Trigonometrinen sarja

Trigonometriset sarja on erityisesti sekvenssi trigonometriset polynomi . Sarjalla on perustaajuus f , ja summataan peräkkäin taajuuden nf trigonometriset funktiot n: n kokonaislukuarvoille .

Sarjan järjestyksen n osamäärällä on siis seuraava muoto

Sei=∑s=-eieivs.sexp⁡(i2sπTx){\ displaystyle S_ {n} = \ summa _ {p = -n} ^ {n} c_ {p} \ exp \ left (\ mathrm {i} {\ frac {2p \ pi} {T}} x \ oikea )}

jos työskentelemme monimutkaisten merkintöjen kanssa. Mutta käytämme myös yleisesti

Sei=∑s=0eikloscos⁡(2sπTx)+∑s=1eibssynti⁡(2sπTx){\ displaystyle S_ {n} = \ summa _ {p = 0} ^ {n} a_ {p} \ cos \ vasen ({\ frac {2p \ pi} {T}} x \ oikea) + \ summa _ { p = 1} ^ {n} b_ {p} \ sin \ vasen ({\ frac {2p \ pi} {T}} x \ oikea)}

jos meillä on trigonometrinen sarja, jolla on todelliset arvot.

Klassisin esimerkki trigonometrisestä sarjasta on Fourier-sarja, joka liittyy integroitavaan jaksolliseen toimintoon.

Cantorin ainutlaatuisuuslause

Olemme velkaa Georg Cantorille trigonometristen sarjojen ainutlaatuisuuslauseesta, joka osoitettiin vuonna 1870 .

Lause  : jos trigonometrinen sarja yhtyy missä tahansa kohdassa kohti nollatoimintoa , kaikki sen kertoimet ovat nollia. Siten kahdella trigonometrisellä sarjalla, joilla on sama yksinkertainen raja, on samat kertoimet.

Cantor itse jatkoi tulostaan, tehden siitä pätevän, kun lähentyminen tapahtuu missä tahansa vaiheessa lukuun ottamatta rajallista lukua (Cantor johdetaan lisäksi ottamaan käyttöön järjestysluvun käsite pyrkimällä yleistämään tätä tulosta ).

Muut laajennukset seurasivat. Kutsumme ainutlaatuisuusjoukkoa reaalilinjan osajoukoksi, joka on määritelty modulo 2π: ksi , jonka täydennykseen Cantorin ainutlaatuisuuden tulos ulottuu.

• Vuonna 1909 , Young osoitti, että numeroituva joukko ovat sarjaa ainutlaatuisuus;
• Lebesgue- määritelmänsä jälkeen tiedämme , että ainutlaatuisuusjoukot ovat nollamittaisia ( Lebesgue-mittarin osalta );
• vuonna 1916 , Dmitry Menchoff  (in) on esimerkki joukko null toimenpide, joka ei ole joukko ainutlaatuisuus;
• monia tarkempia tuloksia on sittemmin lisätty.

Yhteys Fourier-sarjaan

Vuoden 1902 Lebesgue-lauseen mukaan, jos trigonometrinen sarja yksinkertaisesti lähentyy rajattuun funktioon, se on kyseisen funktion Fourier-sarja. Kuten Menchoffin tulos edellä osoitti, tämä lause olisi virheellinen, jos yksinkertainen lähentyminen korvattaisiin lähentymisellä melkein kaikkialla .

Näitä ainutlaatuisuuslausekkeita ei pidä sekoittaa Fourier-kertoimen injektointilauseeseen: kaksi funktiota, joilla on samat Fourier-kertoimet, ovat samat melkein kaikkialla . Katso Fourier-sarjan artikkeli .

Hajoamisen olemassaolon ongelma

Jos f on mitattava funktio, äärellinen lähes kaikkialla, Menchoffin lause osoittaa, että on olemassa trigonometrinen sarja, joka yhtyy f: ään melkein kaikkialla.

Huomautuksia ja viitteitä

1. D. Menchoff ”  On ainutlaatuisuus Trigonometriset Development  ”, CR Acad. Sci. Paris , voi.  163,1916, s.  433-436
2. D. Menchoff , ”  On edustus toimintojen mitattavissa trigonometriset sarja  ”, Mat. Sb. , voi.  9 (51), n o  3,1941, s.  667-692 ( lue verkossa )

Katso myös

Bibliografia

• (en) Nina Bari , traktaatti trigonometrisista sarjoista , Macmillan ,1964
• Jean-Pierre Kahane ja Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset, Fourier-sarjat ja aallot [ yksityiskohdat painoksista ]
• Bernhard Riemann , "Tutkimuksen historia, joka liittyy mielivaltaisesti annetun toiminnon esittämiseen trigonometrisen sarjan avulla" , Riemannin kuoleman jälkeen julkaistuissa muistelmissa ( lue verkossa )
• (en) Antoni Zygmund , trigonometrinen sarja , CUP ,2002, 3 ja  toim. , 747  Sivumäärä ( ISBN  978-0-521-89053-3 , lue verkossa )

Aiheeseen liittyvät artikkelit

• Ainutlaatuisuuslauseet