Rationaalinen murtoluku

In abstraktin algebran , joka on järkevä osa on osamäärä kaksi virallista polynomi on rakennettu käyttäen määrittelemätön . Tässä on kysymys kahden muodollisen polynomin osamäärän muodostamisesta. Kahden polynomifunktion osamäärää , joka määritetään käyttämällä muuttujaa eikä määrittelemätöntä, kutsutaan rationaaliseksi funktioksi .

Algebrallinen rakenne

Olkoon K kommutatiivinen kenttä (yleensä tai ). Me todistaa, että joukko virallisia polynomien yhdellä epämääräinen , ja kertoimet on merkitty kiinteä rengas . Voimme sitten rakentaa hänen murto-kentänsä , huomautettiin : Elementtiparien joukolle määritämme: $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {R}$ ${\ mathbb K}$ ${\ mathbb {K}} [X]$ ${\ mathbb {K}} (X)$ ${\ mathbb {K}} [X] \ kertaa {\ mathbb {K}} [X] ^ {{*}}$

Ekvivalenssirelaatio ~ mukaan: (P, Q) ~ (P 'Q'), jos ja vain jos PQ '= QP';
Lisäys: (P, Q) + (P ', Q') = (PQ '+ QP', QQ ');
Kertolasku: (P, Q) (P ', Q') = (PP ', QQ').

Lisäyksen ja indusoidun tuotteen mukana toimitettu vastaavuusluokkien joukko on sitten kommutatiivinen kenttä, jota kutsutaan rationaalisten jakeiden kentäksi. Mikä tahansa pari (P, Q), jossa Q ei ole nollapolynomi, edustaa sitten järkevää osaa. Kartta, josta minkä tahansa polynomin P liittää luokan (P, 1) on injektiivinen rengas morfismi joka sukeltaa osaksi . ${\ mathbb {K}} [X]$ ${\ mathbb {K}} (X)$

Pelkistämätön murtoluku : Paria (P, Q), jolla P ja Q ovat kopriimeja, kutsutaan (P, Q) -luokan pelkistämättömäksi edustajaksi ja muita saman luokan edustajia (P ', Q') on sellaisia, että on olemassa skalaari λ siten, että P '= λP ja Q' = λQ. Samassa luokassa on useita pelkistämättömiä edustajia, mutta vain yksi pelkistämätön edustaja, jossa Q on yhtenäinen polynomi: se on luokkaa edustava yhtenäinen pelkistämätön osa.

Murtoluvun aste : Millä tahansa järkevällä murtoluvulla F elementti, jonka määrittelee deg (P) - deg (Q) (missä (P, Q) on F: n edustaja), on riippumaton F: n edustajasta ja sitä kutsutaan Murtoluvun aste täyttää seuraavat ominaisuudet: ${\ mathbb Z} \ kuppi \ {- \ infty \}$

kaikille jakeille F ja F ', deg (F + F') ≤ sup (deg (F), deg (F '));
kaikille jakeille F ja F ', deg (FF') = deg (F) + deg (F ').

Juuret ja navat : Jos (P, Q) on F: tä edustava pelkistämätön osa:

jokainen P: n juuri on F: n juuri;
mikä tahansa Q: n juuri on F: n napa

Rationaalisten murtolukujen tapaus reaalien joukossa

Voimme tarjota kentälle ℝ ( X ) järjestyssuhteen, jonka määrittelee: F ≤ G, jos meillä on F ( t ) ≤ G ( t ) mille tahansa riittävän suurelle todelliselle t: lle . Tämä suhde on silloin täydellinen. Lisäksi se on yhteensopiva positiivisten elementtien summauksen ja kertomisen kanssa: ℝ ( X ): llä on siten järjestetty kenttärakenne ja se sisältää field: lle isomorfisen alikentän. Se ei ole Archimedealainen : todellakin, meillä on 0 <1 / X <1, mutta kaikilla luonnollisilla numeroilla n , n ⋅ (1 / X ) <1.

Yleisesti ottaen poseeraa | F | = max (- F , F ), sanotaan, että F on äärettömän pieni verrattuna G: hen (merkitty F ≪ G ), jos jokaiselle luonnolliselle luvulle n , n ⋅ | F | ≤ | G |.

Tutkinto antaa sitten asteikon, joka on äärettömän pieni ja äärettömän suuri reaalien suhteen: F ≪ G vain ja vain, jos deg ( F ) ≤ deg ( G ).

Joukko elementtejä ℝ ( X ), jota ennen ei-nolla reals eivät ole merkityksettömiä, eli ne aste on pienempi tai yhtä suuri kuin 0, muodostaa osa-rengas on ℝ ( X ).

Mitä eroja rationaalisen murto-osan ja rationaalisen funktion välillä on?

Mihin tahansa järkevään murtolukuun F, jolla on pelkistämätön edustaja (P, Q), voidaan liittää järkevä funktio ƒ, joka on määritelty mille tahansa x: lle siten, että Q ( x ) ei ole nolla . Tähän yhdistykseen liittyy kuitenkin joitain riskejä: $f: x \ mapsto {\ frac {{\ mathrm {P}} (x)} {{\ mathrm {Q}} (x)}}$

toisaalta on mahdollista, että kenttä K on rajallinen, että funktiota ƒ ei koskaan määritellä: ota esimerkiksi kenttä ; ${\ mathrm {F}} = {\ frac {1} {{\ mathrm {X}} ^ {2} - {\ mathrm {X}}}}$ ${\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z}$
toiseksi, summa tai tuotteen kaksi fraktiota voidaan tehdä vain risteyksessä sarjaa määritelmä ja ei lähetä komponentti ominaisuudet: ottaa esimerkiksi ja sitten , , . ${\ displaystyle \ mathrm {F} = \ mathrm {X}}$ ${\ mathrm {G}} = {\ frac {1} {{\ mathrm {X}}}}$ $\ forall x \ muodossa {\ mathbb R}, f (x) = x$ $\ forall x \ muodossa {\ mathbb R} ^ {*}, g (x) = {\ frac 1x}$ $\ forall x \ muodossa {\ mathbb R} ^ {*}, fg (x) = {\ frac xx} = 1$

Kuitenkin sellaisten kenttien tapauksessa, kuten tai , voimme rakentaa isomorfismin rationaalisten murtolukujoukon ja rationaalisten funktioiden joukon välille moduloen seuraavan ekvivalenssisuhteen: $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {R}$

ƒ ~ g vain ja vain, jos on olemassa todellinen A, joka kaikilla x sellaisilla, että | x | ≥ A, ƒ ( x ) = g ( x )

Tämä tarkoittaa suurimman jatkeen valitsemista järkevän toiminnon jatkuvuuden avulla.

Rationaalinen murtoluku, jossa on useita muuttujia

Jos K on kenttä, monien määrittelemättömien polynomien joukko pysyy yhtenäisenä yhtenäisenä kommutatiivisena renkaana, josta voimme etsiä myös murto-kenttää, jota kutsutaan rationaalisten murtolukujen kentäksi . $K [X_ {1}, X_ {2}, ... X_ {n}]$ $K (X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n})$

Huomautuksia

P ja Q ovat samankaltaisia, jos niiden ainoat yhteiset jakajat ovat skalaareja.
Polynomi Q on yhtenäinen, jos sen korkeimman asteen kerroin on 1.
P: n juuri on K: n alkio α siten, että P (α) = 0.

Lähde

André Warusfel , François Moulin, Claude Deschamps, Matematiikka 1 kpl vuosi: Kurssit ja korjattu harjoituksia , Éditions Dunod, 1999 ( ISBN 9782100039319 )

Katso myös

Aiheeseen liittyvät artikkelit