Symmetrinen polynomi

On matematiikka , joka on symmetrinen polynomi on polynomi useissa indeterminates , muuttumaton mukaan permutaatio sen indeterminates. Niillä on merkitys erityisesti kertoimien ja juurien välisissä suhteissa .

Määritelmä

Olkoon BE yhtenäinen kommutatiivinen rengas . Polynomi Q ( t 1 , ..., T n ) on n määrittelemätön kanssa kertoimilla sanotaan olevan symmetrinen jos jokin permutaatio n joukon indeksien {1, ..., n }, seuraavat tasa pätee:

{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ pisteitä, T_ {n}) = Q (T_ {s (1)}, \ pisteitä, T_ {s (n)}).}

Esimerkkejä

Kun n = 1, mikä tahansa polynomi on symmetrinen.
Ja n = 2, polynomi T 1 + T 2 on symmetrinen, kun polynomi T 1 + T 2 2 ei ole.
Ja n = 3, polynomi ( T 1 - T 2 ) 2 ( T 1 - T 3 ) 2 ( T 2 - T 3 ) 2 on symmetrinen;
Tärkeä luokka symmetrinen polynomien muodostuu Newtonin määrät , määritellään s k ( T 1 , ..., T n ) = T i k . ${\ displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {n}}$

Alkeis symmetriset polynomit

Symmetrinen polynomit muodostaa osa - assosiatiivinen algebran unital on [ T 1 , ..., T n ]. Generaattoriperheen antavat alkeelliset symmetriset polynomit, kuten näemme alla.

Määritelmä

Kun 0 ≤ k ≤ n , k-s alkeissymmetrinen polynomi n muuttujassa σ n , k ( T 1 ,…, T n ), jota merkitsemme yksinkertaisemmin σ k ( T 1 ,…, T n ) on summa kaikkien tuotteiden k näiden muuttujien, että on, toteamalla joukko yhdistelmiä on k numerot otetaan joukosta {1, 2, ..., n }: ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ pistettä, n \})}$

{\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = \ summa _ {I \ muodossa {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ pisteet, n \})} \ prod _ {i \ in I} T_ {i} = \ summa _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} T_ {i_ {1}} T_ {i_ {2}} \ cdots T_ {i_ {k}}.}

Tämä polynomi on todellakin symmetrinen, koska symmetrisen ryhmän S n permutaatio lähettää tällaisen yhdistelmän toiseen suuntaan.

Esimerkkejä

${\ displaystyle \ sigma _ {0} (T_ {1}, \ pistettä, T_ {n}) = 1}$ ;
${\ displaystyle \ sigma _ {n} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = T_ {1} \ cdots T_ {n}}$ ;
${\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ pistettä, T_ {n}) = 0}$ jos ; $k> n$
${\ displaystyle \ sigma _ {1} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = T_ {1} + \ cdots + T_ {n} = \ summa _ {1 \ leq i \ leq n} T_ {i}}$ ;
σ2(T1,...,Tei)=∑1≤i<j≤eiTiTj{\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = \ summa _ {1 \ leq i <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}} ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = \ summa _ {1 \ leq i <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}}$ ,
- Jos n = 3 , ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {2} T_ { 3}}$
- Tapaus n = 4 :; ${\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {1} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} + T_ {2} T_ {4} + T_ {3} T_ {4}}$
σ3(T1,...,Tei)=∑1≤i<j<l≤eiTiTjTl{\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = \ summa _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { l}} ${\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = \ summa _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { l}}$ ,
- Jos n = 4: . ${\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} T_ {3} + T_ {1} T_ { 2} T_ {4} + T_ {1} T_ {3} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} T_ {4}}$

Vastaava määritelmä alkeissymmetrisistä polynomeista on:

{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + T_ {i}) = \ summa _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ pisteitä , T_ {n}) X ^ {nk}.}

Esimerkkejä

n = 1 :; ${\ displaystyle X + T = X + \ alatuki {T} _ {\ sigma _ {1} (T)}}$
n = 2 :; ${\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) = X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2})} _ {\ sigma _ {1} ( T_ {1}, T_ {2})} X + \ alatuki {T_ {1} T_ {2}} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2})}}$
n = 3 . ${\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) (X + T_ {3}) = X ^ {3} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2} + T_ { 3})} _ {\ sigma _ {1} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} T_ {2} + T_ { 1} T_ {3} + T_ {2} T_ {3})} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X + \ alatuki {T_ {1 } T_ {2} T_ {3}} _ {\ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})}}$

Tämän määritelmän mukaan, jos määrittelemättömän n- asteen yksikköpolynomi R ( X ) sallii kertoimen

{\ displaystyle R (X) = X ^ {n} + \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {nk} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X -z_ {i})}

1-asteen tekijöissä polynomin R kertoimet annetaan juurien z i symmetrisinä funktioina , toisin sanoen:

{\ displaystyle a_ {k} = (- 1) ^ {k} \ sigma _ {k} (z_ {1}, \ pisteitä, z_ {n}).}

Lause

Tahansa symmetrinen polynomi Q ( t 1 , ..., T n ) kanssa kertoimien , on olemassa ainutlaatuinen polynomi P on n määrittelemätön kanssa kertoimilla siten, että

{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}) = P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {n } (T_ {1}, \ ldots, T_ {n})).}

Muodollisemmin: algebrojen morfismi

{\ displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] \ - A [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}

{\ displaystyle P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ mapsto P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ { n} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}))}

on injektoiva, ja sillä on kuvaa varten symmetristen polynomien alialigra.

Tai merkkejä alkeis symmetrisen polynomit> 0 synnyttää unital subalgebra symmetrisen polynomit ja ovat algebrallisesti itsenäinen yli . Tätä tulosta kutsutaan joskus symmetristen polynomien peruslauseeksi .

Toinen tunnettu, edelliseen liittyvä generaattorijärjestelmä koostuu Newtonin summista, jos A sisältää rationaalilukujen kentän.

Viite

Serge Lang , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ], V luku, 9 §

Aiheeseen liittyvä artikkeli

Polynomi vuorotellen (tuumaa)