Lebesgue-mitta

Lebesguen mitta on toimenpide, joka ulottuu intuitiivinen käsite tilavuus on hyvin suuri luokka osien tilaa. Kuten keksijä, Henri Lebesgue heti huomasi , se antaa mahdollisuuden rakentaa erittäin voimakas ja perustavanlaatuinen integraatioteoria nykyaikaiseen analyysiin : Lebesgue-integraalin teoria .

Määritelmät

Lebesgue-mittarista tunnetaan useita hyvin erilaisia rakenteita. Jokainen niistä voidaan tietysti määritellä; artikkelissa, jossa ne kaikki on mainittava, on järkevää antaa yhtenäisempi määritelmä avaamisen yhteydessä. Tämä karkeasti sanoen luonnehtii Lebesgue-mittausta "parhaaksi" mittaukseksi, joka antaa tavanomaisille kiinteille aineille odotetut arvot - suorakaiteen muotoisten suuntaissärmiöiden huomioon ottaminen riittää lopuksi ja jopa ainoat suuntaissärmiöt, joiden sivut ovat yhdensuuntaiset akselien kanssa. Alla olevassa olemassaolo- ja ainutlaatuisuuslausekkeessa ainutlaatuisuus on suhteellisen helppoa, kun taas olemassaolo on olennainen osa todisteesta: vaikeus on todellakin rakentaa haluttu mitta.

Sanoessaan, jota ”lohkot” tarkoitamme karteesinen tulo on rajatun väliajoin , eli sarjaa muotoa $I 1 x I 2 \times ... \times I n$ , missä $minä olen$ ovat välein ℝ joka voi olla suljettu, avoin tai osittain avoin.

Lause ja määritelmä - ℝ n- heimolle on määritelty pienin mitta, joka on täydellinen ja yhtyy mukulakiviin niiden tilavuuden kanssa (ts. Niiden sivujen pituuksien tulo).

Tätä toimenpidettä kutsutaan Lebesgue-mittariksi ja sen määrittelevää heimoa Lebesgue-heimo .

Täydennys - Lebesgean toimenpide on täydellinen toimenpide sen rajoittamiseksi borelialaiseen heimoon .

Tätä rajoitusta Lebesgue-mittarin borelilaisille kutsutaan joskus Borel-Lebesgue-mittariksi .

Todiste ainutlaatuisuudesta ja täydennyksestä

Olkoon $μ 1$ ja $μ 2$ kaksi mittausta, jotka molemmat täyttävät lauseessa asetetun ehdon. Osoitetaan ensin, että $μ 1$ ja $μ 2$ osuvat yhteen borelian heimoon of n . Kullekin $k \geq 1$ merkitään $E k: llä$ lohko $E k = [- k , k ] n$ . Lohkot sisältyvät $E k$ muodostavat vakaan järjestelmän risteys, joka synnyttää Borelian heimon $E k$ , ja lohko $E k$ rajoituksia on Borelian heimo $μ 1$ ja $μ 2$ on sama rajallinen massa $(2 k ) n$ : että lemman ainutlaatuisuuden sen todennäköisyyttä toimenpiteiden vuoksi ne osuvat on Borelian heimon $E k$ . Mikä tahansa Borelian on ℝ n on sitten yhä numeroituva sen risteyksistä $E- k$ , joka tekee mahdolliseksi varmistaa, että $μ 1$ ja $u 2$ yhtyvät on Borelian heimon ℝ n .

Kun tämä vaihe on suoritettu , Borelian heimon valmistunut heimo on sama $μ$ $1: lle$ ja $μ$ $2: lle$ , molemmat mittaukset $μ$ $1$ ja $μ$ $2 ovat$ silti välttämättä päällekkäisiä. Heidän yhteinen rajoitus tähän heimoon on sitten täydellinen toimenpide, joka täyttää oletukset. Minimiarvona $μ$ $1$ ja $μ$ $2$ ne ovat molemmat yhtä suuria tämän rajoituksen kanssa ja siksi yhtä suuria toistensa kanssa. Komplementti näytetään samanaikaisesti. ${\ mathcal {M}}$

Tulemme Merkitään $λ n$ mitta Lebesgue ja heimo Lebesgue . Tämän heimon elementtien sanotaan olevan Lebesgue-mitattavia sarjoja ; tiettyyn heimoon viittaamisen puuttuessa tarkoitamme tätä yleensä, kun puhumme ": n" mitattavasta osasta "tai avaruudesta, jolla on mitat. "Borel-Lebesgue-mittaria" kutsutaan useimmiten Lebesgue-mittariksi - tämä ei ole kovin hankala, koska mitalla ja sen komplementilla on paljon ominaisuuksia ja erityisesti niillä on samat integroitavien toimintojen tilat. Lukija kohtaaminen viittauksena ”Lebesguen mitta” pysyy kuitenkin hänen vartija, varsinkin teorian tuotteen toimenpiteitä ja useita integrals joissa lausumat voi olla hieman erilainen yhden ja toinen sen muunnelmaa. ${\ mathcal {L}} _ {n}$ $ei$

Kuten jäljempänä osoitetaan, Lebesgue-mitta on invariantti missä tahansa uc n: n euklidisessa isometriassa . Tämä oikeuttaa seuraavan määritelmän pätevyyden:

Määritelmä - kutsutaan Lebesguen mitta on euklidinen tila E kuva mittaus Lebesgue toimenpiteen ℝ n millä tahansa isometrinen ℝ n in E .

Lopuksi termiä "euklidinen mitta" käytetään myös sen rajoittamiseen mitattaviin osiin:

Määritelmä - Joko At Lebesguen mitattavissa osa euklidinen avaruus E . Kutsutaan Lebesguen mitta on rajoittaminen on Lebesguen mitta E .

Ominaisuudet

Lebesguen mitta on σ-äärellinen , euklidinen tila on ilmeisesti yhä suurempien, mutta kaikkien äärellisten, sisäkkäisten kuutioiden yhdistelmä.
Lebesgean mitta on muuttumaton kaikissa isometrioissa. Se on erityisen invariantti käännökset: se on Haar toimenpide on topologinen ryhmä ℝ n .
Lebesgue-mitta on äärellinen kaikilla kompakteilla , jokainen rajoitettu kompakti voi olla suljettu kuutioon. Näin ollen on säännöllinen , ℝ n ollessa metrizable , paikallisesti kompakti ja erotettavissa .

Lebesgue-mittarin rakenteet

Tässä käytetyn lauseen olemassaolon osoittaminen määritelmänä on merkittävä työ: kyseessä on mitan rakentaminen. Voimme erottaa kolme rakenneperhettä:

Lebesguen alkuperäinen rakenne ja muunnelmat, jotka siihen pystyttiin tuomaan (erityisesti Constantin Carathéodoryn mukaan ), rakentavat toimenpiteen minkä tahansa integraatioteorian ulkopuolelle. Manipulaatioihin liittyy vain toimintoja, jotka on määritelty osaryhmissä. Kun mitta on muodostettu, sitä käytetään uuden teorian löytämiseen toimintojen integroinnista;
todiste on Riesz n edustuksen lauseen on mahdollisuus keksiä toista lähestymistapaa. Lähdemme integraalin (tyypillisemmin Riemannin integraalin ) alkeellisemmasta teoriasta , jota sovellamme erityisen helposti integroitavien toimintojen ryhmään , jatkuviin toimintoihin, joissa on kompakti tuki . Näistä funktioista määritellään aukkojen mitta, sarja sarjaa, joka on rikkaampi kuin mukulakivien luokka, mutta paljon rajoitetumpi kuin Borelian luokka; sitten laajennamme tämän mittausteorian Lebesgue-heimoon menetelmillä, jotka ovat samaa henkeä kuin Lebesgue-todisteet, mutta teknisesti yksinkertaisempia. Myöhempi yleisen integraalin rakentaminen mitasta on sama kuin ensimmäisessä rakenteessa;
William H.Younin aloittama ja Percy Daniellin työn käynnistämä kolmas lähestymistapa koostuu Lebesgue'n integraatioteorian rakentamisesta viittaamatta mittausteoriaan, tällä kertaa manipuloimalla funktioperheille määriteltyjä funktionaalisia osia ( puoliksi jatkuvia toimintoja ) ja toimenpiteen rakenteen saamiseksi sivutuotteena, kun integraalin rakentaminen on saatu päätökseen.

Kaikissa tapauksissa rakenne perustuu sisäisen mitan ja ulomman mitan tai alemman integraalin ja ylemmän integraalin käsitteiden määrittelyyn. Nämä funktionaalit on määritelty ℝ n: n kaikilla osilla (mitat) tai kaikilla positiivisilla funktioilla: on n (integraaleilla), mutta niillä voi olla kaksi erilaista arvoa. Rajoittamalla itsensä joukkoihin (tai funktioihin), joissa ne ovat yhteneviä, voidaan todeta, että olemme rakentaneet runsaan teoriaa mittauksesta (tai integraatiosta).

Huomautuksia ja viitteitä

Sana "tilavuus" sopii täydellisesti ulottuvuuteen 3 ja on yleisesti käytössä korkeammassa ulottuvuudessa; dimensiossa 2 puhumme mieluummin pinta-alasta ja dimensiossa 1 pituudesta .
"Parempi", koska minimaalinen ja täydellinen.
Löydämme määritelmän tässä muodossa ainakin Valeriĭ Vladimirovich Buldygin ja AB Kharazishvili, Todennäköisyysteorian ja matemaattisten tilastojen geometriset näkökohdat , Springer,2000, 303 Sivumäärä ( ISBN 978-0-7923-6413-9 , luettu verkossa ) , s. 124. Muut lähteet näyttävät tiheämmin määrittelevän Borel-Lebesgue-mittarin ainutlaatuisena Borelian-mittana, joka laajentaa mukulakivien määrää, sitten Lebesgue-mitta sen täydennyksenä, joka perustuu todisteessa olevaan Carathéodory-lauseeseen tai Riesz-esityslauseeseen. Näiden merkittävien lauseiden todistamiseksi tehdyt rakenteet tarjoavat kuitenkin suoraan toimenpiteen Lebesgue-heimoon. Borel-Lebesgue-toimenpiteen läpikäynti Lebesgue-mittarin rakentamiseksi tarkoittaa siis Lebesgue-mittauksen rakentamista nimeämättä sitä, rajoittamalla juuri määritellyn toimenpiteen Borelian heimoon ja suorittamalla sitten tämän uuden toimenpiteen - palaten sen vuoksi takaisin sen ulkopuolelle - ja lopulta kutsu "Lebesgue-mitta" tulokseksi. Katso kaavio, joka sisältää yhteenvedon rakentamisen vaiheista julkaisussa Jacques Gapaillard, Integration for the license: Course with Corrected harjoitukset , Masson,1997, 289 Sivumäärä ( ISBN 978-2-225-82933-8 ), s. 22.
Pienempi on ymmärrettävä sovellusten laajennusten merkityksellä: Tällä tarkoitamme, että jos $μ$ on toinen mitta, joka täyttää lauseen hypoteesit, sen määrittelevä heimo sisältää Lebesgue-heimon ja $μ$ on Lebesgue-mittauksen laajennus .
Katso esimerkiksi Elliott H. Lieb ja Michael Loss, Analyysi , AMS-kirjakauppa,2001, 346 Sivumäärä ( ISBN 978-0-8218-2783-3 , lue verkossa ), s. 8.
Jean-Paul Pier , Integraation historia: 25 vuosisataa matematiikkaa , Masson,1996, 306 Sivumäärä ( ISBN 978-2-225-85324-1 ) , s. 219, tarjoaa tällaisen eron asettamalla riman hieman eri tavalla.

Katso myös

Ruziewicz-ongelma