π21=12.{\ displaystyle \ cos {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 2 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 4 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 5 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 8 {\ frac {2 \ pi} {21}} + \ cos 10 {\ frac {2 \ pi} {21}} = {\ frac {1} {2}}.}
Kertoimet 1, 2, 4, 5, 8, 10 ovat alle 21/2 kokonaislukuja, joilla ei ole yhteistä tekijää 21: n kanssa.
Nämä esimerkit ovat seurauksia perustuloksesta syklotomisille polynomille ; kosinit ovat näiden polynomien juurien todellisia osia; nollien summa antaa Möbius-funktion arvon 21: ssä (aivan viimeisessä tapauksessa yllä); vain puolet juurista on läsnä näissä suhteissa.
- Tässä artikkelissa löydämme kulmaan liittyviä identiteettejä , kutenπ7{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {7}}}
cosπ7-cos2π7+cos3π7=12{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {7}} - \ cos {\ frac {2 \ pi} {7}} + \ cos {\ frac {3 \ pi} {7}} = {\ frac {1} {2}}}
- ja siinä kulmaan liittyvät identiteetit , kuten .π9{\ displaystyle \ pi \ yli 9}
cosπ9-cos2π9+cos4π9=12{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {9}} - \ cos {\ frac {2 \ pi} {9}} + \ cos {\ frac {4 \ pi} {9}} = {\ frac {1} {2}}}![{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {9}} - \ cos {\ frac {2 \ pi} {9}} + \ cos {\ frac {4 \ pi} {9}} = {\ frac {1} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb17339ece8dc772fe2dcaf3cf65eaf1994f338)
- Toinen klassinen identiteetti:, josta voimme päätellä .∏k=1ei-1syntikπei=ei2ei-1{\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {n} {2 ^ {n-1}}}}
synti1∘synti2∘...synti90∘=1802179{\ displaystyle \ sin 1 ^ {\ circ} \ sin 2 ^ {\ circ} ... \ sin 90 ^ {\ circ} = {\ sqrt {\ frac {180} {2 ^ {179}}}}}![{\ displaystyle \ sin 1 ^ {\ circ} \ sin 2 ^ {\ circ} ... \ sin 90 ^ {\ circ} = {\ sqrt {\ frac {180} {2 ^ {179}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd50062d7ca595b2c61b5fc346da34593872314)
Analyysissä
In analyysi , on tärkeää, että kulmia, jotka näkyvät argumentit trigonometriset funktiot mitataan radiaaneina ; jos ne mitataan asteina tai missä tahansa muussa yksikössä, alla ilmoitetut suhteet muuttuvat vääriksi.
Sinuksen ja tangentin geometrinen merkitys " osoittaa " - ja rajallisten lisäysten lause todistaa - että
∀x∈]0,π/2[synti(x)<x<rusketus(x).{\ displaystyle \ forall x \ in \ left] 0, \ pi / 2 \ right [\ quad \ sin (x) <x <\ tan (x).}![{\ displaystyle \ forall x \ in \ left] 0, \ pi / 2 \ right [\ quad \ sin (x) <x <\ tan (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe8c869738d0e27ee9c9c82cbe2791c2d678105)
Yksityiskohdat
- Geometrinen argumentti koostuu (vrt. Vastakkaisesta kuvasta) sulkemalla yksikkölevyn pyöreän sektorin alue, jonka kulma θ = x , kahden kolmion pinta- alaan :
- sektorin sisältämän kolmion OAD pinta-ala on (sinθ) / 2;
- sektorin osuus on määritelmän mukaan yhtä suuri kuin θ / 2;
- sen sisältävän kolmion OCD: n arvo on (tanθ) / 2.
- Analyyttinen todiste koostuu todellisen y: n (äärellisten lisäysten lauseen antamasta) tarkastelusta siten, että0<y<x ja syntixx=synti′y=cosy{\ displaystyle 0 <y <x {\ text {et}} {\ frac {\ sin x} {x}} = \ sin 'y = \ cos y}
ja huomaa sencosx<cosy<1.{\ displaystyle \ cos x <\ cos y <1.}
Tätä kehystä käytetään usein; kaksi esimerkkiä ovat Archimedesin menetelmä luvun π laskemiseksi (katso ympyrän neliöiminen ) ja Baselin ongelma .
Vaihtamalla x arctan x : ksi saamme:
∀x>0x1+x2<arktaanix<x.{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}} <\ arctan x <x.}
Vaihtamalla x arcsin x : ksi saamme:
∀x∈]0,1[x<arcsiinix<x1-x2.{\ displaystyle \ forall x \ in \ left] 0,1 \ oikea [\ quad x <\ arcsin x <{\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.}
Johdannaiset
Johdannaiset ja sin ja cos voidaan päätellä toisistaan siirtämällä π / 2 . He ovat :
synti′=cos,cos′=-synti.{\ displaystyle \ sin '= \ cos, \ quad \ cos' = - \ sin.}![\ sin '= \ cos, \ quad \ cos' = - \ sin.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4494c6d4ada107ecd0115b3b9d8802c91f8fcf0b)
Esimerkkejä mielenosoituksista
- Jos trigonometriset funktiot on määritelty geometrisesti, vakuuttamme ensin itsemme yllä olevasta kehyksestä, josta voimme välittömästi päätellä (sukupuolihenkilöiden lauseen ansiosta )limx→0syntixx=1.{\ displaystyle \ lim _ {x \ oikeanpuoleinen nuoli 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1.}
Tämä raja on mahdollista laskea johdannaisia sin ja cos , määritelmän johdetun numero kuin raja, joka kasvunopeus , jonka muuttamalla eron muuntamisen tuote osoittajassa tämän nopeuden.
- Jos trigonometriset funktiot määritetään analyyttisesti, johdannaiset voidaan saada johtamalla koko sarja termi termin mukaan.
Muut trigonometriset funktiot voidaan johtaa käyttämällä edeltäviä identiteettejä ja johdon sääntöjä . Esimerkiksi :
rusketus′=1+rusketus2=1cos2=kuiva2,{\ displaystyle \ tan '= 1 + \ tan ^ {2} = {\ frac {1} {\ cos ^ {2}}} = \ sec ^ {2},}
kustannus′=-1-kustannus2=-1synti2=-csc2,{\ displaystyle \ cot '= -1- \ cot ^ {2} = - {\ frac {1} {\ sin ^ {2}}} = - \ csc ^ {2},}
arcsiini′(x)=11-x2,{\ displaystyle \ arcsin '(x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}},}
arccos′=-arcsiini′,{\ displaystyle \ arccos '= - \ arcsin',}
arktaani′(x)=11+x2.{\ displaystyle \ arctan '(x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}.}
Primitiivit
Integraalien identiteetit löytyvät trigonometristen toimintojen primitiivien taulukosta .
Huomautuksia ja viitteitä
Huomautuksia
-
Jotta osoitus kehittämistä tan ( + b ) , katso esimerkiksi tässä luvussa oppitunnin "Trigonometrian" päälle Wikikirjasto . Että Cot ( + b ) osoitetaan samalla tavalla.
-
Katso käyttö " Kotangenttien laki ".
-
Edellyttäen, että t on erilainen kuin ± 1 , ts. X ≠π/2+ k π .
-
Katso yleisemmin tämä luettelo identiteeteistä Wikikorkeakoulusta .
Viitteet
-
(in) Milton Abramowitz ja Irene Stegun , Handbook of Mathematical Functions kaavojen, kaavioiden ja Matemaattinen Taulukot [ julkaista tiedot ] ( lukea verkossa ), s. 73 , 4.3.45.
-
Arthur Adam ja Francis Lousberg, Espace Math 5e / 6e , De Boeck,2003( lue verkossa ) , s. 144.
-
Lionel PORCHERON, MPSI , MP , Dunod muodossa,2008, 4 th ed. ( lue verkossa ) , s. 178.
-
Dany-Jack Mercier, Esitystesti CAPES- matematiikassa , voi. 2, Publibook,2006( lue verkossa ) , s. 168.
-
(sisään) Martin Erickson, Aha! Ratkaisut , MAA ,2009( lue verkossa ) , s. 30-31.
-
kollektiivinen, Bac- tavoite - kaikki aiheet - termi STI2D , Hachette,2014( lue verkossa ) , s. 18.
-
Mercier 2006 , s. 169.
-
” Carnotin kaavat ” ( Adam ja Lousberg 2003 , s. 143).
-
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel ym . , All-in-one matematiikka License - L1 , Dunod, 2 nd ed. ( lue verkossa ) , s. 676.
-
(sisään) Fred Richman , " A Circular Argument " , The College Mathematics Journal (in) , voi. 24, n ° 2Maaliskuu 1993, s. 160-162 ( lue verkossa ).
-
yksityiskohtaisesti trigonometriset funktiot / Alustava Properties päällä Wikiopistosta .
Katso myös
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">