Symmetrinen polynomi
On matematiikka , joka on symmetrinen polynomi on polynomi useissa indeterminates , muuttumaton mukaan permutaatio sen indeterminates. Niillä on merkitys erityisesti kertoimien ja juurien välisissä suhteissa .
Määritelmä
Olkoon BE yhtenäinen kommutatiivinen rengas . Polynomi Q ( t 1 , ..., T n ) on n määrittelemätön kanssa kertoimilla sanotaan olevan symmetrinen jos jokin permutaatio n joukon indeksien {1, ..., n }, seuraavat tasa pätee:
Q(T1,...,Tei)=Q(Ts(1),...,Ts(ei)).{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ pisteitä, T_ {n}) = Q (T_ {s (1)}, \ pisteitä, T_ {s (n)}).}![{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ pisteitä, T_ {n}) = Q (T_ {s (1)}, \ pisteitä, T_ {s (n)}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1dbff74e62c9677fdf293f74743ded2e371361)
Esimerkkejä
- Kun n = 1, mikä tahansa polynomi on symmetrinen.
- Ja n = 2, polynomi T 1 + T 2 on symmetrinen, kun polynomi T 1 + T 2 2 ei ole.
- Ja n = 3, polynomi ( T 1 - T 2 ) 2 ( T 1 - T 3 ) 2 ( T 2 - T 3 ) 2 on symmetrinen;
- Tärkeä luokka symmetrinen polynomien muodostuu Newtonin määrät , määritellään s k ( T 1 , ..., T n ) = T i k .Σi=1ei{\ displaystyle \ Sigma _ {i = 1} ^ {n}}
Alkeis symmetriset polynomit
Symmetrinen polynomit muodostaa osa - assosiatiivinen algebran unital on [ T 1 , ..., T n ]. Generaattoriperheen antavat alkeelliset symmetriset polynomit, kuten näemme alla.
Määritelmä
Kun 0 ≤ k ≤ n , k-s alkeissymmetrinen polynomi n muuttujassa σ n , k ( T 1 ,…, T n ), jota merkitsemme yksinkertaisemmin σ k ( T 1 ,…, T n ) on summa kaikkien tuotteiden k näiden muuttujien, että on, toteamalla joukko yhdistelmiä on k numerot otetaan joukosta {1, 2, ..., n }:
Pk({1,...,ei}){\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ pistettä, n \})}![{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ pistettä, n \})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4adc47e1fc09d7b02ce3d3bfb95b77c2f03fdb)
σk(T1,...,Tei)=∑Minä∈Pk({1,...,ei})∏i∈MinäTi=∑1≤i1<i2<⋯<ik≤eiTi1Ti2⋯Tik.{\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = \ summa _ {I \ muodossa {\ mathcal {P}} _ {k} (\ {1, \ pisteet, n \})} \ prod _ {i \ in I} T_ {i} = \ summa _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} T_ {i_ {1}} T_ {i_ {2}} \ cdots T_ {i_ {k}}.}
Tämä polynomi on todellakin symmetrinen, koska symmetrisen ryhmän S n permutaatio lähettää tällaisen yhdistelmän toiseen suuntaan.
Esimerkkejä
-
σ0(T1,...,Tei)=1{\ displaystyle \ sigma _ {0} (T_ {1}, \ pistettä, T_ {n}) = 1}
;
-
σei(T1,...,Tei)=T1⋯Tei{\ displaystyle \ sigma _ {n} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = T_ {1} \ cdots T_ {n}}
;
-
σk(T1,...,Tei)=0{\ displaystyle \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ pistettä, T_ {n}) = 0}
jos ;k>ei{\ displaystyle k> n}![k> n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e81682bf174c978e9008ffb557ba4da2cf7478)
-
σ1(T1,...,Tei)=T1+⋯+Tei=∑1≤i≤eiTi{\ displaystyle \ sigma _ {1} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = T_ {1} + \ cdots + T_ {n} = \ summa _ {1 \ leq i \ leq n} T_ {i}}
;
-
σ2(T1,...,Tei)=∑1≤i<j≤eiTiTj{\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = \ summa _ {1 \ leq i <j \ leq n} T_ {i} T_ {j}}
,
- Jos n = 3 ,σ2(T1,T2,T3)=T1T2+T1T3+T2T3{\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {2} T_ { 3}}
![{\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {2} T_ { 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1262e936734550d2fabae129369ecbd198163d3c)
- Tapaus n = 4 :;σ2(T1,T2,T3,T4)=T1T2+T1T3+T1T4+T2T3+T2T4+T3T4{\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {1} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} + T_ {2} T_ {4} + T_ {3} T_ {4}}
![{\ displaystyle \ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} + T_ {1} T_ {3} + T_ {1} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} + T_ {2} T_ {4} + T_ {3} T_ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1bad3c5bcb966fbd7b231bdaac216b363070ed4)
-
σ3(T1,...,Tei)=∑1≤i<j<l≤eiTiTjTl{\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, \ pisteet, T_ {n}) = \ summa _ {1 \ leq i <j <l \ leq n} T_ {i} T_ {j} T_ { l}}
,
- Jos n = 4: .σ3(T1,T2,T3,T4)=T1T2T3+T1T2T4+T1T3T4+T2T3T4{\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} T_ {3} + T_ {1} T_ { 2} T_ {4} + T_ {1} T_ {3} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} T_ {4}}
![{\ displaystyle \ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3}, T_ {4}) = T_ {1} T_ {2} T_ {3} + T_ {1} T_ { 2} T_ {4} + T_ {1} T_ {3} T_ {4} + T_ {2} T_ {3} T_ {4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27b5d9d3613fdcfffb242f27c9b291c21861e70)
Vastaava määritelmä alkeissymmetrisistä polynomeista on:
∏i=1ei(X+Ti)=∑k=0eiσk(T1,...,Tei)Xei-k.{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + T_ {i}) = \ summa _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ pisteitä , T_ {n}) X ^ {nk}.}![{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + T_ {i}) = \ summa _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (T_ {1}, \ pisteitä , T_ {n}) X ^ {nk}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fc231cfb4a4a031ebc0efd56732887b12077d8)
Esimerkkejä
-
n = 1 :;X+T=X+T⏟σ1(T){\ displaystyle X + T = X + \ alatuki {T} _ {\ sigma _ {1} (T)}}
![{\ displaystyle X + T = X + \ alatuki {T} _ {\ sigma _ {1} (T)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4861080c9fb6f1c19eb042357eda19087844a6e)
-
n = 2 :;(X+T1)(X+T2)=X2+(T1+T2)⏟σ1(T1,T2)X+T1T2⏟σ2(T1,T2){\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) = X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2})} _ {\ sigma _ {1} ( T_ {1}, T_ {2})} X + \ alatuki {T_ {1} T_ {2}} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2})}}
![{\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) = X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2})} _ {\ sigma _ {1} ( T_ {1}, T_ {2})} X + \ alatuki {T_ {1} T_ {2}} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfea08195749fba5a182fb67e255c24ba1f864a6)
-
n = 3 .(X+T1)(X+T2)(X+T3)=X3+(T1+T2+T3)⏟σ1(T1,T2,T3)X2+(T1T2+T1T3+T2T3)⏟σ2(T1,T2,T3)X+T1T2T3⏟σ3(T1,T2,T3){\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) (X + T_ {3}) = X ^ {3} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2} + T_ { 3})} _ {\ sigma _ {1} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} T_ {2} + T_ { 1} T_ {3} + T_ {2} T_ {3})} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X + \ alatuki {T_ {1 } T_ {2} T_ {3}} _ {\ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})}}
![{\ displaystyle (X + T_ {1}) (X + T_ {2}) (X + T_ {3}) = X ^ {3} + \ underbrace {(T_ {1} + T_ {2} + T_ { 3})} _ {\ sigma _ {1} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X ^ {2} + \ underbrace {(T_ {1} T_ {2} + T_ { 1} T_ {3} + T_ {2} T_ {3})} _ {\ sigma _ {2} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})} X + \ alatuki {T_ {1 } T_ {2} T_ {3}} _ {\ sigma _ {3} (T_ {1}, T_ {2}, T_ {3})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aeb3c90c47bb181822d022e2954593422059705)
Tämän määritelmän mukaan, jos määrittelemättömän n- asteen yksikköpolynomi R ( X ) sallii kertoimen
R(X)=Xei+∑k=1eiklokXei-k=∏i=1ei(X-zi){\ displaystyle R (X) = X ^ {n} + \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {nk} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X -z_ {i})}![{\ displaystyle R (X) = X ^ {n} + \ summa _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} X ^ {nk} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X -z_ {i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1331067bbfaa4a0c908a1418742b1104440519b6)
1-asteen tekijöissä polynomin R kertoimet annetaan juurien z i symmetrisinä funktioina , toisin sanoen:
klok=(-1)kσk(z1,...,zei).{\ displaystyle a_ {k} = (- 1) ^ {k} \ sigma _ {k} (z_ {1}, \ pisteitä, z_ {n}).}
Lause
Tahansa symmetrinen polynomi Q ( t 1 , ..., T n ) kanssa kertoimien , on olemassa ainutlaatuinen polynomi P on n määrittelemätön kanssa kertoimilla siten, että
Q(T1,...,Tei)=P(σ1(T1,...,Tei),...,σei(T1,...,Tei)).{\ displaystyle Q (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}) = P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ {n } (T_ {1}, \ ldots, T_ {n})).}
Muodollisemmin: algebrojen morfismi
AT[X1,...,Xei]→AT[T1,...,Tei]{\ displaystyle A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] \ - A [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}
P(X1,...,Xei)↦P(σ1(T1,...,Tei),...,σei(T1,...,Tei)){\ displaystyle P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ mapsto P (\ sigma _ {1} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}), \ ldots, \ sigma _ { n} (T_ {1}, \ ldots, T_ {n}))}
on injektoiva, ja sillä on kuvaa varten symmetristen polynomien alialigra.
Tai merkkejä alkeis symmetrisen polynomit> 0 synnyttää unital subalgebra symmetrisen polynomit ja ovat algebrallisesti itsenäinen yli . Tätä tulosta kutsutaan joskus symmetristen polynomien peruslauseeksi .
Toinen tunnettu, edelliseen liittyvä generaattorijärjestelmä koostuu Newtonin summista, jos A sisältää rationaalilukujen kentän.
Viite
Serge Lang , Algebra [ yksityiskohdat painoksista ], V luku, 9 §
Aiheeseen liittyvä artikkeli
Polynomi vuorotellen (tuumaa)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">